(教师版)小学奥数4-1 长方体与正方体.专项检测题及答案解析

1、长方体与正方体（一）对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查例题精讲如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱HGEFDcCbAa             B在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形)长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积： 

2、;S长方体= 2(ab + bc + ca) ；长方体的体积：V= abc 长方体正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果它的棱长为 a ，那么： S正方体= 6a2 ， V正方体= a3 板块一长方体与正方体的表面积【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？后面上面左面前面右面下面【考点】长方体与正方体【难度】1 星【题型】解答【解析】如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六

3、个方向看这个立体图形前、后看4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page 1of 33各有 1 个面，左面看有 1 个面，右面看有 2 个面，上面看有 2 个面，下面看有 1个面所以共有1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 = 8 (个)面前后方向的棱有 6 条，左右方向的棱有 6 条，上下方向的棱也

4、有 6 条，所以共有棱 6 + 6 + 6 = 18 (条)【答案】8 个面，18 条棱【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？【考点】长方体与正方体【难度】1 星【题型】解答【解析】9 个面，21 条棱【答案】9 个面，21 条棱【例 2】 如右图，在一个棱长为 10 的立方体上截取一个长为 8，宽为 3，高为 2 的小长方体，那么新的几何体的表面

5、积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】解答【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10 ´ 10 ´ 6 = 600【答案】600【巩固】在一个棱长为 50 厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为 5 厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】解答【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后 3 

6、个方向考虑变化前后的表面积不变：50 ´ 50 ´ 6 = 15000(平方厘米)【答案】15000【例 3】 如右图，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】解答4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page 2of 33【解析】原来正方体的表面积为 5 ´ 5 &#

7、180; 6 = 150现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3 ´ 2) ´ 2 = 12，所以减少的面积就是 12【答案】12【例 4】 如图，有一个边长是 5 的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是 5，3，2 的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】解答【关键词】奥林匹克，初赛，10 题【解析】原来正方体的表面积为

8、60;5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8即表面积减少了百分之八【答案】百分之八【例 5】 右图是一个边长为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长 l 厘米的正方体，做成一种玩具它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】解答【解析】原正方体的表面积是 4 &

9、#180; 4 ´ 6 = 96(平方厘米)每一个面被挖去一个边长是 1 厘米的正方形，同时又增加了 5 个边长是 1 厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分总的来看，每一个面都增加了 4 个边长是 1 厘米的正方形从而，它的表面积是：96 + 4 ´ 6 = 120 平方厘米【答案】120【例 6】 如图，有一个边长为 20&

10、#160;厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为 2454 平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page 3of 3311【考点】长方体与正方体【难度】2 星【题型】解答【解析】大立方体的表面积是 20 ´ 20 ´ 6 = 2400 平方厘米在角上挖掉一个小正方体后，外面少了 3 个面，但里面又多出 3 

11、;个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2个面，但里面多出 4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1 个面，但里面多出 5 个面所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6 个面，可以计算出每个面的面积：(2454 - 2400) ¸ 6 = 9 平方厘米，说明小正方体的棱长是 3厘米【答案】3【例 7】 下图是一个棱长为 2 厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1

12、 厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形2小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为 厘米，那么最后得到的立体图4形的表面积是多少平方厘米？´   ´ 4 = 1(平方厘米)，  ´  ´ 4 =  (平方厘米)，这个立体图形的表面积为：8 + 16 + 4 + 1 +  =

13、60;29   (平方厘米).【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】我们仍然从 3 个方向考虑平行于上下表面的各面面积之和：2 ´ 2 ´ 2 = 8(平方厘米)；左右方向、前后方向： 2 ´ 2 ´ 4 = 16(平方厘米 )，1 ´ 1 ´ 4 = 4(平方

14、厘米 )，11111224441144【答案】 2914【例 8】 从一个棱长为 10 厘米的正方形木块中挖去一个长 10 厘米、宽 2 厘米、高 2 厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【关键词】小学生数学报【解析】按图 1 所示沿一条棱挖，为 592 平方厘米；按图 2 所示在某一面上挖，为 632 平方厘

