工程水文学第六章水文统计

1、 6.1 概述 研究随机现象统计规律的学科称为概率论概率论，而由随机现象的一部分试验资料去研究全体现象的数量特征和规律的学科称为数理统计学。数理统计学。 由于水文现象具有一定的随机性，用数理统计方法来分析研究这些现象称为水文统计学水文统计学。 第六章 水文统计6.2 概率的基本概念概率的基本概念 一一、事件事件 事件是指随机试验的结果。事件是指随机试验的结果。 必然事件必然事件：如果可以断定某一事件在试验中必然发生，如果可以断定某一事件在试验中必然发生，称此事件必然事件。称此事件必然事件。 不可能事件：不可能事件：可以断定可以断定试验中试验中不会发生的事件称不会发生的事件称为不可能事件。为不可

2、能事件。 随机事件：随机事件：某种事件在试验结果中可以发生也可以不发某种事件在试验结果中可以发生也可以不发 生，这样的事件就称为随机事件。生，这样的事件就称为随机事件。二、概率二、概率 随机事件在试验结果中可能出现也可能不出现，随机事件在试验结果中可能出现也可能不出现，但其出现（或不出现）可能性的大小则有所不同。但其出现（或不出现）可能性的大小则有所不同。为了比较这种可能性的大小，必须赋于一种数量标为了比较这种可能性的大小，必须赋于一种数量标准，这个数量标准就是事件的概率。准，这个数量标准就是事件的概率。6.2 概率的基本概念概率的基本概念 三、频率三、频率 水文事件不属古典概率事件，只能通过

3、试验来水文事件不属古典概率事件，只能通过试验来估算概率。设事件在估算概率。设事件在次试验中出现了次试验中出现了次，则称次，则称为事件为事件A A 的频率。的频率。 6.2 概率的基本概念概率的基本概念 掷币试验出现正面的频率表掷币试验出现正面的频率表 试验者 掷币次数出现正面次数频率 蒲丰404020400.5080皮尔逊1200060180.5016皮尔逊24000120140.5006在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。在试验次数足够大的情况下，事件的频率和概率是十分接近的。 6.2 概率的基本概念概率的基本概念 （）（）（）（）（）（）（）（） 式中，式中，（）事件与

4、之和的概率；（）事件与之和的概率； （）事件的概率；（）事件的概率； （）事件的概率。（）事件的概率。 （）事件和共同发生的概率。（）事件和共同发生的概率。 四概率加法定理和乘法定理四概率加法定理和乘法定理概率加法定理概率加法定理 6.2 概率的基本概念概率的基本概念 2、概率乘法定理、概率乘法定理 （）（）（） （）（） 式中，（）事件在事件已发生情况下的概率，简称为的条件概率。 （）事件在事件已发生情况下 的概率，简称为的条件概率。对于两个独立事件： （）（）（） 6.2 概率的基本概念概率的基本概念 AB互斥互斥P（AB）0 P（AB）P（A）P（B）AB相容相容P（AB）P（A）P（B

5、/A） P（B）P（A/B）ABP（A）P（B）1 P（A）1P（B） P（B）1P（A）对立对立AB独立独立 P（AB）P（A）P（B） P（A/B）P（A） P（B/A）P（B）例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率为地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛滥的概率为0.10.1，河流乙，河流乙泛滥的概率为泛滥的概率为0.20.2；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为0.30.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时。求在该时期内

6、这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？河流甲泛滥的概率？ 例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，例：某地区位于河流甲与乙的汇合点。当任一河流泛滥时，该地区即被淹没，设在某时期内河流甲泛的概率为设在某时期内河流甲泛的概率为0.10.1，河流乙泛滥的概率为，河流乙泛滥的概率为0.20.2；又知当河流；又知当河流甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为甲泛滥时，河流乙泛滥的概率为0.30.3。求在该时期内这个地区被淹没的概率。求在该时期内这个地区被淹没的概率。又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？又当河流乙泛滥时河流甲泛滥的概率？ 解：记河流甲泛滥为事件，河流乙泛滥为

7、事件。这个地区被淹没的概解：记河流甲泛滥为事件，河流乙泛滥为事件。这个地区被淹没的概率为：率为： （AB）（A）（B）（AB） （A）（B）（BA）（A） 0.10.20.30.1 0.27 由于由于 （AB）（B）（BA）（A） 故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为故当河流乙泛滥时，河流甲泛滥的概率为 0.30.1 / 0.2 0.15（AB）（BA）（A）/ （B） 6.3 6.3 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布一、随机变量一、随机变量 随机变量是表示随机试验结果的数量表示，随机变量是表示随机试验结果的数量表示，随机变量可分为两大类型：离散型随机变量，连随机变量可分为两大类型：离

