（整理版）高中数学探究性试题汇编（四）

1、高中数学探究性试题汇编四探究性试题有助于数学思维的提高。31在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点、，假设点满足，点的轨迹与抛物线：交于 、两点.求证：；在轴上是否存在一点，使得过点直线交抛物线于d、e两点，并以该弦de为直径的圆都过原点。假设存在，请求出的值及圆心的轨迹方程；假设不存在，请说明理由.解：1解：由知点的轨迹是、两点所在的直线，故 点的轨迹方程是：即 .2分由 故 . 6分 2解：存在点，使得过点任作抛物线的一条弦，以该弦为直径的圆都过原点 由题意知：弦所在的直线的斜率不为零 7分故 设弦所在的直线方程为： 代入 得 故以为直径的圆都过原点 .10分设弦的中点为 那么 弦的中点的轨

2、迹方程为： 消去得 . 14分32设函数r.i求函数的最值；给出定理：如果函数在区间上连续，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在.运用上述定理判断，当时，函数在区间内是否存在零点.解：i令2分由知fx无最大值.6分函数fx在m，2m上连续.上递增.8分由10分又根据定理，可判断函数fx在区间m，2m上存在零点.12分33数列an有a1=a，a2=p (常数p>0)，对任意的正整数n，sn=a1+a2+an，并有sn满足。 (1) 求a的值； (2) 试确定数列an是否是等差数列，假设是，求出其通项公式，假设不是，说明理由； (3) 对于数列bn，假设存在一个常数b使得对任意的正整数n

3、都有bn<b，且，那么称b为数列bn的“上渐进值，令，求数列p1+p2+pn-2n的“上渐进值。解：1，即 2 是一个以为首项，为公差的等差数列。 3， 又，数列的“上渐近值为。34函数, 且的图象经过点, 数列为等差数列.(1) 求数列的通项公式(2) 当n为奇数时, 设问: 是否存在自然数m和m, 使得不等式恒成立? 假设存在, 求出的最小值; 假设不存在, 请说明理由.解: (1)由题意得即. 令, 那么令,那么令, 那么(3分)设等差数列的公差为d, 那么(5分).(6分)(2)由(1)知: . n为奇数时, (7分)(9分)由得: (10分)设, 随n的增大而减小, 为n的增函

4、数. (12分)当时,而(13分)由此易知: 使恒成立的m的最大值为0, m的最小值为2, mm的最小值为2. (14分)35等差数列an的首项a11，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项求数列an的通项公式；设bnnn*，snb1b2bn，是否存在最大的整数t，使得任意的n均有sn总成立？假设存在，求出t；假设不存在，请说明理由解：由题意得a1da113d=a14d2， 2 分整理得2a1dd2a11，解得d0舍，d2 4 分an2n1nn* 6 分bn，snb1b2bn11 10 分假设存在整数t满足sn总成立.又sn+1sn0，数列sn是单调递增

5、的 12 分s1为sn的最小值，故，即t9又tn*，适合条件的t的最大值为8 14 分36 数列满足：，求数列的通项公式；求使不等式成立的所有正整数、的值解 由2 an+1 = 3anan1n2，得 2an+1an= anan1，因此数列 anan1 是以a2a1 = 1为首项，为公比的等比数列， ，4分于是 an =anan1+an1an2+ +a2a1+ a1 = 6分由不等式，得 ， ，即 ，8分所以 24m· 2n 8 2n为正偶数，4m为整数， 4m· 2n = 4，或 4m· 2n = 6， 或 或 或 解得 或 或 或 经检验使不等式成立的所有正整数

6、m、n的值为m，n=1，1或2，1或3，212分说明 问题1的归纳做法是：由可得， ，于是 37圆上的动点，点q在np上，点g在mp上，且满足. 1求点g的轨迹c的方程； 2过点2，0作直线，与曲线c交于a、b两点，o是坐标原点，设 是否存在这样的直线，使四边形oasb的对角线相等即|os|=|ab|？假设存在，求出直线的方程；假设不存在，试说明理由.解：1q为pn的中点且gqpngq为pn的中垂线|pg|=|gn|gn|+|gm|=|mp|=6，故g点的轨迹是以m、n为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点g的轨迹方程是 2因为，所以四边形oasb为平行四边形假设存在l使得|=|

7、，那么四边形oasb为矩形假设l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，故l的斜率存在.设l的方程为 把、代入存在直线使得四边形oasb的对角线相等.38设无穷数列an具有以下性质：a1=1；当 请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证或证明； 假设，其中，且记数列bn的前n项和bn，证明：解：令， 那么无穷数列an可由a1 = 1，给出. 显然，该数列满足，且 6分 8分 又 39. 抛物线，过c上点m，且与m处的切线垂直的直线称为c在点m的法线。 假设c在点m的法线的斜率为，求点m的坐标；设为c对称轴上的一点，在c上是否存在点，使得c在该

8、点的法线通过点p？假设有，求出这些点，以及c在这些点的法线方程；假设没有，请说明理由。解1)函数的导数上点处切线的斜率，因为过点的法线斜率为，所以，解得，故点m的坐标为。2设为c上一点，假设，那么c上点处的切线斜率，过点的法线方程为，此法线过点；假设，那么过点的法线方程为： 假设法线过，那么，即 假设，那么，从而，将上式代入，化简得：，假设与矛盾，假设，那么式无解。综上，当时，在c上有三点及，在这三点的法线过，其方程分别是： 。当时，在c上有一点，在这点的法线过点，其方程为：。40函数 1求函数f(x)是单调区间； 2如果关于x的方程有实数根，求实数的取值集合； 3是否存在正数k，使得关于x的

9、方程有两个不相等的实数根？如果存在，求k满足的条件；如果不存在，说明理由.解：1函数的定义域是对求导得 2分由 由因此 是函数的增区间；1，0和0，3是函数的减区间 5分2解法一：因为所以实数m的取值范围就是函数的值域 6分对令当x=2时取得最大值，且又当x无限趋近于0时，无限趋近于无限趋近于0，进而有无限趋近于.因此函数的值域是 即实数m的取值范围是 9分解法二：方程有实数根等价于直线与曲线y=lnx有公共点，并且当直线与曲线y=lnx相切时，m取得最大值. 6分设直线相切，切点为求导得解得 所以m的最大值是。而且易知当与曲线y=lnx总有公共点。因此实数m的取值集合是 9分3结论：这样的正数k不存在。 10分下面采用反证法来证明：