15、米；按图 3 所示在某面上斜着挖，为 648 平方厘米；按图 4 所示挖通两个对面，为 672 平方厘米4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page 4of 33图 1图 24【答案】按图 1 所示沿一条棱挖，为 592 平方厘米；按图 2 所示在某一面上挖，为 632 平方厘米；按图 3 所示在某面上斜着挖，为 648 平方厘米；按图 

16、;4 所示挖通两个对面，为 672 平方厘米图 3                  图图 1图 2图 3图4【例 9】 一个正方体木块，棱长是 15从它的八个顶点处各截去棱长分别是 1、2、3、4、5、6、7、8 的小正方体这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【考点】长方体与正方体【难度】4

17、60;星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长 7 与 8 的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多剩下部分的表面积最小是： 15 ´ 15 ´ 6 - 7 ´ 7 ´ 2 = 1252想想为什么不是4-5-1.长

18、方体与正方体（一） 题库page 5of 3315 ´ 15 ´ 6 - 7 ´ 7 - 8 ´ 8 ？【答案】1252【例 10】 从一个长 8 厘米、宽 7 厘米、高 6 厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是平方厘米86667【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空

19、【解析】可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：´´=（8 ´ 7 - 6 ´ 6） 2 + 6 （1 + 6 + 6 + 6 + 1 + 7 + 8 + 7） 292 (平方厘米)也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了 3 个 6 ´&#

20、160;6 的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是 3 个 6 ´ 6 的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为(8 ´ 7 + 8 ´ 6 + 7 ´ 6)´ 2 = 292 (平方厘米)【答案】292【巩固】一个长、宽、高分别为21 厘米、15 厘米、12 厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切

21、下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于 21:15:12 = 7:5: 4 ，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7 厘米、5 厘米、 4 厘米的长方体.因为 7 > 5 > 4 ,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是 

22、;4 厘米（如图），第二次切时，切下棱长为 3 厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为 2 厘米的正方体符合要求.      剩下的体积应是 21´15 ´12 - (123 + 93 + 63 )= 1107 （平方厘米）.【答案】1107【例 11】 一个正方体木块，棱长是 1 米，沿着水平方向将它锯成

23、60;2 片，每片又锯成 3 长条，每条又锯成 4 小块，共得到大大小小的长方体 24 块，那么这 24 块长方体的表面积之和是多少？【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数 ´ 2 = 增加的面数原正方体表面积：1 ´ 1 ´ 6 = 6(平方米)，一共锯了(2 - 

24、1) + (3 - 1) + (4 - 1) = 6 次，6 + 1 ´ 1 ´ 2 ´ 6 = 18(平方米)4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page 6of 33【答案】18【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长 l 米，沿水平方向将它锯成 3 片，每片又锯成 4&

25、#160;长条，每条又锯成 5 小块，共得到大大小小的长方体 60 块那么，这 60块长方体表面积的和是多少平方米?【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的 2 个面的面积现在一共切了(3 - 1) + (4 - 1) + (5 - 1) = 9 刀，而原正方体一个面的面积 1 ´ l&

26、#160;= 1(平方米)，所以表面积增加了 9 ´ 2 ´ 1 = 18(平方米)原来正方体的表面积为 6 ´ 1 = 6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为 6 + 18=24(平方米)【答案】24【巩固】一个表面积为 56cm2 的长方体如图切成 27 个小长方体，这 27 个小长方体表面积的和是cm2 【考点】长方体与正

27、方体【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的 3 倍，即表面积的和为 56 ´ 3 = 168(cm2) 【答案】168【例 12】 右图是一个表面被涂上红色的棱长为 10 厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成 8 个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度

