第4章振动与波动习题课

1、rad/s 8 s 41 2 THz 41 T cm 5 . 0 A3 cm/s 32 )38sin(4 tv222cm/s 16 )38cos(32 ta(1) (2) 的规律做自由振动。求（的规律做自由振动。求（1）此振动的角）此振动的角频率、周期、频率、振幅和初相位；（频率、周期、频率、振幅和初相位；（2）t=2s时，小球振动的时，小球振动的速度、加速度；（速度、加速度；（3）弹簧的劲度系数。）弹簧的劲度系数。解：解：cm )38cos(5 . 0tx 4-1. 质量质量m=50g的小球与轻质弹簧组成振动系统，按的小球与轻质弹簧组成振动系统，按(3) N/m2 . 322 mk解：解：4

2、-4. 已知弹簧振子的振动曲线如图。试求：（已知弹簧振子的振动曲线如图。试求：（1）图中所标）图中所标ABCDE各点的相位，并画出旋转矢量图；（各点的相位，并画出旋转矢量图；（2）振动方程的表）振动方程的表达式。达式。，点点相相位位为为，点点相相位位为为如如图图：30BA34322点点相相位位为为，点点相相位位为为，点点相相位位为为EDCcm 10 A s 4 . 222 . 1 T 652T 3 021cos0 v，cm )365cos(10)cos( ttAx (1) (2) t/sx/cm010-101.0ABCDE52.2cm 4 A s 0 . 420 . 2 T 22T 32 02

3、1cos0 v，cm )322cos(4)cos( ttAx 解：解：4-5. 已知物体做简谐运动的图线，如图所示。试根据该图线写出已知物体做简谐运动的图线，如图所示。试根据该图线写出振动方程。振动方程。 t/sx/cm04-42.02-2 42T 3 021cos0 v，m )34cos(100 . 22 tx34 021cos0 v，m )344cos(100 . 22 tx(1) (2) 解：解：4-7. 一水平弹簧振子，振幅一水平弹簧振子，振幅 ，周期为，周期为T=0.5s。试求以。试求以下两种情况下的振动方程。（下两种情况下的振动方程。（1）当）当t=0时，物体经过时，物体经过 且沿

4、且沿 x 轴负方向运动；（轴负方向运动；（2）当）当t=0时，物体经过时，物体经过 且且沿沿 x 轴正方向运动。轴正方向运动。 m 100 . 22 Am 100 . 12 xm 100 . 12 xm2 kJ1010. 721214222 AmkA E(1) (2) 不变不变解：解：4-11. 已知质量为已知质量为10g的质点的质点m做简谐运动，振幅做简谐运动，振幅A=12cm，角频，角频率率 。开始时质点位于。开始时质点位于 处，向处，向x轴正方向运动。求轴正方向运动。求：（：（1）此时刻简谐振子系统的总能量；（）此时刻简谐振子系统的总能量；（2）质点从）质点从 运运动到动到 处系统能量的

5、变化。处系统能量的变化。 cm 60 xcm 61 xcm 62 xN/m 160 xFk 2 kg 05. 440 22 km2 )( 00cos0 向向上上，vm )22cos(050. 0 txm 04045. 02 . 1cos050. 0s 35. 0 xt时时，当当0 vN 5 .448 . 905. 403. 0160 mgkxF (1) (2) 此时，此时，方向向下，方向向下 (3) 解：解：4-12. 已知已知40.0N的拉力能使竖直悬挂的弹簧伸长的拉力能使竖直悬挂的弹簧伸长0.25m，试问：（，试问：（1）在弹簧下端挂多大质量的物体时，才能使其周期为）在弹簧下端挂多大质量的

6、物体时，才能使其周期为1.0s？（？（2）如）如果该弹簧振子的振动周期为果该弹簧振子的振动周期为1.0s，振幅为，振幅为0.05m。t=0时，这个物体时，这个物体正通过平衡位置，并向上运动。试问：正通过平衡位置，并向上运动。试问：t=0.35s时，物体的位移和运时，物体的位移和运动方向。（动方向。（3）当该物体运动到平衡位置下方）当该物体运动到平衡位置下方0.03m处时，弹簧对该处时，弹簧对该物体的作用力大小和方向。物体的作用力大小和方向。 方向向上方向向上解：解：4-13. 一给定弹簧，在一给定弹簧，在50N的拉力下伸长的拉力下伸长0.50m，今将一质量，今将一质量4.0kg物物体悬在弹簧下