8、散型随机变量，连续型随机变量。续型随机变量。 水文随机变量一般指水文特征值，属于连续水文随机变量一般指水文特征值，属于连续型随机变量。型随机变量。 二、随机变量的概率分布二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率有一定的对应关系，随机变量的取值与其概率有一定的对应关系，称为随机变量的概率分布，数理统计学上记为称为随机变量的概率分布，数理统计学上记为F F（x x）P P（X xX x），称为随机变量的概率分布函数。），称为随机变量的概率分布函数。 水文统计中通常研究随机变量的取值大于某一水文统计中通常研究随机变量的取值大于某一个值的概率，个值的概率，F F（x x）P P（X Xx x）在

9、水文统计学上也）在水文统计学上也称此为随机变量的概率分布函数（或概率分布曲称此为随机变量的概率分布函数（或概率分布曲线）。线）。 某雨量站的年雨量分布曲线某雨量站的年雨量分布曲线 0.60.40.211001000900800700 x0.81.0P（X x）若若x x800mm800mm，由分布曲线知，由分布曲线知P P（X X800800）0.60.6，表，表明年雨量超过明年雨量超过800mm800mm的概率等于的概率等于6060。 年雨量在年雨量在800mm800mm900mm900mm间的概率是多少呢？间的概率是多少呢？ 这就要讨论的随机变量落在某区间（这就要讨论的随机变量落在某区间（

10、x x，x x x x）内的概率，可用下式表示：内的概率，可用下式表示： P P（x xxxX Xx x）F F（x x）F F（x xxx） 从图从图3131得得: : F F（800800）0.60 0.60 ； F F（900900）0.210.21故：故： P P（900900 x800 x800）0.600.600.210.210.390.39 年雨量落在年雨量落在800mm800mm至至900mm900mm之间的可能性是之间的可能性是3939。 函数函数f（x）-F（x）为概率密度函数，简）为概率密度函数，简称为密度函数或密度曲线。称为密度函数或密度曲线。 f(x)xf(x)dxd

11、x概率密度函数概率密度函数 f(x)x密度函数密度函数 F(xp)=P(Xxp)xpf(x)xxp概率分布函数与密度函数关系概率分布函数与密度函数关系 F(xp)=P(Xxp)F(x)F(xp)x三、随机变量的统计参数三、随机变量的统计参数 概率分布曲线完整地刻划了随机变量的统概率分布曲线完整地刻划了随机变量的统计规律。但在一些实际问题中，有时只要知道概率计规律。但在一些实际问题中，有时只要知道概率分布某些特征数值。这种以简便的形式显示出随机分布某些特征数值。这种以简便的形式显示出随机变量分布规律的某些特征数字称为随机变量的统计变量分布规律的某些特征数字称为随机变量的统计参数。参数。 统计参数

12、有总体统计参数与样本统计统计参数有总体统计参数与样本统计参数之分。水文计算中常用的样本统计参参数之分。水文计算中常用的样本统计参数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。数有均值、均方差、变差系数和偏态系数。 1.均值 均值表示系列中变量的平均情况。设某水文变量的观测系列（样本）为 x1,x2，,xn ， 则其均值为: 令令 , , 称模比系数，则称模比系数，则 : : xxkiiik2.均方差 均方差是反映系列中各变量集中或离散的程度。研究系列集中或离散程度，常采用方差 或均方差 ，计算公式为 2均方差对频率曲线的影响均方差对频率曲线的影响123 3离势系数（离差系数，变差系数）离势系数（离差系

13、数，变差系数） 例如例如: :甲地区的年雨量分布，甲地区的年雨量分布， 1200mm1200mm，均方差，均方差1 1360mm360mm；乙地区的年雨量分布，；乙地区的年雨量分布， 800mm800mm，均方差，均方差2 2320mm320mm。尽管尽管1 12 2，但是，但是 ，应从相对观点来比较这两个分，应从相对观点来比较这两个分布的离散程度。布的离散程度。 采用一个无因次的数字来衡量分布的相对离散程度，称为采用一个无因次的数字来衡量分布的相对离散程度，称为离势系数离势系数1x2x2x1xxcv4偏态系数（偏差系数）偏态系数（偏差系数） 反映分布是否对称的特征反映分布是否对称的特征CS参