28、】3 星【题型】解答【解析】10 ´ 10 ´ 6 = 600(平方厘米)【答案】600【例 13】 有 n 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page 7of 33方体的底面如果这个长方体的表面积是 3096 平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少 144 平方厘米，那么

29、60;n 为多少？【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144 ¸ 4 = 36 (平方厘米)所堆成的长方体的表面积，包含底面的 2 个正方形和侧面的 4n 个正方形，所以n = (3096 - 36 ´ 

30、2) ¸ 144 = 21 【答案】21【例 14】 边长分别是 3、5、8 的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】三个正方体两两拼接时，最多重合 3 个正方形面，其中边长为 3 的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为 3 的正方形，边长为 5 和边长为 8 的正方体的重合面面积不超过边长为 5

31、60;的正方形，三个正方形表面积和为6 ´ 3 ´ 3 + 6 ´ 5 ´ 5 + 6 ´ 8 ´ 8 - 2 ´ 2 ´ 3 ´ 3 - 2 ´ 5 ´ 5 = 502

32、.【答案】502【例 15】 如图，25 块边长为 1 的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想 27 块边长为 1 的正方形积木，当拼成一个3´ 3´ 3 的正方体时，表面积最小，现在要去掉 2 块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为 

33、;54.【答案】54【例 16】 由六个棱长为 1 的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 3 题，8 分【解析】三视图法：表面积为： (4 + 5 + 4)´ 2 = 26【答案】26【例 17】 将 15 个棱长为1 的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。涂上红色的部分，

34、面积是（）平方厘米4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page 8of 33【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空【关键词】走美杯，3 年级，初赛，第 12 题【解析】注意底面放在桌子上，不能被染到。从上向下看有 10 个：从左向右看有 6 个；从前向后看有 7 个。因此被染色的面有10 + (6 + 7 )´ 2 = 36 个面【答案】36【例 

35、;18】 用 6 块右图所示(单位：cm)的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？123【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答5【解析】要使表面积最小，需重叠的面积最大，如图的拼接方式新的长方体长为 ，宽为4 ，高为 3 ，所以表面积为 (3 ´ 4 + 3 ´ 3 + 3 ´ 4) ´

36、60;2 = 66(cm 2 ) ；要使表面积最大需重叠的面积最小，如图所示，长为 18 ，宽为 2，高为 1 ，所以最大的表面积为(18´ 1+ 18´ 2+ 1´ 2)´ 2= 112(cm )(1)(2)【答案】112【巩固】用 10 块长 5 厘米，宽 3 厘米，高 7 厘米的长方体积木堆成

37、一个长方体，这个长方体的表面积最小是多少?【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答【解析】教师可以先提问：这个长方体的表面积最大是多少?为使表面积最大，要尽量保证10 ´ 2 个 7 ´ 5 的面成为表面，想要做到这点很容易，只需将 7 ´ 5 面做底面，而后将 10 个长方体连排，衔接的面选用 3 ´ 5 的面(衔接的面将不能成为表面积)，这样得到的长方体表面积最大同

38、样要想最小，可把 7 ´ 5 面做衔接的面，可得到 10 个长方体的连排，但此时我们还可以再4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page 9of 33制造出衔接面，如图：此时增加了 2 个 5 ´ 7 的面，减少了 10 个 3 ´ 7 的面，总体来讲表面积减少了表面积是：2 ´ (7 ´ 15&

39、#160;+ 15 ´ 10 + 10 ´ 7) = 650(平方厘米)，所以这就是最小的表面积【答案】650【例 19】 要把 12 件同样的长 a、宽 b、高 h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？当 b = 2h 时，如何打包？当 b < 2h 时，如何打包？当 b 

40、;> 2h 时，如何打包？【考点】长方体与正方体【难度】5 星【题型】解答【解析】图 2 和图 3 正面的面积相同，侧面面积 = 正面周长 ´ 长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图 2 的正面周长是 8h + 6b，图 3 的周长是 12h + 4b.两者的周长之差为 2（b - 2h）.当 b = 2h&

