2015年湖南省高考数学试卷(文科)(含解析版)

1、2015 年湖南省高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1（5 分）已知A1+i=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（    ）B1i          C1+i        D1i2（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的

2、茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是（）A3B4C5D63（5 分）设 xR，则“x1“是“x31”的（）A充分不必要条件C充要条件4（5 分）若变量 x，y 满足约束条件A1B0B必要不充分条件D既不充分也不必要条件，则 z=2xy 的最小值为（    ）C1       &#

3、160;    D25（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S=（）1A6（5 分）若双曲线BC             D=1 的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的离心率为（）ABCD7（5 分）若实数 a，b 满足 + =，则 ab 的最小值为（  

4、60; ）AC2B2                              D48（5 分）设函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x），则 f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函

5、数D偶函数，且在（0，1）上是减函数9（5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0），则|A6|的最大值为（    ）B7             C8            

6、D910（5 分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD2二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）11（5 分）已知集合 U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则 A（ B）U=（12 5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若

7、曲线 C 的极坐标方程为 =2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为13（5 分）若直线 3x4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（r0）相交于 A，B 两点，且AOB=120°，（O 为坐标原点），则 r=14（5 分）已知函数 f（x）=|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是（15 5 分）已知 0，在函数 y=2sinx 与 y=2

8、cosx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2，则 =       三、解答题16（12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A ，A 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a ，121a 和 2 个白球 b ，b 的乙箱中

9、，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球212则中奖，否则不中奖（）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由317（12 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若 sinCsinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A，B，C18（12 分）如图，直三棱柱 ABCA

10、60;B C 的底面是边长为 2 的正三角形，E，F111分别是 BC，CC 的中点，1（）证明：平面 AEF平面 B BCC ；11（）若直线 A C 与平面 A ABB 所成的角为 45°，求三棱锥 FAEC 的体积11119（13 分）设数列a 的前 n 项和为 S ，已知 a =1，a =2，a

11、60;=3S S +3，nnn12n+2nn+1N*，（）证明 a =3a ；n+2n（）求 S n420（13 分）已知抛物线 C ：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C ：12+  =1（ab0）的一个焦点，C 与 C 的公共弦的长为 212，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B1两点，与 C&#

12、160;相交于 C，D 两点，且2与同向（）求 C 的方程；2（）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率21（13 分）已知 a0，函数 f（x）=aexcosx（x0，+），记 x 为 f（x）n的从小到大的第 n（nN*）个极值点（）证明：数列f（x ）是等比数列；n（）若对一切 nN*，x |f（x ）|恒成立，求 a 的取值范围nn52015 年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解

13、析一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1（5 分）已知A1+i=1+i（i 为虚数单位），则复数 z=（    ）B1i          C1+i        D1i【考点】A5：复数的运算【专题】5N：数系的扩充和复数【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得 z 的

14、值【解答】解：已知=1+i（i 为虚数单位），z=      =          =1i，故选：D【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题2（5 分）在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139，151上的运动员人数是

15、（）A3B4C5D6【考点】BA：茎叶图【专题】5I：概率与统计【分析】对各数据分层为三个区间，然后根据系统抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为 ，然后各层按照此比例抽取6【解答】解：由已知，将个数据分为三个层次是130，138，139，151，152，153，根据系统抽样方法从中抽取 7 人，得到抽取比例为 ，所以成绩在区间139，151中共有 20 名运动员，抽取人数为 20× =4；故选：B【点评】本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取

16、比例3（5 分）设 xR，则“x1“是“x31”的（）A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件【专题】5L：简易逻辑【分析】利用充要条件的判断方法判断选项即可【解答】解：因为 xR，“x1“x31”，所以“x1“是“x31”的充要条件故选：C【点评】本题考查充要条件的判断，基本知识的考查4（5 分）若变量 x，y 满足约束条件，则 z=2xy 的最小值为（    ）A1B0C1   

17、;         D2【考点】7C：简单线性规划【专题】59：不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，7由图可知，最优解为 A，联立，解得 A（0，1）z=2xy 的最小值为 2×01=1故选：A【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题5（5 分）执行如图所示的程序框图，如果输入 n=3，则输出的 S