7、端并使其静止，再把物体拉下体悬在弹簧下端并使其静止，再把物体拉下0.1m，然后释放。求：，然后释放。求：（1）振动周期；（）振动周期；（2）振动方程；）振动方程； （3）设向下为）设向下为x轴正方向，当物轴正方向，当物体在平衡位置上方体在平衡位置上方5.0cm处，并向上运动时，物体加速度的大小和处，并向上运动时，物体加速度的大小和方向；方向； （4）物体在平衡位置上方）物体在平衡位置上方5.0cm处，弹簧的拉力。处，弹簧的拉力。N/m 100 xFkrad/s 5mk s 52 2 Tm 10. 0 A0 1cos m 5cos10. 0tx 22sm 1.25 xa maFmg 向向上上 N

8、 35540 mamgF (1) (2) (3) (4) 由受力图得：由受力图得： 2212211212)(2121 )( 2121vvvvmmkAmmmmkA 变小变小 211211AmmmAAmmmA11mkvmkv变变大大 212121TmmmkmmT 不不变变 AA 变变大大 212121TmmmkmmT (1) (2) 解：解：4-14. 如图所示，劲度系数为如图所示，劲度系数为k的轻弹簧，系一质量为的轻弹簧，系一质量为m的物体在的物体在水平面上作振幅为水平面上作振幅为A的简谐运动。有一质量为的简谐运动。有一质量为 的黏土，从高度为的黏土，从高度为h处自由下落。试讨论以下两种情况振动

9、系统的振动周期和振幅的变处自由下落。试讨论以下两种情况振动系统的振动周期和振幅的变化：（化：（1）黏土正好在物体通过平衡位置时落在物体之上；（）黏土正好在物体通过平衡位置时落在物体之上；（2）黏）黏土正好在物体位于最大位移时落在物体之上。土正好在物体位于最大位移时落在物体之上。 m 0.52cos2212221 AAAAA427. 0315. 02 . 015. 032 . 0coscossinsintan22112211 AAAA128. 013.23 m )128. 03cos(5 . 0 txm 1 . 0 ), 2, 1, 0( 234m 9 . 0 ), 2, 1, 0( 23min

10、max AkkAkk时时时时 (1) (2) 解：解：4-19. 两个同方向、同频率的谐振动运动方程分别为两个同方向、同频率的谐振动运动方程分别为 和和 。（。（1）求合振动表达式；（）求合振动表达式；（2）若另有一简谐）若另有一简谐运动运动 ，当，当 等于多少时，等于多少时， 的合振幅最大？当的合振幅最大？当m)33cos(4 . 01 txm)63cos(3 . 02 tx m)3cos(5 . 03 tx31xx 等于多时，等于多时， 的合振幅最小？的合振幅最小？ 31xx )2120cos(08. 022321 txxxx解：解：4-20. 三个同方向、同频率谐振动方程分别为三个同方向

11、、同频率谐振动方程分别为 ， ，求合振动表达式。，求合振动表达式。 m)6120cos(04. 01 txm)2120cos(04. 02 txm)65120cos(04. 03 txm 06. 0 A 2T 1cos m )cos(06. 0 txm )2(cos06. 0 xtxm 4 uT (1) (3) (2) 解：解：4-21. 某质点做简谐振动，周期为某质点做简谐振动，周期为 2s，振幅为，振幅为0.06m，开始计时，开始计时（t=0）质点恰好处在负向最大位移处，求（）质点恰好处在负向最大位移处，求（1）该质点的振动方）该质点的振动方程；（程；（2）此振动以速度）此振动以速度 沿沿

12、x轴正方向传播时，形成的一轴正方向传播时，形成的一维简谐波的波动方程；（维简谐波的波动方程；（3）该波的波长。）该波的波长。 m/s 2 um 2142 Hz 5210 m/s 5 . 2 um/s 5 . 0m A v222mm/s 5 Aa (1) (2) (3) x轴负方向。轴负方向。4-22. 沿着一绳子传播的平面简谐波的波动方程为：沿着一绳子传播的平面简谐波的波动方程为：求（求（1）波的波速，频率和波长；（）波的波速，频率和波长；（2）绳上各质点振动的最大速度）绳上各质点振动的最大速度和最大加速度。（和最大加速度。（3）波的传播方向。）波的传播方向。解：解：SI)410cos(05.