14、数，记为参数，记为用来表征分布不对称的情况。当密度曲线对用来表征分布不对称的情况。当密度曲线对EX对对称，称，CS0；若不对称，当正离差的立方占优时，；若不对称，当正离差的立方占优时，CS 0，称为正偏；当负离差的立方占优势时，称为正偏；当负离差的立方占优势时，CS 0，称为负偏。，称为负偏。 Cs 0Cs0Cs 0Cs 对密度曲线的影响对密度曲线的影响 水文分析计算中使用的概率分布曲线俗称水文频率曲线，习惯上把由实测资料（样本）绘制的频率曲线称为经验频率曲线 ，而把由数学方程式所表示的频率曲线称为理论频率曲线 。 所谓水文频率分布线型是指所采用的理论频率曲线( 频率函数 )的型式，目前不论哪

15、种线型都缺乏物理依据，它的选择主要取决于与大多数水文资料的经验频率点据的拟合情况（皮尔逊III型分布）。6.4.1 分布线型分布线型 6.4.1.1 正态分布正态分布 概率密度函数形式：概率密度函数形式：式中，式中， 平均数平均数 标准差标准差 正态分布在误差估算时将会应用。正态分布在误差估算时将会应用。 x6.4 水文频率计算水文频率计算正态分布密度曲线正态分布密度曲线 f(x)68.3%xxx6.4.1.2 皮尔逊皮尔逊型分布型分布 皮尔逊皮尔逊III型曲线为一端有限一端无限的不型曲线为一端有限一端无限的不对称单峰曲线，概率密度函数对称单峰曲线，概率密度函数式中，式中，a0参数，且有：参数

16、，且有： 如果已知设计值如果已知设计值xP，推求，推求 xp 取决于取决于p、和和O四个数，并且当四个数，并且当、O 三三个参数为已知时，则个参数为已知时，则xp只取决于只取决于p了。了。、O与分与分布曲线的布曲线的EX，CV和和CS有关，因此只要确定有关，因此只要确定EX、CV和和CS，xp仅与仅与p有关，可以由有关，可以由p唯一地来计算唯一地来计算xp。P3型分布的积分无解析解，实用中制表查用。型分布的积分无解析解，实用中制表查用。取标准化变量取标准化变量（离均系数）（离均系数）将之代入式（将之代入式（322）得）得被积函数只含一个参数被积函数只含一个参数CS。只要给定。只要给定CS就可以

17、就可以算出算出P和和P的对应值，最终制定出的对应值，最终制定出PCsp 的对应数值表（表的对应数值表（表32）。）。 由给定的由给定的C CS S及及p p从表从表3232查出查出P P，通过，通过x xP P （P P C CV V1 1）EXEX 即可决定出即可决定出x xP P。因此，。因此，已知已知EXEX，C CV V，C CS S就可求出与各种就可求出与各种p p值相应的值相应的x xP P值，也就可以绘制分布曲线或频率曲值，也就可以绘制分布曲线或频率曲线。线。 例如，已知某地年平均雨量例如，已知某地年平均雨量EXEX1000mm1000mm、C CV V0.50.5、C CS S

18、1.01.0，求，求p p1%1%的设计的设计年雨量。年雨量。 由由C CS S= =1.01.0，p p1%1% 查得查得 P P= =3.023.02， X X1%1%= =（P P CvCv1 1）EX EX （3.023.020.50.51 1）1000 1000 25102510（mmmm）CSp 在频率计算时，由已知的Cs值，查值表得出不同的P的，然后利用已知的EX、Cv，通过公式即可求出与各种P相应的x，从而可绘制出皮尔逊型频率曲线。 把频率曲线画在普通方格纸上，频率曲线的两端特别陡峭，又因图幅的限制，对于特小频率或特大频率，尤其是特大频率的点子很难点在图上。频率格纸，就能较好地

19、解决这个问题，所以在频率计算时，一般都是把频率曲线点绘在频率格纸上。频率格纸频率格纸(0.01,3.720) , (50,0.000)6.4.2 频率曲线参数估算频率曲线参数估算 在概率分布函数中包含有 ，CV，CS三个参数。为了唯一确定概率分布函数，就得估算这些参数。 一、样本估计总体 随机变量所取数值的全体称为总体，从总体中任意抽取的一部分称为样本，样本中所包括的项数称为样本容量。水文变量的总体是指自古迄今以至未来长远岁月所有的水文系列，是不知道的，需要靠观测到的样本去估计总体参数。现有的水文观测的系列可以当作总体的一个随机样本来处理。 x 随着样本容量的增即随着观测次数的增加，随着样本容

