2015高考数学真题-陕西省文科、理科数学卷word版(有答案)分解

1、2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分,共60分）1、设集合"=幻，N=3/gKW0),则 MUN=(O) ( 8, 1(A) 0, 1(3) (0, 1(C) 0, 1)2、某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人(B) 123(C) 137(D) 167数是(A) 933、已知抛物线产=2/八。>0)的准线经过点(-1,(A) (-1, 0)(B) (1, 0)1 - 4, X> 0 fl,4、设於)=、,则胆一2

2、)=2x<0(A) -1(B)-41）,则该抛物线的焦点坐标为(C) (0, -1)（。）（0, 1）(C)I3 (。)-25、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表而积为(C) 2乃+4(D) 3万+46 iisina=cosa"是"cos2a=0” 的（A）充分不必要条件（C）充分必要条件7、根据右边框图，当输入x为6时，输出的y=（B）必要不充分条件（。）既不充分也不必要条件(A) 1(C) 5(B) 2CD) 108、对任意的平面向量小b.(A) k/ bab(C) 3+与2=|。+|2F列关系式中不恒成立的是(B) h一aWild一固I(D) (+/?)

3、 (ab)=a2b29、设sinx,则./U)(A)既是奇函数又是减函数(8)既是奇函数又是增函数(C)是有零点的减函数(。)是没有零点的奇函数10、设 yu)= /x, 0<a<h,若=/(>/茄)，</=/(人"j,，=,(/(，)+/()，则卜列关系式中正确的 22是(A) qr<p(B) q = r>p(C) p=r<q(D) p r>q11、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，5两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的 可用限额如表所示.如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大 利润为3

4、1111111(A) - + (B) -+-(C) (。)42424427r2产二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为14、如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3s加(三x+g)+k,据此函数可知，这段时间水深(单位：。的最大值为15、函数,，=.“在其极值点处的切线方程为.16、观察下列等式：111111 - += - + -2 3 4 3 411111 1 1 11 + + = - H + 23456456据此规律，第个等式可为.三、解答题

5、：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(本大题共6小题，共70分)17、(本小题满分12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a, b, c,向量m= (a, Cb)与n= (cosA, sinB)平行.(I) 求 A：(II) 若b=2,求ABC 的而积.18、(本小题满分12分)如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AD/BC, ZBAD=, AB=BC=-AD=a, E 是 AD 的中点，O 是 AC 22与BE的交点，将4ABE沿BE折起到图2中ARE的位置，得到四棱锥48COE(I)证明:CD1平而AQC；(II)当平而AiBE，平而BCDE时，四棱锥4-8COE的体积为36忘，求

6、a的值.n20、（本小题满分12分）如图，椭圆E： £+E = i （心>0）经过点A （0, -1）,且离心率为噂. a b2（I） 求椭圆E的方程；（ID 经过点（1,1）且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P, Q （均 异于点A）,证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.21、(本小题满分12分)15 (x) = x + a-2 +- + X1' -,x>e Nji> 2.求£(%).(ID证明M(x)在(0,9内有且仅有一个零点(记为%)，且0</<:仔32 3、3考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按

7、所做的第一 题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方涂框黑.22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB切于O。于点B,直线AO交。于D,E两点，BC_LDE,垂足为C(I) 证明：ZCBD = ZDBA ；(II) 若 AD=3DC, BC=0,求0。的直径.23、（本小题满分10分）选修4-1,坐标系与参数方程x = 3 + t在直角坐标系xOy中，直线1的参数方程为/ （t为参数）.以原点为极y = t2点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，OC的极坐标方程为 = 2&sin6.（I） 写出OC的直角坐标方程；（ID P为直线1上一动点，当P到圆心C的

8、距离最小时，求P的直角坐标.24、（本小题满分10分）选修4-5,不等式选讲 已知关于尤的不等式lx +al<b的解集为xl2vxv4.（1） 求实数a, b的值.（II）求疝丁茯+痴的最大值.答案11+ + 九 + 22/7LA 2.C 3.B 4.C 5.D 6.A 7.D 8.B 9.B 10.C ll.D 12.C13.5 14.8 15. y =16. 1 + + 4=e2 3 4 2n -1 2n n + 17 .解： 因为 m/n,所以 asinB-73 bcosA=0,由正弦定理，得 sinAsinB-V?sinBcosA=0又sinBRO,从而 tanA=G,由于所以A