18、=（）ABCD【考点】EF：程序框图8【分析】列出循环过程中 S 与 i 的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：判断前 i=1，n=3，s=0，第 1 次循环，S=第 2 次循环，S=第 3 次循环，S=，i=2，i=3，i=4，此时， i  n ，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S=            &#

19、160;      =故选：B【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力6（5 分）若双曲线离心率为（）A  =1 的一条渐近线经过点（3，4），则此双曲线的B              C            

20、 D【考点】KC：双曲线的性质【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到 a、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线=1 的一条渐近线经过点（3，4），可得 3b=4a，即 9（c2a2）=16a2，解得 = 故选：D【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查7（5 分）若实数 a，b 满足 + =，则 ab 的最小值为（）9AB2C2D4【考点】7F：基本不等式及其应用【专

21、题】11：计算题；59：不等式的解法及应用【分析】由 + =，可判断 a0，b0，然后利用基础不等式即可求解 ab 的最小值【解答】解： + =a0，b0，解可得，ab（当且仅当 b=2a 时取等号），即 ab 的最小值为 2  ，故选：C【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题8（5 分）设函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x），则 f（x）是（）A奇函数，且在（0，1）上是增函数B奇函数，且

22、在（0，1）上是减函数C偶函数，且在（0，1）上是增函数D偶函数，且在（0，1）上是减函数【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；3N：奇偶性与单调性的综合【专题】53：导数的综合应用【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可【解答】解：函数 f（x）=ln（1+x）ln（1x），函数的定义域为（1，1），函数 f（x）=ln（1x）ln（1+x）=ln（1+x）ln（1x）=f（x），所以函数是奇函数排除 C，D，正确结果在 A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0 时，f（0）=0；10x= 时

23、，f（ ）=ln（1+ ）ln（1 ）=ln31，显然 f（0）f（ ），函数是增函数，所以 B 错误，A 正确故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力9（5 分）已知 A，B，C 在圆 x2+y2=1 上运动，且 ABBC，若点 P 的坐标为（2，0），则|A6|的最大值为（    ）B7      

24、;       C8            D9【考点】9D：两向量的和或差的模的最值；9O：平面向量数量积的性质及其运算【专题】11：计算题；5B：直线与圆【分析】由题意，AC 为直径，所以|2+|7，即可得出结论【解答】解：由题意，AC 为直径，所以|=|2  +  |B 为（1，0）时，|=|2  + 

25、 |所以 B 为（1，0）时，|2+  |7所以|的最大值为 7另解：设 B（cos，sin），|2+  |=|2 （ 2 ， 0 ） + （cos 2 ，sin） |=| （cos 6 ，sin）|=           ，当 cos=1 时，B&

26、#160;为（1，0），取得最大值 7故选：B【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础10（5 分）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则11原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）ABCD【考点】L7：简单空间图形的三视图【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离【分析】由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求【解答】解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为 2

27、 的圆，母线长为 3，所以圆锥的高为 2其内接正方体的棱长为 x，则，所以原工件材料的利用率为：，圆锥是体积为，解得 x=   ；，所以正方体的体积为11（5 分）已知集合 U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，则 A（   B）故选：A【点评】本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5

28、 分，共 25 分）U12=1，2，3【考点】1H：交、并、补集的混合运算【专题】11：计算题；5J：集合【分析】首先求出集合 B 的补集，然后再与集合 A 取并集【解答】解：集合 U=1，2，3，4，A=1，3，B=1，3，4，所以 B=2，U所以 A（ B）=1，2，3U故答案为：1，2，3【点评】本题考查了集合的交集、补集、并集的运算；根据定义解答，属于基础题（12 5 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半

29、轴为极轴建立极坐标系，若曲线 C 的极坐标方程为 =2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为x2+（y1）2=1【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程【专题】5S：坐标系和参数方程【分析】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可【解答】解：曲线 C 的极坐标方程为 =2sn，即 2=2sn，它的直角坐标方程为：x2+y2=2y，即 x2+（y1）2=1故答案为：x2+（y1）2=1【点评】本题考查极坐标与直角坐标方程的互化，基本知识的考查13（5 分）若直线 3x4y+5=0

