材料力学第5章弯曲变形

1、第第5 5章章 弯曲变形弯曲变形 5-1 梁的位移梁的位移挠度和转角挠度和转角挠度挠度梁的横截面形心梁的横截面形心(即轴线即轴线AB上的点上的点)在垂直于在垂直于x轴方轴方向的线位移，用向的线位移，用w表示。表示。转角转角横截面对其原来位置的角位移，用横截面对其原来位置的角位移，用 表示。表示。挠曲线方程挠曲线方程 w= f (x) xfwtan转角方程：转角方程：( ) x小变形情况下：小变形情况下：挠度和转角与梁的弯曲变形程度和挠度和转角与梁的弯曲变形程度和支座约束的条件支座约束的条件有关。有关。如图（如图（a)与与(b)(a)(b) 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负； 顺时针转向

2、的转角为正，逆时针转向的转角为负。一、一、 挠曲线近似微分方程的导出挠曲线近似微分方程的导出线弹性范围内线弹性范围内纯弯曲纯弯曲情况下中性层的曲率为情况下中性层的曲率为EIM15-2 挠曲线的微分挠曲线的微分方程方程积分法求弯曲变形积分法求弯曲变形 横力弯曲横力弯曲 ，在梁高跨比，在梁高跨比 l/h10的情况下的情况下 EIxMxx1从从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作几何方面来看，平面曲线的曲率可写作 2/3211wwx 曲率1/是非负的，而w是 沿x的变化率，是有正负的。图示坐标系中有图示坐标系中有 EIxMww 2/321式中的式中的w 2与与1相比可略去，得相比可略去，得挠曲线近似微

3、分方程挠曲线近似微分方程 EIxMw 二、二、 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件挠曲线近似微分方程的积分及边界条件等等直梁的挠直梁的挠曲线方程可改写为曲线方程可改写为求解挠曲线方程，先积分再利用求解挠曲线方程，先积分再利用边界条件边界条件确定积分常数。确定积分常数。 xMwEI 边界条件边界条件( (支座处的约束条件支座处的约束条件) ) 若梁的弯矩方程需分段写出时，对各段梁的近似微分方若梁的弯矩方程需分段写出时，对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数，除利用支座处的程积分时，都将出现两个积分常数，除利用支座处的约束条约束条件件外，还需利用相邻两段梁在交界处的外，还需利用相邻两段

4、梁在交界处的连续条件连续条件。 例例5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角max。解：该梁的弯矩方程为解：该梁的弯矩方程为挠挠曲线近似微分方程为曲线近似微分方程为 xlFxM xlFxMwEI 以以x为自变量进行积分得为自变量进行积分得122CxlxFwEI于是得于是得0021CC，该梁的该梁的边界条件为：在边界条件为：在 x=0 处 ，w =00w213262CxCxlxFEIw转角方程转角方程EIFxEIFxlw22挠挠曲线方程曲线方程EIFxEIlFxw6232挠曲线的示意图挠曲线的

5、示意图梁的梁的max和和wmax均在均在x=l的自由端处的自由端处 EIFlEIFlEIFlwwlx362|333max 22|222maxEIFlEIFlEIFllx积分常数的几何意义：积分常数的几何意义：001|EIwEICx002|EIwEIwCx此悬臂梁，此悬臂梁，0=0，w0=0， 因而也有因而也有C1=0 ，C2=0当以当以x为自变量时，由为自变量时，由 1dCxxMwEI 21ddCxCxxxMEIw思考思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线方程和转角方程。积分常数方程和转角方程。积分常数C1和和C2等于零吗？等于零吗？ 例例

6、5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角max。解：该梁的弯矩方程为解：该梁的弯矩方程为挠挠曲线近似微分方程为曲线近似微分方程为以以x为自变量进行积分得：为自变量进行积分得： 222212xlxqqxxqlxM 22xlxqxMwEI 132322CxlxqwEI21431262CxCxlxqEIw该梁的该梁的边界条件为边界条件为在 x=0 处 w=0，在 x=l 处 w=0于是有于是有01262| 01442lCllqEIwClx及即即024231CqlC，转角方程转角方程3234624x

