2014年广东省高考数学试卷(理科)(含解析版)

1、2014 年广东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本小题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1（5 分）已知集合 M1，0，1，N=0，1，2，则 MN=（）A0，1B1，0，1，2 C1，0，2D1，0，12（5 分）已知复数 z 满足（3+4i）z=25，则 z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i3（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为&

2、#160;m 和 n，则 mn=（）A5B6C74（5 分）若实数 k 满足 0k9，则曲线D8=1 与曲线      =1 的（）A焦距相等B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等5（5 分）已知向量 =（1，0，1），则下列向量中与 成 60°夹角的是（）A（1，1，0） B（1，1，0）C（0，1，1） D（1，0，1）6（5 分）已知某地区中小学学

3、生的近视情况分布如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A200，20B100，20C200，10D100，107（5 分）若空间中四条两两不同的直线 l ，l ，l ，l ，满足 l l ，l l ，12341223l l ，则下列结论一定正确的是（）341Al l14Bl l14Cl

4、60;与 l 既不垂直也不平行14Dl 与 l 的位置关系不确定1 48（5 分）设集合 A=（x ，x ，x ，x ，x ）|x 1，0，1，i=1，2，3，4，12345i5，那么集合 A 中满足条件“1|x |+|x |+|x |+|x |+|x |3”的元素个数为12345（）A60B90       

5、0;    C120          D130二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 25 分.（一）必做题（913 题）9（5 分）不等式|x1|+|x+2|5 的解集为10（5 分）曲线 y=e5x+2 在点（0，3）处的切线方程为11（5 分）从 0，1，2

6、，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的概率为（B  Cb  c125 分）在ABC 中，角 A， 所对应的边分别为 a，已知 bcosC+ccosB=2b，则 =13 （ 5 分 ） 若 等 比 数 列 a  的 各 项 均 为 正 数&#

7、160;， 且 a a +a a =2e5 ， 则n1011912lna +lna +lna =1220【（二）、选做题（1415 题，考生只能从中选作一题） 坐标系与参数方程选做题】14（5 分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线 C 和 C 的方程分别为12sin2=cos 和 sin=1以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C

8、 和 C 交点的直角坐标为12【几何证明选讲选做题】15如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB=2AE，AC 与 DE 交于点 F，则=2三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12 分）已知函数 f（x）=Asin（x+（1）求 A 的值；），xR，且 f（  

9、0;）= （2）若 f（）+f（）= ，（0，），求 f（   ）（17 13 分）随机观测生产某种零件的某工作厂 25 名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组25，30（30，35（35，40频数358频率0.120.200.32（40，45n1f1（45，50n2f2（1）确定样本频

10、率分布表中 n ，n ，f 和 f 的值；1212（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，35的概率318（13 分）如图，四边形 ABCD 为正方形PD平面 ABCD，DPC=30°，AFPC 于点 F，FECD，交 PD 于点 E（1）证明：CF平面 ADF；（2）求二面角

11、60;DAFE 的余弦值（n19 14 分）设数列a 的前 n 项和为 S ，满足 S =2na 3n24n， N*，且 S =15nnnn+13（1）求 a ，a ，a 的值；123（2）求数列a 的通项公式n420（14 分）已知椭圆 C：+  =1（ab0）的右焦点为（  ，0），离心率为（1）求椭圆 C 的标准方程；（2

12、）若动点 P（x ，y ）为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，00求点 P 的轨迹方程21（14 分）设函数 f（x）=，其中 k2（1）求函数 f（x）的定义域 D（用区间表示）；（2）讨论函数 f（x）在 D 上的单调性；（3）若 k6，求 D 上满足条件 f（x）f（1）的 x 的集合（用区间表示）52014

13、0;年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1（5 分）已知集合 M1，0，1，N=0，1，2，则 MN=（）A0，1B1，0，1，2 C1，0，2D1，0，1【考点】1D：并集及其运算【专题】5J：集合【分析】根据集合的基本运算即可得到结论【解答】解：集合 M1，0，1，N=0，1，2，MN=1，0，1，2，故选：B【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2（5 分）已知复数 z 满

14、足（3+4i）z=25，则 z=（）A34iB3+4iC34iD3+4i【考点】A1：虚数单位 i、复数【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，计算求得 z 的值【解答】解：复数 z 满足（3+4i）z=25，则 z=            =       

15、; =34i，故选：A【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位 i 的幂运算性质，属于基础题63（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n，则 mn=（）A5B6C7D8【考点】7C：简单线性规划【专题】59：不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由 z=2x+y，得 y=

16、2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 A，直线 y=2x+z 的截距最小，此时 z 最小，由，解得，即 A（1，1），此时 z=21=3，此时 n=3，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线 y=2x+z 经过点 B，直线 y=2x+z 的截距最大，此时 z 最大，由，解得，即 B（2，1），此时 z=2×21=3，即 m=3，则