13、 0 xty m 4 s 2 Tm 2 . 0 A 2T -1m 22 k2 00cos0 v，m )22cos(2 . 0 xty解：解：4-25. 图中图中(a)表示表示t=0时刻的波形图，时刻的波形图， (b)表示原点（表示原点（x=0）处质元）处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x=2m处质元的振动曲处质元的振动曲线。线。 y/m00.2-0.2426(a)x/my/m00.2-0.2213(b)t/sy/m00.2-0.212x=2m处质元的振动曲线处质元的振动曲线t/sm 20 s 5 uT 522T 2 00cos0 v，m 2)4(

14、52cos05. 0 xty (1) (2) (3)解：解：4-26. 一列沿一列沿x轴正方向传播的平面简谐波在轴正方向传播的平面简谐波在t=0s时的波形如图所示时的波形如图所示，设波速为，设波速为 。求：（。求：（1）波长、周期、角频率；（）波长、周期、角频率；（2）写）写出此波的波动方程；（出此波的波动方程；（3）在图上画出）在图上画出t等于四分之一周期时的波形等于四分之一周期时的波形图并标出波的传播方向。图并标出波的传播方向。 m/s 4 uy/m00.052010 x/m-0.05um 20 2502 m 10. 0 A3 021cos0 v，m )310250cos(10. 0 xt

15、ym )65250cos(10. 0 m 0 . 5 tyx代入：代入：m/s )65250sin(25y tvm/s 5 .12 s 0y v代入：代入：t35 021cos PPP v，m 340)(10 OPx (1) (2) (3) 正确。正确。解：解：4-27. 如图所示，一列向如图所示，一列向x轴负方向传播的平面简谐波在轴负方向传播的平面简谐波在t=0时的波时的波形图，设此简谐波的频率为形图，设此简谐波的频率为1.25Hz，求：（，求：（1）该波的波动方程；）该波的波动方程；（2）在距原点）在距原点O为为x=50m处质点的振动方程及处质点的振动方程及t=0时该点的振动速时该点的振动

16、速度。（度。（3）图上所画此时质点）图上所画此时质点P的运动方向是否正确？的运动方向是否正确？ y/m00.1-0.1100 x/mPm 4 u216)302(2)(2 krrrrAABA .3 , 2 , 1m 300 krA，m29,m27.m5 ,m3 ,m1 Ar其中其中解：解：4-32. 两个相干波源位于同一介质中的两个相干波源位于同一介质中的A、B两点，相距两点，相距30.0m。如。如图所示。其振幅相等、振动频率均为图所示。其振幅相等、振动频率均为100Hz。已知波速为。已知波速为400m/s，且且B的相位比的相位比A的相位超前的相位超前 。试求在。试求在AB连线上因干涉而静止的各

17、连线上因干涉而静止的各点的位置。点的位置。 BA.m 22 Hz 452 4-35. 一在弦线上产生的稳定驻波的驻波方程为：一在弦线上产生的稳定驻波的驻波方程为：试求：（试求：（1）形成该驻波的两个反向传播的行波的波长和频率；）形成该驻波的两个反向传播的行波的波长和频率；（2）相邻两波节之间的距离。）相邻两波节之间的距离。 SI)(90coscos1 . 0txy 解：解： (1) (2) m 12 x02 xk 2)(2cos xTtAy反反)22cos(2cos2 TtxAyyy 反反入入2 2 kxkx 波波腹腹：42 22 kxkx波波节节： (1) 自由端无半波损失，自由端无半波损失

18、，(2) (3) 解：解：4-36. 设入射波的波函数设入射波的波函数 ，在，在x=0处发生反处发生反射，反射点为一自由端。（射，反射点为一自由端。（1）写出反射波的波函数；（）写出反射波的波函数；（2）写出）写出驻波的表达式；（驻波的表达式；（3）说明那些点是波节，那些点是波腹。）说明那些点是波节，那些点是波腹。 2)(2cos xTtAyHz 603.255030340340 ssouu v解：解：4-39. 一辆机车以一辆机车以30m/s的速度驶近一位静止的观察者，如果机车的速度驶近一位静止的观察者，如果机车汽笛的频率为汽笛的频率为550Hz，此观察者听到的声音频率为多少？（空气中，此观察者听到的声音频率为多少？（空气中的声速为的声速为340m/s）