30、0;与圆 x2+y2=r2（r0）相交于 A，B 两点，且AOB=120°，（O 为坐标原点），则 r=2【考点】J8：直线与圆相交的性质【专题】5B：直线与圆132【分析】若直线 3x4y+5=0 与圆 x2+y2=r （r0）交于 A、B 两点，AOB=120°，则AOB 为顶角为 120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线 3x4y+5=0 的距离 d= r，代入点到直线距离公式，可构造关于&

31、#160;r 的方程，解方程可得答案【解答】解：若直线 3x4y+5=0 与圆 x2+y2=r2（r0）交于 A、B 两点，O 为坐标原点，且AOB=120°，则圆心（0，0）到直线 3x4y+5=0 的距离 d=rcos= r，即= r，解得 r=2，故答案为：2【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线 3x4y+5=0 的距离 d= r 是解答的关键（14 

32、5 分）已知函数 f（x）=|2x2|b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是0b2【考点】51：函数的零点【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用【分析】由函数 f（x）=|2x2|b 有两个零点，可得|2x2|=b 有两个零点，从而可得函数 y=|2x2|函数 y=b 的图象有两个交点，结合函数的图象可求 b的范围【解答】解：由函数 f（x）=|2x2|b 有两个零点，可得|2x2|=b 有两个零点，从而可得函数 y=|2x2|

33、函数 y=b 的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0b2 时符合条件，故答案为：0b214【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质（15 5 分）已知 0，在函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2，则 =【考点】H2：正弦函数的图象；H7：余弦函数的图象【专题】26：开放型；57：三角函数的图像与性质【分析】根据正弦线，余弦线得出交

34、点（k1，  ），（  （k2，），k ，k 都为整数，12两个交点在同一个周期内，距离最近，即可得出方程求解即可【解答】解：函数 y=2sinx 与 y=2cosx 的图象的交点，根据三角函数线可得出交点（k1，  ），（  （k2，   ），k ，k 都为整数，12距离最短的两个交点的距离为 2这两个交点在同一个周期内，12=（     

35、60; ）2+（       ）2，=15故答案为：【点评】本题考查了三角函数的图象和性质，三角函数线的运用，属于中档题，计算较麻烦三、解答题16（12 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 A ，A 和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a ，121a 和 2 个白球 b&

36、#160;，b 的乙箱中，各随机摸出 1 个球，若摸出的 2 个球都是红球212则中奖，否则不中奖（）用球的标号列出所有可能的摸出结果；（）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式【专题】5I：概率与统计【分析】（）中奖利用枚举法列出所有可能的摸出结果；（）在（）中求出摸出的2 个球都是红球的结果数，然后利用古典概型概率计算公式求得概率，并说明中奖的概率大于不中奖的概率是错误的16【解答】解：（）所有可能的摸出的结果是：A

37、0;，a ，A ，a ，A ，b ，A ，b ，A ，a ，A ，a ，111211122122A ，b ，A ，b ，B，a ，B，a ，B，b ，B，b ；21221212（）不正确理由如下：由（）知，所有可能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为：A ，a ，A ，a ，A ，a 

38、，A ，a ，共 4 种，11122122中奖的概率为不中奖的概率为：1故这种说法不正确【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，训练了枚举法求基本事件个数，是基础题17（12 分）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=btanA（）证明：sinB=cosA；（）若 sinCsinAcosB= ，且 B 为钝角，求 A，B，C【考点】HP：正弦定理【专题】58：解三角形【分析】（）由正弦定理及已知可得=  

39、60; ，由 sinA  0 ，即可证明sinB=cosA（）由两角和的正弦函数公式化简已知可得 sinCsinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，可得 sin2B= ，结合范围可求 B，由 sinB=cosA 及 A 的范围可求 A，由三角形内角和定理可求 C【解答】解：（）证明：a=btanA =tanA，由正弦定理：，又 tanA=    ，17

40、=，sinA0，sinB=cosA得证（）sinC=sin（A+B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinCsinAcosB=cosAsinB= ，由（1）sinB=cosA，sin2B= ，0B，sinB=，B 为钝角，B=，又cosA=sinB=A=，C=AB=，综上，A=C=，B=【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题18（12 分）如图，直三棱柱 ABCA B C 的底面是边长为 2 的正三角形，E，F111分别是