20、量的增即随着观测次数的增加，频率频率w w就非常接近于概率就非常接近于概率p p，经验分布曲线就非常，经验分布曲线就非常接近于总体分布曲线。在某种程度上由样本的经接近于总体分布曲线。在某种程度上由样本的经验分布来推测总体分布，总体的参数就可以通过验分布来推测总体分布，总体的参数就可以通过抽出的样本（观测的系列）抽出的样本（观测的系列） 来加以估算。来加以估算。 （ 1）样本的均值）样本的均值X，即，即（2）样本标准差）样本标准差S ，即，即 （3）样本离势系数）样本离势系数CV ，即，即 矩法公式矩法公式（4 4）样本偏态系数）样本偏态系数C CS S ，即，即 只要掌握了样本，借助上列公式估

21、计出参数；只要掌握了样本，借助上列公式估计出参数；就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。就可推出概率分布曲线，这种方法叫做矩法。注意：以上样本参注意：以上样本参数不等于总体参数！数不等于总体参数！ 原矩法公式得出的原矩法公式得出的S，CV ，和，和CS 并不是并不是无偏估计量，目前水文上采用的是经修正后的无偏估计量，目前水文上采用的是经修正后的矩法公式矩法公式: 用一个样本的统计参数来代替总体的统计参数是存在一定误差的，这种误差是由于从总体中随机抽取的样本与总体有差异而引起的，与计算误差不同，称为抽样误差抽样误差。 抽样误差一、经验频率一、经验频率 根据实测水文资料，按从大到小的顺序排列，然

22、后用经验频率公式计算系列中各项的频率，称为经验频率。以水文变量x为纵坐标，以经验频率P为横坐标，点绘经验频率点据，根据点群趋势绘出一条平滑的曲线，称为经验频率曲线。6.4.2.2 适线法适线法经验频率的计算经验频率的计算 目前我国水文计算广泛采用的是数目前我国水文计算广泛采用的是数学期望公式学期望公式: :式中 p- 等于和大于xm的经验频率； m- xm的序号，即等于或大于xm的项数； n-系列的总项数。 某地年降雨量经验分布曲线某地年降雨量经验分布曲线 0 20 40 60 80 100 p（%） x 1200 1000 800二、经验频率曲线二、经验频率曲线p（Xxi）i / n+1 经

23、验频率曲线存在的问题经验频率曲线存在的问题 经验频率曲线计算工作量小，绘制简单，查用方便，但受实测资料所限 , 往往难以满足设计上的需要。为此，提出用理论频率曲线来配合经验点据，这就是水文频率计算适线法。 频率这个词比较抽象，为便于理解，有频率这个词比较抽象，为便于理解，有时采用重现期这个词。所谓重现期是指某随时采用重现期这个词。所谓重现期是指某随机变量的取值在长时期内平均多少年出现一机变量的取值在长时期内平均多少年出现一次，又称多少年一遇。次，又称多少年一遇。 在工程水文中，重现期用字母在工程水文中，重现期用字母 T T 表示，表示，一般以年为单位。一般以年为单位。频率与重现期的关系频率与重

24、现期的关系 (6) (6) 今后今后1010年内不发生超标准洪水年内不发生超标准洪水的概率的概率(7) (7) 今后今后1010年内发生超标准洪水的年内发生超标准洪水的概率概率(8) (8) 今后今后1010年内堤防受破坏的概率年内堤防受破坏的概率三、目估适线法三、目估适线法 根据经验频率分布点据，找出与之配合最佳的频率根据经验频率分布点据，找出与之配合最佳的频率曲线，其相应的分布参数，作为总体分布参数的估计曲线，其相应的分布参数，作为总体分布参数的估计值。值。 （1）点绘经验点据）点绘经验点据 纵坐标为变量值，横坐标为纵坐标为变量值，横坐标为经验频率，采用期望值公式估计。经验频率，采用期望值

25、公式估计。 （2）初定一组参数）初定一组参数 用矩法公式的估算用矩法公式的估算EX和和CV，并假定并假定CS与与CV的比值的比值K估算估算CS 。 （3）根据初定的）根据初定的EX、CV和和CS，计算频率曲线，并绘，计算频率曲线，并绘在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想，在点有经验点据的图上。若与经验点据配合不理想，则修改参数再次配线，主要调整则修改参数再次配线，主要调整CV以及以及CS 。 （4）选择一条与经验点据配合最佳曲线作为采用曲）选择一条与经验点据配合最佳曲线作为采用曲线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。线。该曲线的参数看作总体参数的估计值。 计算步骤：计算步骤： 为了避免