9、=-. 3(II)解法一 由余弦定理，得a:=b:+c:-2bcosA,inja二 JT.b=2, A=,3得7=4+(:-2c,即c-2c-3=0,因为 c0,所以c=3.故A ABC的面积为1. 3节bcsinA=解法二由正弦定理,从而sinB=厂又由a>b,知A>B.所以2acosB=,7故 sinC=sin (A+B)=sin B+ ckC =sinBcos +cosBsin33 ；吸3而7= 14所以A ABC的面积为18 .解在图1中,因为 AB=BC= - AD=a.E是AD的中点 2/儿4。二日所以即 在图2中，BE1OC.从而 BE1平面AQC又 CD/BE,所以

10、 CDJ,平面AQC（III） 由已知，平而A）BE±平面BCDE且平而AiBEc平面BCDE=BE.又 由（I）, AQ1BE,所以 AQ1平面BCDE.即 AiO是四棱锥Ai-BCE的高。由图1知，AiO= AB=平行四边形BCDE的面积S=BC AB=2 22从而 四棱锥Ai-BCDE的体积为V=-x S x AjO=" x 33i! ：a '=36 2 ,得 ci =6.19. （I）在容量为30的样本中，不下雨的天数是26,以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不13下雨的概率为一,（III）称相邻的两个日期为“互临日期对”（如，1日与2日，2日与3日等）

11、。这样，在4月份中，前一天为晴天的互临日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日 7 不下雨的频率为一.以频率估计概率，运动会期间不会下雨的概率为N 820.（本小题满分12分）解 （D由题设知£=立涉=1, a 2结合/ = b2 解得。=y/T.所以椭圆的方程式为厂(II)由题设知，直线PQ的方程式为广 鼠x-l)+l(kH2),代入一+ )3=1得 2(1 + 2k W - 4k(k - l)x + 2k(k - 2) = 0由已知>().设 P(X，X), Q (x2,y2) , xx2 0W-l) _2k(k-2)2T'V2=O2ir从而直线A

12、EAQ的斜率之和L，_ >Ti+l Jz+1 _ 5+2-k 匕2+2% kap十kaq 一 十 一十X x2 Xx2=2k + (2 - A)+ L = 2k + (2 - %)% V2= 2Z + (2 k)4k(I)2k(k 2)二24一 2(1) = 221.(本小题满分12分)解 解法一由题设"2)=0 1)2+1心所以 /(2) = 1 + 2x2 + +(-1)2"-2+.2则2 / '(2) = 2 + 2 x 2? + (- 1)2"+ 2”,(避得，一/'(2) = 1 + 2 + 2? + +2尸 i-2n 1-2所以&

13、quot;2)=(- 1)211Y r 解法二 当XX1时，fn(x) = 1,1-X则r ,() _。- ( + )/(-X)+(X 1)二(一尸可得（II）因为 /（0） = -1<0,222.<（;）="守）22 ,j1 = J -2x（） > 1 -2x（）- >0t1 333所以/ “(x)在(0,)内至少存在一个零点又八x)=l + 2x+叱>0,2所以九(X)在(0,令内单调递增因此力*)在(07)内有且只有一个零点4v- rf，+l由于= 一11-Xa -a所以°二，&)=1一1，22解1 - a由此可得“222故，2

14、2 3所以。子的产亭命工令（I）因为 DE为00直径贝IJ/FED + nEDB = 90 ,又 BC1 DE,所以nCBD + zEDB = 90 ,从而«BD =，BED,又AB切。于点B,得 /.DBA = /BED,所以nCBD = /DBA.(II)由(I)知 BD 平分/C8A,又BC="从而AB = 3"所以 AC = VAB2 - BC2 = 4,所以 AD=3.由切割线定理得AB2 = AD AE.即AE=AB2 AD=6,故 DE=AE-AD=3,即。直径为3.23.解（I）由夕=2jJsina得二 2V5夕 sin。从而有 x2 + y2 =