7、lxlEIqw挠挠曲线方程曲线方程323224xlxlEIqxw对称性对称性可知，两支座处的转角绝对值相等且为最大值可知，两支座处的转角绝对值相等且为最大值最大挠度在跨中，其值为最大挠度在跨中，其值为EIqlBA243max EIqlllllEIlqwwlx3845222242|43232max 例例5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度并确定其最大挠度wmax和最大转角和最大转角max。解：约束力为解：约束力为两段梁的两段梁的弯矩方程分别为弯矩方程分别为laFFlbFFBA ， axxlbFxFxMA0 1 lxaaxFxlbFa

8、xFxFxMA 2分别进行积分：分别进行积分：挠挠曲线近似微分方程曲线近似微分方程 xlbFxMwEI 11积分得积分得1212CxlbFwEI11316DxCxlbFEIw axFxlbFxMwEI 22222222CaxFxlbFwEI2233266DxCaxFxlbFEIw左段梁左段梁右段右段梁梁ax 0lxa支座约束条件支座约束条件：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0连续条件连续条件： 在x=a处 ，w1=w221ww由由两个连续条件得：两个连续条件得：由由支座约束条件支座约束条件 w1|x=0=0 得得2121 DDCC，01D02D从而也有从而也有由另由另一支座约束条件

9、一支座约束条件 w2|x=l=0 有06|2332lCalFbllbFEIwlx2226bllFbC2216bllFbC两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁左段梁右段右段梁梁)0(ax )(lxa22211312xbllEIFbw22216xbllEIFbxw222222312blxaxbllEIFbwxblxaxbllEIFbw223326左、右两支座处截面的转角分别为左、右两支座处截面的转角分别为lEIblFablEIblFbxA66|2201lEIalFablxB6|2当ab时有 6maxlEIalFabB323221baablx3221max39|

10、1bllEIFbwwxx 根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax所所在在 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的转角方程转角方程 等于零，得等于零，得0w1wEIFblEIFblw22max0642. 039llx577. 031EIFblEIFblblEIFbwwlxC2222210625. 0164348|3221max39|1bllEIFbwwxx0b 跨中点跨中点C挠度挠度两者相差不到两者相差不到3%工程计算中，工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以

11、跨中挠度代替最大挠度跨中挠度代替最大挠度。 当梁的材料在线弹性范围内工作时，梁横截面处的挠当梁的材料在线弹性范围内工作时，梁横截面处的挠度和转角就等于每个载荷单独作用下该截面的挠度和转角度和转角就等于每个载荷单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。的代数和。53 用叠加法求弯曲用叠加法求弯曲变形变形叠加原理叠加原理 例例5-5 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠所示等直梁的跨中截面挠度度 wC 和两支座截面的转角和两支座截面的转角A 及及 B。(a) 解解： 作用在该简支梁左半跨上的均布载荷可视为与跨中截面作用在该简支梁左半跨上的均布载荷可视为与跨中截面C正对称和反对称载荷

12、的叠加正对称和反对称载荷的叠加(b)(a) 在集度为在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，有的正对称均布荷载作用下，有 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqB 48242/331EIqlEIlqAC半跨梁 AC 和CB可分别看着为集度为 q/2 而跨长为 l/2 的简支梁。 384242/2/3322EIqlEIlqBA 集度为集度为q/2的反对称均布载荷作的反对称均布载荷作用下，挠曲线关于跨中截面反对用下，挠曲线关于跨中截面反对称的，称的，挠度为零，弯矩亦为零，挠度为零，弯矩亦为零，但转角不等于零但转角不等于零02CwC按按叠加原理得叠加原理得

13、EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB 12833844833321EIqlEIqlEIqlAAA 例例5-6 试按叠加原理求图试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面所示等直外伸梁其截面B的转的转角角B，以及以及A端和端和BC段中点段中点D的挠度的挠度wA和和wD。 解：逐段刚化法解：逐段刚化法截面截面B的转角和的转角和D的挠度只与（的挠度只与（c）中的简支梁有关）中的简支梁有关外力外力2qa将直接传递给支座将直接传递给支座B而不会引起弯曲而不会引起弯曲则由则由(d)、(e)载荷情况求载荷情况求 Bq， BM 和和 w