41、#160;时，图 2 和图 3 周长相等，可随意打包；当 b < 2h 时，按图 2 打包；当 b > 2h 时，按图 3 打包.ahb图1图2图3【答案】当 b = 2h 时，图 2 和图 3 周长相等，可随意打包；当 b < 2h 时，按图 2 打包；当 b 

42、;> 2h 时，按图 3 打包.4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page10 of 33ahb图1图2图3【巩固】要把 6 件同样的长 17、宽 7、高 3 的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答【解析】考虑所有的包装方法，因为 6 = 1 ´ 2 ´ 3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高

43、 1 ´ 1 ´ 6 拼接，重叠面有三种选择，共 3 种包装方法.第二种按长宽高 1 ´ 2 ´ 3 拼接，有 3 个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有 2 个长方体并列方向的重叠面剩下 2 种选择，一共有 6 种包装方法.其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为 1034.【答案】1034【例 20】 

44、如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是 3：4：5 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：。【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 11 题【解析】体积比为 3:8:13【答案】 3:8:13【例 21】 如图，在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，求这个立体图形的表面积4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page11 

45、;of 33【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面上下方向：5 ´ 5 ´ 2 = 50 (平方分米)；侧面：5 ´ 5 ´ 4&

46、#160;= 100 (平方分米)，4 ´ 4 ´ 4 = 64 (平方分米)这个立体图形的表面积为： 50 + 100 + 64 = 214 (平方分米)【答案】214【巩固】如右图所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为 1 米、2 米、4 米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？【考点】长方体与正方体【难

47、度】3 星【题型】解答1【解析】该图形从前、后、左、右四面观察到的面积都是 2 + 22 + 42 = 21 平方米，从上面观察到的面积是 42 = 16 平方米，由于下面不涂油漆，所以涂刷油漆的面积是21´ 4 + 16 = 100 平方米【答案】100【例 22】 如图，棱长分别为1 厘米、 2 厘米、 3 厘米、 

48、;5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_平方厘米【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 7 题，5 分【解析】 (法 1)四个正方体的表面积之和为： (12 + 22 + 32 + 52 ) ´ 6 = 39 ´ 6 = 234 (平方厘米)，重叠部分的面积为： 

49、12 ´ 3 + (22 ´ 2 + 12 ) + (32 + 22 + 12 ) + (32 + 22 + 12 ) = 3 + 9 + 14 + 14 = 40 (平4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page12 

50、;of 33方厘米)，所以，所得到的多面体的表面积为： 234 - 40 = 194 (平方厘米)(法 2)三视图法从前后面观察到的面积为 52 + 32 + 22 = 38 平方厘米,从左右两个面观察到的面积为 52 + 32 = 34 平方厘米，从上下能观察到的面积为 52 = 25 平方厘米表面积为 (38 +&

51、#160;34 + 25)´ 2 = 194 (平方厘米)【答案】194【例 23】 如图，用若干个体积相同的小正方体堆积成一个大正方体，要使大正方体的对角线（正方体八个顶点中距离最远的两个顶点的连线）穿过的小正方体都是黑色的，其余小正方体都是白色的，并保证大正方体每条边上有偶数个小正方体。当堆积完成后，白色正方体的体积占总体积的 93.75%，那么一共用了多少个黑色的小正方体？15【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 18

52、60;题，10 分【解析】白色正方体的体积占总体积的 93.75%，即占整个的，白色正方体与黑色正方体16之比为：1：15，观察可知，每一层黑色正方体有4 个，则白色正方体有 60 个，所以每一层共有 64 个正方体，则正方体的边长为 1，则共有 8 层，所以一共用了 4×8=32 个小的黑色的正方体。【答案】32【例 24】 边长为 1 厘米的正方体，如图这样层层重叠放置，那么当重叠到第 5 层时，这个立