15、 2yj3y,所以 x2+（y-x/3）： =3（II）设 P（3 + L,走f）,又。（0,途）.2 2贝|J|PC|=，3 + ,尸+（曰/_ 有产=5/?712,故 当厂0时，|PC|取得最小值。24.解（I）由卜+4卜/九得-b-a <x<b-a-b-a =2,不则解得 =一32=1b-a = 4,（II），-31 + 12+ =有77 + <1/(>/3)2+12(>/47)2 +(>/7)2=2 J4-/+1 = 4,当且仅当= y,B|V = 1时等号成立故 W-3/ + 12+)a=4.2015年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理一、选

16、择题1 .设集合M=xlx2=x, N = xllgxK0,则"UN =A. 0J B. (0,1 C. 0J) D. (-co2 .某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人 数为3 .如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y = 3sin(£x + 8)+ A，据此函数可知,6这段时间水深(单位：m)的最大值为4二项式(x + 1)"(£N+)的展开式中犬的系数为15,则=A. 4 B. 5 C. 6 D. 75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A. 37t B. 47C

17、. 24+4D. 3%+46 "sina = cosa” 是 “cos2a = 0”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要7,对任意向量下列关系式中u恒成立的是1 . ab<ab B la-bKllol-lBll C. (a + b)2 =a + b2 D. (a + b)(a-b) = a -b 8.根据右边框图，当输入x为2005时，输出的)，=/输入一/r=x-2严 /%7血A28 BIO C4 D29 .设/(x) = lnx,0va V。，若 =q = /(- -) , r = (/(«) + /(/?)» 则卜列关系式

18、22中正确的是A. q = r < pB. q = r> p C. p = r<qD. p = r>q10 .某企业生产甲乙两种产品均需用A, B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用 限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大 利润为甲乙原料限额A (吨)3212B(吨)128A. 12万元 B. 16万元 C. 17万元 D. 18万元11 .设复数z = (x-l) + yi (x,y eR),若IzKl，则 yNx 的概率3111-11ell4 244 242 712 412,对二次函数/(x) = a

19、W+A, + c6为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个 结论是错误的，则错误的结论是A.-1是/（x）的零点B. 1是/（x）的极值点C. 3是/a）的极值 D.点（2,8）在曲线y = /（x）上 二、填空（本大题共4小题，每小题5分）13 .中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项为14 .若抛物线y2 = 2pxp> 0）的准线经过双曲线/一 V = 1的一个焦点，则p=15 .设曲线），=。”在点（0,1）处的切线与曲线），= 1（x>0）上点p处的切线垂直，则P的坐标为X16 .如图，一横截而为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导

20、致水渠截而边界呈抛物线型（图中虚线表示）, 则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17、（本小题满分12分）AABC的内角A，B , C所对的边分别为 "，c .向量所=（/回） 与” =（cos A, sin B）平行.（I）求 A；（11）若“ =",/? = 2求AABC的面积.18、（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD中，AD/BC, ZBAD = -, AB = BC = 1, 2AD = 2, E是AD的中点，0是AC与BE的交点.将AABE沿BE折起到AA】BE的位置,

21、如图2.（I）证明:CD_L平面AQC；（II）若平面A,BE ±平面BCDE ,求平面A】BC与平面A.CD夹角的余弦值.19、（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T, T只与道路畅通 状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T （分钟）25303540频数（次）20304010(I)求T的分布列与数学期望ET；(n)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个5。分钟的讲座，结束后立即返回老校 区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.20、(本小题满分12分)已知椭圆E:二十二=1的半焦距为c,原点O到经 cr过两点(c,

22、0)，(0/)的直线的距离为gc.(I)求椭圆E的离心率；(H)如图，AB是圆M:(x + 2y+(y-炉=9的一条直径，若椭圆E经过A, B两点，求椭 2圆E的方程.21、(本小题满分12分)设力(x)是等比数列1, %,丁，炉的各项和，其中戈0, £ N, /? > 2.(I)证明：函数目(x) = £(x)2在仕,“内有且仅有一个零点(记为占)，且七 (H)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g”(x), 比较力(x)与g”(x)的大小，并加以证明.请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用