14、Dq，wDM 并叠加后并叠加后得到的就是原外伸梁的得到的就是原外伸梁的 B和和wD)(241162238454224EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB原外伸梁的原外伸梁的A端挠度端挠度wA： EIqaEIaqaEIqawwwA44321127 82315-5 梁的刚度校核梁的刚度校核提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施一、梁的刚度校核刚度条件：刚度条件：lwlwmaxmaxlw许可挠跨比许可挠跨比 许可转角许可转角100012501lw10000150001lw rad001. 0005. 0土建工程中通常只限制梁的挠跨比土建工

15、程中通常只限制梁的挠跨比机械工程中主要的轴机械工程中主要的轴传动轴要求限制安装齿轮处和轴承处的转角传动轴要求限制安装齿轮处和轴承处的转角 例例5-8 图图a所所示简支梁由两根槽钢组成示简支梁由两根槽钢组成(图图b)，试，试选择既选择既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知=170 MPa，=100 MPa，E=210 GPa， 。4001lw 解：先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，解：先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再然后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作修改。作修改。

16、1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作剪力图和弯矩图作剪力图和弯矩图 363max662.4 10 N m183.5 10m22 170 10 PazMWx=0.8 m，Mmax=62.4 kNm未超过未超过5%，故允许。，故允许。把梁的自重把梁的自重 (222.63 kg/m=0.4435 kg/m)考虑进去，超过许用考虑进去，超过许用弯曲正应力的百分数仍不到弯曲正应力的百分数仍不到5%。MPa175Pa10175m101782mN104 .626363max20a号槽钢号槽钢: Wz=178 cm3(175-170)/1703%2. 按切应力强度条件校核每根槽钢承受的最大剪力为每根槽钢承受

17、的最大剪力为3max138 kN69 10 N22Q *,max3100 1173 10050100 117372 104 000 mmzS20a号槽钢的静矩号槽钢的静矩,由简化尺寸计算由简化尺寸计算其值小于许用切应力其值小于许用切应力=100 MPa，故选用故选用20a号槽钢满足号槽钢满足切应力强度条件。切应力强度条件。或或*,max3100 111173 11100100 11722 104000 mmzS 3-63max,maxmax-8436(/2)(69 10 N) 104 10m(1780 10m )(7 10m)57.6 10 Pa57.6 MPazzQSI d3. 按刚度条件校

18、核按刚度条件校核跨中截面C的挠度wC可作为梁的最大挠度wmax梁上的左边两个集中荷载，应为梁上的左边两个集中荷载，应为EIblFbwC484322EIalFawC484322叠加原理可得叠加原理可得 322max322322321 120 100.43 2.44 0.448 30 100.83 2.44 0.8 40 100.93 2.44 0.9 12 100.63 2.44 0.6CwwEI 233981671 10 4.66 1048 210 102 1780 10许可挠度为许可挠度为由于由于wmaxw，故选用故选用20a号槽钢满足刚度条件。号槽钢满足刚度条件。 m106m4 . 240

19、013llww二、 提高梁的刚度的措施(1) 增大梁的弯曲刚度增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。好处。为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。例如工字形截面和箱形截面。22max125. 08qlqlM

20、EIqlEIqlw44max0130. 03845(2) 调整跨长和改变结构的体系22max0214. 02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000. 01622238425(a)a=0.207l而而此时外伸端此时外伸端D和和E的挠度也仅为的挠度也仅为2434(2 )2(2 )82430.000 207( )DEqalaqaq lawwaaEIEIEIqlEI 增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁作业：作业：5-3 (b) (c) 5-7 一、基本一、基本概念概念1.1.超静定梁超静定梁5-5 静不定梁的静不定梁的

21、解法解法 单凭静力平衡方程不能求出单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁全部支反力的梁, , 称为超静定梁称为超静定梁FABABCFFRAFRBFRC2.“2.“多余多余”约束约束 多于维持其静力平衡所必需的多于维持其静力平衡所必需的约束约束3.“多余多余”反力反力 “多余多余”与与相应的支座反相应的支座反力力FRBABCFFABFRAFRC4.超静定超静定次数次数 超静定梁的超静定梁的 “多余多余” 约束约束的的数目就等于其超静定次数数目就等于其超静定次数. n = 未知力的个数未知力的个数 - 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目二、求解超静定梁的二、求解超静定梁的步骤步骤1、建立建立静定系统：静定系统： 将可动绞链支座作看多余约将可动绞链支座作看多余约束束,解除约束解除约束代代以约束反力以约束反力 FRB。得到基本静定系得到基