26、修改参数的盲目性，需要了解参数对频为了避免修改参数的盲目性，需要了解参数对频率曲线的影响。率曲线的影响。 由由频率曲线图频率曲线图可明显看出，可明显看出，CV值愈大，曲线愈陡；值愈大，曲线愈陡；当当CS增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。增大时，曲线上段变陡而下段趋于平缓。 配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线成直线配线法采用了概率格纸，以正态分布曲线成直线来划分概率坐标的。当来划分概率坐标的。当CS0，频率曲线在概率纸上，频率曲线在概率纸上为一直线。其特点是横坐标的两端分格较稀而中间为一直线。其特点是横坐标的两端分格较稀而中间较密，纵坐标为均匀分格或对数分格。这样，曲线较密，纵坐标为均匀分格

27、或对数分格。这样，曲线两端的坡度变缓，使用起来比较方便。两端的坡度变缓，使用起来比较方便。 某站年降水量频率计算表某站年降水量频率计算表 某站共有实测降水量某站共有实测降水量资料资料24年，求频率为年，求频率为10%和和90%的年降水的年降水量。量。 （1）将原始资按大）将原始资按大小次序排列，列入表小次序排列，列入表（4）栏。）栏。 （2）按期望值公）按期望值公式计算经验频率，式计算经验频率，列入表（列入表（5）栏。）栏。并将并将X与与P对应点对应点绘于概率格纸上。绘于概率格纸上。 （3）用矩法计算系列的多年平均降水量和离差系数。）用矩法计算系列的多年平均降水量和离差系数。 （4）选定）选定

28、CV0.30，并假定，并假定CS2CV0.60查表查表3-2得得P，求得，求得 xP （PCV1），如表（），如表（3）栏。根）栏。根据表中（据表中（1）、（）、（3）两栏的对应数值）两栏的对应数值点绘曲线点绘曲线，发，发现曲线头部和尾部都偏于经验频率点据之下。现曲线头部和尾部都偏于经验频率点据之下。 （5）改变参数，重新配线。因为曲线头尾部偏低，）改变参数，重新配线。因为曲线头尾部偏低，故需增大故需增大CS，CV0.30不变，不变，CS3CV0.90，查，查算出各算出各xP值，列入表（值，列入表（4）、（）、（5）栏，点绘后曲线）栏，点绘后曲线的头部和尾部反而有些偏离，配线仍不理想。的头部和

29、尾部反而有些偏离，配线仍不理想。 （6）再次改变参数，第三次配线。把）再次改变参数，第三次配线。把CS稍微调小一稍微调小一些。选定些。选定CV0.30，CS2.5 CV0.75，查表计算出，查表计算出各各xP值，列入表（值，列入表（6）、（）、（7）栏中。绘制频率曲线，）栏中。绘制频率曲线，该线与经验点据配合较好，取为最后采用的频率曲线。该线与经验点据配合较好，取为最后采用的频率曲线。 （7）求得）求得p10%的年降水量为的年降水量为933mm，p90%的的年降水量为年降水量为433mm。 频率曲线选配计算表频率曲线选配计算表 适线法得到的成果仍具有抽样误差，而这种误差目前还难以精确估算，因此

30、对于工程上最终采用的频率曲线及相应的统计参数，不仅要从水文统计方面分析，而且还要密切结合水文现象的物理成因及地区规律进行综合分析。一、相关关系的概念 1相关的意义与应用 按数理统计法建立上述两个或多个随机变量之间的联系，称之为相关关系。把对这种关系的分析和建立称为相关分析。 水文上用相关分析可以延长和插补短系列,使水文资料满足代表性要求。相关分析相关分析3相关分析的内容 （1）判定变量间是否存在相关关系，若存在，计算其相关系数，以判断相关的密切程度； （2）确定变量间的数量关系回归方程或相关线； （3）根据自变量的值，预报或延长、插补倚变量的值，并对该估值进行误差分析。 二、直线相关 1相关图解法 设xi 和yi 代表两系列的观测值，共有n 对，把对应值点绘于方格纸上，如果相关点的平均趋势近似直线，即可通过点群中间及（ ， ）点绘出相关直线,说明变量x与y为线性相关, 满足方程： y a bxxy某某流流域域年年降降雨雨径径流流资资料料 年份年雨量X年径流Y195420141362195512117281956172813691957115769519581257720195910295341960130677819611029337196213168091963135692919641266796196510523832相关计算法 为避免相关图解法在定线上