23、2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑.22、(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，AB切OO于点B,直线AO交OO于D, E两点，BC1DE,垂足为C.(I)证明：ZCBD = ZDBA ；(II)若AD = 3DC, BC = e 求OO 的直径.23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程x = 3 + t在直角坐标系xQv中，直线/的参数方程为（1为参数）.以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，0c的极坐标方程为夕= 26sin8.写出0 c的直角坐标方程；（II） P为直线/上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标.24、（本小题满分1

24、0分）选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式的解集为x|2vx<4.（I）求实数，。的值；（H）求j加的最大值.参考答案：一、选择题LA 2.C3.C4.B5.D6.A7. B 8.C9. B10.Dll.D 12.A二、填空题13.5 14. 25/215. (1,1)16. 1.2三.解答题17.(满分12分)_(I)因为 ihlln 1 所以。sin B 一 6b cos A = 0, 由正弦定理，得 sinAsinB- JJsinBcos A = 0 又 sin B W 0，从而 tan A =,由于0<A<4,所以4 =巳 3(ID解法一:由余弦定理,a2=b2+

25、c2-2bccosA而J7b = 2, A = -3得7 = 4 + c2_2c, KPc2-2c-3 = 0因为c>0,所以c = 3.故AABC的面积为L be sin A = WE.22解法二：又正弦定理，得J=，、兀 sinB sin 3从而sin 8 =叵,72 /y又由知A>B,所以cos3 = 7故sinC = sin(A+B) = sin B + <3=sin 8cos - + cosBsin - =314373所以AABC的面积为IbcsinA 218.（本小题满分12分）(I)在图1中,因为 AB二BC= 1,AD=2,E 是 AD 的中点，/BAD二三，

26、所以 BE 1AC 2即在图 2 中，BE 1 OR, BE 10C从而BE«L平面A0C又CD|BE,所以CDJ.平而A0C.AX图1(ID由己知，平面平面BCDE,又由(1)知，BE 1 OA , BE IOC所以NA0C为二而角A.-BE-C的平而角，所以ZA.OC = 1.如图，以0为原点，建立空间直角坐标系，因为 AB=AE=BC=ED=1, BCED所以 8(走,0,0), E( ,0,0), A1 (0,0, ), C(0, , 0),2222f'j BC(- ,0), A)C(0,-, -)» CD = BE = (>/2,0,0).2 222

27、设平面ABC的法向量1 = (%,y,4)，平面A£D的法向量元二(,当，马)，平面ABC与平面ACD夹角为6,-x + y. = 0 一- AC = 0" CD = 0 ,一 ，得，n2 - A,C = 0%=° ,取元=(0,1,1), Z2=。1 " ,取 =(11，1), y _4=o一. 2 瓜从而 cos 0 =1 cos。/,*)1=,l3xyj2 3即平而4BC与平面A£D夹角的余弦值为如 319.(本小题满分12分)解：(I)由统计结果可得T的频率分步为T (分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T

28、的分布列为T25303540P0.20.30.40.1从而 ET = 25x0.2 + 30x0.3 + 35x0.4+40x0.1 = 32 (分钟)(H)设工,分别表示往、返所需时间，7；,的取值相互独立，且与T的分布列相同.设事 件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应 于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.解法一：P(A) = P(7+7； <70) = P(7； =25,7； <45) + P(7； =30,7； <40) + P(7 =35,7； <35) + Pg =40,7； <30) =1x0.2 +

29、1x03 + 0.9x0.4+0.5x0.1= 0.91.解法二：P(A) = Pg +(> 70) = P( =35,7；= 40) + P(7 =40,7； = 35) + P(7 =40,7；= 40) =0.4 x0.1 + 0. lx 0.4+0.1x0.1 = 0.09故 P(A) = l-P(Q=0.9L20.(本小题满分12分)解：(I)过点(c, 0), (0, b)的直线方程为Z?x+cy-Z?c = 0,则原点o到直线的距离d = ,hc =, yjb2 + c2 a由4 =的得4 =普=2&2_。，解得离心率£ =立. 2a 2(H)解法一：由(