53、体图形的表面积是多少平方厘米？N (N + 1)【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】这个图形的表面积是俯视面、左视面、正视面得到的图形面积的 2 倍. 该立体图形的上下、左右、前后方向的表面面积都是 15 平方厘米，该图形的总表面积为 90立方厘米【答案】90【巩固】按照上题的堆法一直堆到 N 层( N > 3 )，要想使总表面积恰好是一个完全平方数，则 N 的最小值是多少？【考点】长方体与

54、正方体【难度】4 星【题型】解答，【解析】每增加一层，每一个“大面”就增加到个小面，总表面积是 6 个“大面”24-5-1.长方体与正方体（一） 题库page13 of 33所以就增加到 3N ( N + 1) 个小面，几何题变成数论题，问题转化为“3N ( N + 1) 是一个完全平方数，N 的最小值是几 ( N > 3) ？”因为 N 和

55、 N + 1 互质，所以 N 和 N + 1 必须有一个是完全平方数，一个是平方数的 3 倍，但 N + 1 不能是平方数的 3 倍，因为如果 N + 1 是平方数的 3 倍，设 N + 1 = 3n2, N = 3n2 - 1 此时 N&

56、#160;被 3 除余 2，不可能是完全平方数，所以 N 是平方数的 3 倍， N + 1 是完全平方数，开始试验：当 N = 3 ´12 = 3 ，不符合题意；当 N = 3 ´ 22 = 12 ， N + 1 = 13 ，不是完全平方数；当 N&

57、#160;= 3 ´ 32 = 27 ， N + 1 = 28 ，不是完全平方数；当 N = 3 ´ 42 = 48 ， N + 1 = 49 ，是完全平方数，所以 N 的最小值是 48，即堆到第 48 层时，总表面积是完全平方数，为 3 ´

58、; 48 ´ 49 = 842 .【答案】48【例 25】 把 19 个棱长为 1 厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示因此，这个立体图形的表面积为：2 个上面 +2 个左面 +2 个前面上表面的面积为：9 平方厘米，左表面的面积为：8 平

59、方厘米，前表面的面积为：10 平方厘米因此，这个立体图形的总表面积为： (9 + 8 + 10) ´ 2 = 54 (平方厘米)上下面左右面前后面【答案】54【巩固】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page14 of 33【关键词】华杯赛，初赛，第 12 题【解

60、析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成该图形的表面积等于 (9 + 7 + 7) ´ 2 = 46 个小正方形的面积，所以该图形表面积为 46 平方厘米【答案】46【例 26】 现有一个棱长为 1 厘米的正方体，一个长宽为 1 厘米高为 2 厘米的长方体，三个长宽为 1 厘米高为 3 厘米的长方体下

61、列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形试利用下面三个图形把合并成的立体图形(如例)的样子画出来，并求出其表面积例：上侧前上面所看到的图形前面所看到的图形侧面所看到的图形【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】解答【解析】从前面看到的和从侧面看到的图形都只有 3 层，说明叠成的图形只有 3 层从上面看到的图形中可以确定 2 个高为 3 厘米的长方体的位置，一个水平方向，一个竖直方向，再从前面和侧面的图形可以看出这两个长方体都在第1 层；从而可以确定另一个高为&

62、#160;3厘米的长方体及其它两个图形的位置，可得立体图形的形状如下图所示从上面和下面看到的形状面积都为 9 平方厘米，共 18 平方厘米；从两个侧面看到的形状面积都为 7 平方厘米，共 14 平方厘米；从前面和后面看到的形状面积都为 6 平方厘米，共 12 平方厘米；隐藏着的面积有 2 平方厘米一共有18 + 14 + 12 + 2 = 46 (平方厘米)【答案】4

63、6【例 27】 将一个表面积涂有红色的长方体分割成若干个棱长为 1 厘米的小正方体，其中一面都没有红色的小正方形只有 3 个，求原来长方体的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【关键词】清华附中，培训题【解析】长：3 + 1 + 1 = 5 厘米；宽：1 + 1 + 1 = 3 厘米；高：1 + 1 + 1