17、 mn=3（3）=6，故选：B7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键4（5 分）若实数 k 满足 0k9，则曲线（）   =1 与曲线      =1 的A焦距相等B实半轴长相等  C虚半轴长相等 D离心率相等【考点】KC：双曲线的性质【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据 k 的取值范围，判断曲线为对应

18、的双曲线，以及 a，b，c 的大小关系即可得到结论【解答】解：当 0k9，则 09k9，1625k25，bc即曲线=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a2=25， 2=9k， 2=34k，曲线=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线，其中 a2=25k，b2=9，c2=34k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A【点评】 本题主要考查双曲线的方程和性质，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键85（5 分）已知向量 =（1，

19、0，1），则下列向量中与 成 60°夹角的是（）A（1，1，0） B（1，1，0）C（0，1，1） D（1，0，1）【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角【专题】5H：空间向量及应用【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论【解答】解：不妨设向量为 =（x，y，z），A若 =（1，1，0），则 cos=，不满足条件B若 =（1，1，0），则 cos= ，满足条件C若 =（0，1，1），则 cos=，不满足条件D若 =（1，0，1），则 c

20、os=              ，不满足条件故选：B【点评】本题主要考查空间向量的数量积的计算，根据向量的坐标公式是解决本题的关键6（5 分）已知某地区中小学学生的近视情况分布如图 1 和图 2 所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）9A200，20B100，20C200，10D100，10【考点】B8：频率

21、分布直方图【专题】5I：概率与统计【分析】根据图 1 可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高中学生数，再利用图 2 求得样本中抽取的高中学生近视人数【解答】解：由图 1 知：总体个数为 3500+2000+4500=10000，样本容量=10000×2%=200，分层抽样抽取的比例为，高中生抽取的学生数为 40，抽取的高中生近视人数为 40×50%=20故选：A【点评】本题借助图表考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是关键7（5 

22、分）若空间中四条两两不同的直线 l ，l ，l ，l ，满足 l l ，l l ，12341223l l ，则下列结论一定正确的是（）34Al l14Bl l14Cl 与 l 既不垂直也不平行14Dl 与 l 的位置关系不确定1 4【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得，l&#

23、160;与 l 的位置关系不确定14【解答】解：l l ，l l ，l 与 l 的位置关系不确定，122313又 l l ，l 与 l 的位置关系不确定4314故 A、B、C 错误故选：D【点评】本题考查了空间直线的垂直关系的判定，考查了学生的空间想象能力，10在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面8（5 分）设集合 A=（x ，x ，x ，x ，

24、x ）|x 1，0，1，i=1，2，3，4，12345i5，那么集合 A 中满足条件“1|x |+|x |+|x |+|x |+|x |3”的元素个数为12345（）A60B90C120D130【考点】D9：排列、组合及简单计数问题【专题】5O：排列组合【分析】从条件“1|x |+|x |+|x |+|x |+|x |3”入手，讨论 x 所有取值的可12345i能性，分为 5 个数值中有 2 个是

25、 0，3 个是 0 和 4 个是 0 三种情况进行讨论【解答】解：由于|x |只能取 0 或 1，且“1|x |+|x |+|x |+|x |+|x |3”，i12345因此 5 个数值中有 2 个是 0，3 个是 0 和 4 个是 0 三种情况：x 中有 2 个取值为 

26、;0，另外 3 个从1，1 中取，共有方法数：ix 中有 3 个取值为 0，另外 2 个从1，1 中取，共有方法数：ix 中有 4 个取值为 0，另外 1 个从1，1 中取，共有方法数：i；总共方法数是+      +     =130即元素个数为 130故选：D【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合

27、思想去解决问题其中，分类讨论的方法是在概率统计中经常用到的方法，也是高考中一定会考查到的思想方法二、填空题：本大题共 5 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 25 分.（一）必做题（913 题）9（5 分）不等式|x1|+|x+2|5 的解集为（，32，+）【考点】R5：绝对值不等式的解法11【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由于|x1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和2 的距离之和，而3 和&

28、#160;2 对应点到 1 和2 的距离之和正好等于 5，由此求得所求不等式的解集【解答】解：由于|x1|+|x+2|表示数轴上的 x 对应点到 1 和2 的距离之和，而3 和 2 对应点到 1 和2 的距离之和正好等于 5，故不等式|x1|+|x+2|5 的解集为 （，32，+），故答案为 （，32，+）【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题10（5 分）曲线

29、 y=e5x+2 在点（0，3）处的切线方程为y=5x+3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】52：导数的概念及应用【分析】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程【解答】解；y=5e5x，k=5，曲线 y=e5x+2 在点（0，3）处的切线方程为 y3=5x，即 y=5x+3故答案为：y=5x+3【点评】本题主要考查利用导数的几何意义求曲线的切线方程，属基础题11（5 分）从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6