30、I)知，椭圆E的方程为/+4：/=4从.(1)依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为)，= k(x + 2)+l,代入(1)得(1 + 4k2)x2 + 8k(2k + l)x + 4(2% + 1尸 -4/ = 0H “、d X hill8k(2攵+ 1)4(24+1)2-42设4(芭，%)1(4,丫2)，则玉+& 二- g 小公= 心1 + tK1 T tK由m + x, = -4,得_版"+,1)=_4,解得k = L-1 + 4 12从而玉=8-2Z?2.由IABI=M，得"10(L-2) = M，解得从=3.故

31、椭圆E的方程为三十f=1. 12 3解法二：由(I)知，椭圆E的方程为/+4)3 =4/.依题意，点A, B关于圆心皿-2,1)对称，HIAB 1=710.设力区41)1(占，丫2)» 则 +4)： = 4b" x22+4y22 =4/?2,两式相减并结合 X + W = "，yI += 2,得 *4(玉) + 8 X )，2 =。.易知，AB不与x轴垂直，则菁W X),所以AB的斜率k/i8=)= %, -x2 2因此AB直线方程为y = ! (x + 2) +1,代入(2)得/ + 4x + 8 2b2 = 0.2所以X + 占=一4 , xrv2 =8-2b

32、2.I %)- x21=J1%- 4X& = Jl 0(、二2、.由IABI=M，得J10(L-2) = M，解得=3.故椭圆E的方程为三十 £=1. 12 32L (本小题满分12分)解:(I)工(幻=力()-2 = 1+工+炉+.2-2,则工(1)二九-1>0,1所以工(X)在一,1内至少存在一个零点乙.12 )又a'(x) = l + 2x +/源I >0,故在(；)内单调递增,1 、所以/(X)在-J内有且仅有一个零点五.12 j11因为4是E(x)的零点，所以£(乙)=0,即二-2 = 0,故七=十 七旬. 1一七1 2 2 '

33、72+1 1 + X"(ID解法一：由题设，g(x)=.2 + 1 1+x”设 (x) = fn(x) _ g(x) = 1 + X + V + xn, X)0.2当x=l时，fnM=glt(x)当 X W 1 时，(x) = 1 + 2x + 心2 一.2若0< X< 1, /(A-) > 炉“+ 2fl + nx" - "")xH-1 = "一”"一 Z',- 22“iifI i+- n /? +1 . n + l若 x > 1, l(x) < xt + 2x'i + , 一 L =Z

34、-1222所以(x)在(0,1)上递增，在(1,+oc)上递减，所以 (x)人=。，即/"(x)< g"(x).综上所述，当x=l时，4(x) = g(x)：当XW1 时，(x)<g(x) + 1 1 + x"解法二 由题设,力(X)= l + x +JT + x”,g"(x) =,x >0.2当 x=l 时，力(x)=g"(x)当XW1时，用数学归纳法可以证明fW<SnW.当 =2 时，& (%)-82(幻=一一(1-工)2 <°，所以 Zi(X)< g2(/成立2假设 = %(%22)时

35、，不等式成立，即人(x)v&(x).那么，当"攵+1时,九(x)=AW+状 < g 人(了)+户2xm + k + 1 J+k + 1 H2-攵+1 xk +122尸+ k + xk+k+2令”(工)=L/“ 一 攵 + 1 xk + l(x >0),则由'(x) = A(k+l)x人一攵( + 1)工1 =攵(攵 + 1)工2a一1) 所以当 0 V X V 1, 4 (x) V。，4(X)在(0,1)上递减；当 X > 1 , 4(X)> 0 , 4(X)在(1,4-00)上递增.2f + k +13+A +1所以用(x)>4(D = 0，从而gk.i(x)> 二:2故加(x) < gE M .即 =%+1，不等式也成立所以，对于一切寸