64、0;= 3 厘米；所以原长方体的表面积是：（3 ´ 5 + 3 ´ 5 + 3 ´ 3）3 ´ 2 = 78 平方厘米【答案】784-5-1.长方体与正方体（一） 题库page15 of 33【例 28】 有 30 个边长为 1 米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色求被涂成

65、红色的表面积【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】 4 ´ 4 + (1+ 2 + 3 + 4) ´ 4 = 56 (平方米)【答案】56【例 29】 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如下图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点已知最底层正方体的棱长为 2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过 39，则该塔形中正方体

66、的个数至少是_最底层的正方体的单个侧面面积为 2 ´ 2 = 4 ，往上依次为 2，1，  11前五层正方体的单个侧面面积和为 4 + 2 + 1 + + = 7.75 ，【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空【解析】此几何体不论有多少层，其上、下表面积是固定不变的，为2 ´ 2 + 2 ´ 2&#

67、160;= 8 ，它的每个侧面的面积应该超过 (39 - 8) ¸ 4 = 7.75 ，241124所以要想超过 7.75 ，至少应该是 6 个【答案】6【例 30】 如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型把这个模型的表面(包括底面)都涂成红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有两面涂上红色的小正方体多_块【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空【解析】三面涂上红色的小正方体有

68、： 4 ´ 2 + 5 ´ 4 = 28 个，两面涂上红色的小正方体有：4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page16 of 333 ´ 4 + 1´ 4 = 16 个，所以三面涂红色的比两面涂红色的多 28 - 16 = 12 块【答案】12【例 31】 小明用若

69、干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1 所示，从上面看如图 2，那么这个几何体至少用了块木块图1图2【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，9 题【解析】这道题很多同学认为答案是 26 块这是受思维定势的影响,认为图 2 中每一格都要至少放一块其实,有些格不放,看起来也是这样的如下图，带阴影的 3 块不放时，小正方体块数最少，为 23【答案】23 块【例 32】 小明用若干个大小相同的正方体

70、木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图2 所示，从上面看如图 3 所示，那么这个几何体至少用了块木块图2图3【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空【关键词】迎春杯，高年级，初赛，7 题【解析】这道题很多同学认为答案是 31 块这是受思维定势的影响，认为图 2 中每一格都要至少放一块其实，有些格不放，看起来也是这样的如图5，带阴影的 5 块不放时，小正方体块数最少，为 26 块【答案】26 块图5【例 33】 右图是

71、0;4 ´ 5 ´ 6 正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少块？4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page17 of 33【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】三面涂红色的只有 8 个顶点处的 8 个立方体；两面涂红色的在棱长处，共 (4 - 2) ´ 4 + (5 - 2)

72、60;´ 4 + (6 - 2) ´ 4 = 36 块；一面涂红的表面中间部分： (4 - 2) ´ (5 - 2) ´ 2 + (4 - 2) ´ (6 - 2) ´ 2 + (5 - 2) 

73、80; (6 - 2) ´ 2 = 52 块【答案】52【例 34】 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 5 刀，沿着宽边等距离切 4刀，沿着高边等距离切n 次后，要使各面上均没有红色的小方块为 24 块，则n 的取值是_【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】填空【解析】沿着长边等距离切 5 刀，可切为 5 + 1 = 

74、6 块；沿着宽边等距离切 4 刀，可切为 4 + 1 = 5块；沿着高边等距离切 n 刀，可切为 n + 1 块由题意可知，长方体每一个面的外层是涂有 1 面(或 2 面、或 3 面)的小方块，所以，各面均没有红色的小方块共(6 - 2) ´ (5 - 2) ´ (n + 1&#

75、160;- 2) = 12(n - 1) 个，因各面均没有红色的小方块为 24 块，所以，12(n - 1) = 24 ，解得 n = 3 【答案】3【例 35】 棱长是 m 厘米（ m 为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1 厘米的小正方体至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12 ，此时 