30、60;的概率为【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】5I：概率与统计【分析】根据条件确定当中位数为 6 时，对应的条件即可得到结论【解答】解：从 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取七个不同的数，有 C107种方法，若七个数的中位数是 6，则只需从 0，1，2，3，4，5，选 3 个，从 7，8，9 中选123 个不同的数即可，有 C 3 种方法，则这七个数的中位数是 6 的概率 P=6

31、= ，故答案为： 【点评】本题主要考查古典概率的计算，注意中位数必须是按照从小到大的顺序进行排列的比较基础（B  Cb  c125 分）在ABC 中，角 A， 所对应的边分别为 a，已知 bcosC+ccosB=2b，则 =2【考点】HP：正弦定理【专题】56：三角函数的求值【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果【 解 答 】 解 ： 

32、将bcosC+ccosB=2b ， 利 用 正 弦 定 理 化 简 得 ：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即 sin（B+C）=2sinB，sin（B+C）=sinA，sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则 =2故答案为：2【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键13 （ 5 分 ） 若 等 比 数 

33、;列 a  的 各 项 均 为 正 数 ， 且 a a +a a =2e5 ， 则n1011912lna +lna +lna =501220【考点】87：等比数列的性质13【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到 a a =e5，然后利用对数的运算性1011质化简后得答案【解答】解：数列a 为等比数列，

34、且 a a +a a =2e5，n1011912a a +a a =2a a =2e5，10119121011a a =e5，1011lna +lna +lna =ln（a a a ）=ln（a a ）10122012201011=ln（e5）10=lne50=50故答案为：50【点评】本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题【（二）、选做题（1415&

35、#160;题，考生只能从中选作一题） 坐标系与参数方程选做题】14（5 分）（极坐标与参数方程）在极坐标系中，曲线 C 和 C 的方程分别为12sin2=cos 和 sin=1以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C 和 C 交点的直角坐标为（1，121）【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】首先运用 x=cos，y=sin，将极坐标方程化为普通方程，然后组成方程组，解之求交点坐标

36、【解答】解：曲线 C ：sin2=cos，即为 2sin2=cos，1化为普通方程为：y2=x，曲线 sin=1，化为普通方程为：y=1，联立，即交点的直角坐标为（1，1）故答案为：（1，1）14【点评】本题考查极坐标方程和普通方程的互化，考查解方程的运算能力，属于基础题【几何证明选讲选做题】15如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB=2AE，AC 与 DE 交于点 F，则=9【考点】%H：三角形的面积公式；N4：相似三角

37、形的判定【专题】58：解三角形【分析】利用 ABCD 是平行四边形，点 E 在 AB 上且 EB=2AE，可得= ，利用CDFAEF，可求【解答】解：ABCD 是平行四边形，点 E 在 AB 上且 EB=2AE，= ，ABCD 是平行四边形，ABCD，CDFAEF，=（）2=9故答案为：9【点评】本题考查相似三角形的判定，考查三角形的面积比，属于基础题三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分

38、，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（12 分）已知函数 f（x）=Asin（x+），xR，且 f（）= 15（1）求 A 的值；（2）若 f（）+f（）= ，（0，），求 f（）【考点】GP：两角和与差的三角函数；HK：由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【专题】57：三角函数的图像与性质（【分析】 1）由函数 f（x）的解析式以及 f（）= ，求得 A 的值（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+），

39、根据 f（）+f（）= ，求得cos 的值，再由 （0，的值），求得 sin 的值，从而求得 f（）【解答】解：（1）函数 f（x）=Asin（x+），xR，且 f（   ）= Asin（A=+  ）=Asin   =A    = ，（2）由（1）可得 f（x）=sin（x+  ）， f （  ）&

40、#160;+f （   ） =sin （ +   ） +   sin （  +    ）=2sincos=cos= ，cos=，再由 （0，），可得 sin=f（）=）=  sin（   +        sin（）=sin=&#

41、160;  【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换，同角三角函数的基本关系，属于中档题（17 13 分）随机观测生产某种零件的某工作厂 25 名工人的日加工零件个数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数             

42、;     频率1625，30（30，35（35，403580.120.200.32（40，45n1f1（45，50n2f2（1）确定样本频率分布表中 n ，n ，f 和 f 的值；1212（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，35的概率【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式【专题】5I：概率与

43、统计（【分析】 1）利用所给数据，可得样本频率分布表中 n ，n ，f 和 f 的值；1212（2）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图；（3）利用对立事件可求概率【解答】解：（1）（40，45的频数 n =7，频率 f =0.28；（45，50的频数 n =2，112频率 f =0.08；2（2）频率分布直方图：（3）设在该厂任取 4 人，没有一人的日加工零件数落在区间（30，35为事件 A，则至少有一人的日

44、加工零件数落在区间（30，35为事件 ，已知该厂每人日加工零件数落在区间（30，35的概率为 ，P（A）=，P（ ）=1P（A）=，在该厂任取 4 人，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，35的概率为17【点评】本题考查了频数分布表，频数分布直方图和概率的计算，属于中档题18（13 分）如图，四边形 ABCD 为正方形PD平面 ABCD，DPC=30°，AFPC 于点 F，FECD，交 PD 于点 E（1）证明：CF平

45、面 ADF；（2）求二面角 DAFE 的余弦值【考点】LW：直线与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法【专题】5F：空间位置关系与距离；5H：空间向量及应用（【分析】 1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判 PC平面 ADF，即得所求；（2）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可【解答】解：（1）PD平面 ABCD，PDAD，又 CDAD，PDCD=D，AD平面 PCD，ADPC，又 AFPC，18PC平面 ADF，即 CF平面 A

46、DF；（2）设 AB=1，在 RTPDC 中，CD=1，DPC=30°，PC=2，PD=，由（1）知 CFDF，DF=，AF=  ，CF= ，又 FECD，DE=  ，同理可得 EF= CD= ，如图所示，以 D 为原点，建立空间直角坐标系，则 A（0，0，1），E（，0，0），F（  ， ，0），P（  ，0，0），C（0，1，0）设向量 =（x，y，z）为平面&#

47、160;AEF 的法向量，则有，令 x=4 可得 z=， =（4，0，），由（1）知平面 ADF 的一个法向量为=（，1，0），设二面角 DAFE 的平面角为 ，可知  为锐角，cos=|cos ，|=二面角 DAFE 的余弦值为：【点评】本题考查用空间向量法求二面角的余弦值，建立空间直角坐标系并准确求出相关点的坐标是解决问题的关键，属中档题19（n19 14 分）设数列a 的前 n 项和为

48、60;S ，满足 S =2na 3n24n， N*，且 S =15nnnn+13（1）求 a ，a ，a 的值；123（2）求数列a 的通项公式n【考点】82：数列的函数特性；8H：数列递推式【专题】55：点列、递归数列与数学归纳法（【分析】 1）在数列递推式中取 n=2 得一关系式，再把 S 变为 S +a 得另一关系323式，联立可求 a ，然后把递推式中 n&#

49、160;取 1，再结合 S =15 联立方程组求得 a ，331a ；2（2）由（1）中求得的 a ，a ，a 的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数123学归纳法证明【解答】解：（1）由 S =2na 3n24n，nN*，得：nn+1S =4a 2023又 S =S +a =15323联立解得：a =73再在 S =2na 3n24n 中取&#

50、160;n=1，得：nn+1a =2a 712又 S =a +a +7=15312联立得：a =5，a =321a ，a ，a 的值分别为 3，5，7；123（2）a =3=2×1+1，a =5=2×2+1，a =7=2×3+1123由此猜测 a =2n+1n下面由数学归纳法证明：1、当 n=1 时，a =3=2×1+1 成立12、假设 

51、n=k 时结论成立，即 a =2k+1k那么，当 n=k+1 时，由 S =2na 3n24n，得nn+1，20两式作差得：=2（k+1）+1综上，当 n=k+1 时结论成立a =2n+1n【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题，考查了学生的灵活应变能力和计算能力，是中档题20（14 分）已知椭圆 C：+  =1（ab0）的右焦点为（  ，0），离心率为（1）求椭圆 C 的标

52、准方程；（2）若动点 P（x ，y ）为椭圆 C 外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，00求点 P 的轨迹方程【考点】J3：轨迹方程；K3：椭圆的标准方程【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程（【分析】 1）根据焦点坐标和离心率求得 a 和 b，则椭圆的方可得（）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用=0，整理出关于 k 的一元二次方程，利用韦达定理表示出 k1k ，进而取得 x

53、 和 y 的关系式，即 P 点2 0 0的轨迹方程【解答】解：（1）依题意知，求得 a=3，b=2，椭圆的方程为+=1（2）当两条切线中有一条斜率不存在时，即 A、B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 的坐标为（±3，±2），符合题意，21当两条切线斜率均存在时，设过点 P（x ，y ）的切线为 y=k（xx ）+y ，0000+=+=1，4x2+9k2x2+2kx x+2ky x2ky x =360000整理得（9k2+4）x2+18k（y kx ）x+9（y kx ）24=0，0000=18k（y kx ）24（9k2+4）×9（y kx ）24=0，0000整理得（x 29）k22x ×y ×k+（y 24）=0，