76、;m 的最小值是多少?【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】切割成棱长是 1 厘米的小正方体共有 m3 个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的个数之比为 13:12 ，而 13 + 12 = 25 ，所以小正方体的总数是 25的倍数，即 m3 是 25 的倍数，那么 m 是 5 的倍数当 m = 5

77、0;时，要使得至少有一面的小正方体有 65 个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5 ´ 5 + 5 ´ 4 ´ 2 = 65 个，表面没有红色的小正方体有125 - 65 = 60 个，个数比恰好是13:12 ，符合题意.因此， m 的最小值是 5【答案】5【例 36】 有 64&#

78、160;个边长为 1 厘米的同样大小的小正方体，其中 34 个为白色的，30 个为黑色的现将它们拼成一个 4 ´ 4 ´ 4 的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有(4 - 2)3 = 8&

79、#160;(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小正方体有 (4 - 2)2 ´ 6 = 24 (个)，其中 30 - 8 = 22 个用黑色这样，在表面的 4 ´ 4 ´ 6 = 96 个1´1 的正方形中，有 22 个是黑色， 96 - 22 = 74

80、60;(个)是白色，所以在大正方体的表面上白色部分最多可以是 74 平方厘米【答案】74【例 37】 一个长方体的长是 12 厘米，宽 10 厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成棱长是 1 厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有 448 个求原来4-5-1.长方体与正方体（一） 题库page18 of 33长方体的体积与表面积【考点】长方体与正方体【难度】3 星【题型】解答【解析】先求出长方体的高，再求其体积和表面积设长方

81、体的高为h 厘米，则按题意截成的一面有色的小正方体有0(1 - )2 (´ )2( - 1 ) (h ´ )(2+-2h)h ( 2- )  1´  2 个，因 为 ´22+        -一面有色的小正方体有 448 个，所以， 88&

82、#160;+ 36h = 448 ，解得 h = 10 所 以 ， 长 方 体 的 体 积 为 12 ´10 ´10 = 1200 立 方 厘 米 ， 表 面 积 为(12 ´10 + 12 ´10 

83、+ 10 ´10)´ 2 = 680 平方厘米【答案】体积 1200，表面积是 680【例 38】 将一个棱长为整数分米的长方体 6 个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为 1分米的小正方体在这些小正方体中，6 个面都没有涂红色的有 12 块，仅有两个面涂红色的有 28 块，仅有一个面涂红色的有块，原来长方体的体积是立方分米【考点】长方体与正方体【难度】4 星【题型】填空（【解析】先考虑

84、 6 个面都没有涂红色的正方体，它们最初是位于原长方体的“芯” 就是去2掉长方体各面最外面一层后剩下的小长方体）内的正方体，共有 12 块，所以 12就是这个“芯”的长、宽、高（各比原来长方形的长、宽、高小 ）的乘积而 12分拆成 3 个整数的乘积只有 4 种情况：1´1´121´ 2 ´ 61´ 3 ´ 42 ´ 2 

85、;´ 3 ；再看两面涂红的小正方体两面涂红的小正方体就是最初位于长方体的棱上除了顶角处的那些小正方体，它们的个数和恰好是“芯”的长、宽、高之和的4 倍由于这样的小正方体共有 28 块，所以“芯”的长、宽、高之和为 28 ¸ 4 = 7 ；符合条件的只有 2 + 2 + 3 = 7 ，所以“芯”为 2 ´ 2 ´ 3&#

86、160;的长方体，原来的长方体是 4 ´ 4 ´ 5 的长方体一面涂红的长方体就是最初位于长方体各个面中间部分的长方体，它们的数量为：，(2 ´ 2 + 2 ´ 3 + 2 ´ 3)´ 2 = 32 （个）原来长方体的体积为： 4 ´ 4 ´ 5 = 80 （立方分米）【答案】一面涂色的有 32