41、 BC，CC 的中点，1（）证明：平面 AEF平面 B BCC ；11（）若直线 A C 与平面 A ABB 所成的角为 45°，求三棱锥 FAEC 的体积11118【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY：平面与平面垂直【专题】5F：空间位置关系与距离【分析】（）证明 AEBB ，AEBC，BCBB =B，推出 AE平面 B BCC ，利用1111平面余平米垂直的

42、判定定理证明平面 AEF平面 B BCC ；11（）取 AB 的中点 G，说明直线 A C 与平面 A ABB 所成的角为 45°，就是CA G，1111求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积【解答】（）证明：几何体是直棱柱，BB 底面 ABC，AE 底面 ABC，1AEBB ，1直三棱柱 ABCA B C 的底面是边长为 2

43、0;的正三角形，E 分别是 BC 的中点，111AEBC，BCBB =B，AE平面 B BCC ，111AE 平面 AEF，平面 AEF平面 B BCC ；11（）解：取 AB 的中点 G，连结 A G，CG，由（）可知 CG平面 A ABB ，111直线 A C 与平面 A ABB 所成的角为 45

44、6;，就是CA G，则 A G=CG=11111AA =，CF=1，三棱锥 FAEC 的体积： ×=                  =  【点评】本题考查几何体的体积的求法，平面与平面垂直的判定定理的应用，考19查空间想象能力以及计算能力19（13 分）设数列a 的前 n 项

45、和为 S ，已知 a =1，a =2，a =3S S +3，nnn12n+2nn+1N*，（）证明 a =3a ；n+2n（）求 S n【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【专题】54：等差数列与等比数列【分析】（）当 n2 时，通过 a =3S S +3 与 a =3Sn+2nn+1n+1n1S +3 作差，然后验n证当 n=1 

46、时命题也成立即可；（）通过（I）写出奇数项、偶数项的通项公式，分奇数项的和、偶数项的和计算即可【解答】（）证明：当 n2 时，由 a =3S S +3，n+2nn+1可得 a =3Sn+1n1S +3，n两式相减，得 a a =3a a ，n+2n+1nn+1a =3a ，n+2n当 n=1 时，有 a =3S S +3=3×1（1+2）+3=3，312a 

47、=3a ，命题也成立，31综上所述：a =3a ；n+2n（）解：由（I）可得，其中 k 是任意正整数，S2k1=（a +a ）+（a +a ）+（a1 2 3 4 2k3+a2k2）+a2k1=3+32+3k1+3k1=+3k1= ×3k1 ，S =S2k2k1+a = ×3k1 +2×3k1=     ，2k20综上所述，S

48、 =n【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题20（13 分）已知抛物线 C ：x2=4y 的焦点 F 也是椭圆 C ：12+  =1（ab0）的一个焦点，C 与 C 的公共弦的长为 212，过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B1两点，与 C 相交于 C，D 两点，且2与同向（）求&#

49、160;C 的方程；2（）若|AC|=|BD|，求直线 l 的斜率【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合【专题】26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（）通过 C 方程可知 a2b2=1，通过 C 与 C 的公共弦的长为 2112且 C1与 C 的图象都关于 y 轴对称可得，计算即得结论；2（）设 A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，

50、y ），D（x ，y ），通过11223344=  可得（x +x ）1 224x x =（x +x ）24x x ，设直线 l 方程为 y=kx+1，分别联立直线与抛物线、1 2 3 4 3 4直线与椭圆方程，利用韦达定理计算即可【解答】解：（）由 C 方程可知 F（0，1），1F 也是椭圆 C 的一个焦点，a2b2

51、=1，2又C 与 C 的公共弦的长为 2，C 与 C 的图象都关于 y 轴对称，1212易得 C 与 C 的公共点的坐标为（±12，又a2b2=1，a2=9，b2=8， ），21C 的方程为+=1；2（）如图，设 A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），11223344与=同向，且|AC|=|BD|，x x =x x ，1 2 3 4（x +x ）24x x =（x +x ）24x x ，12123434设直线 l 的斜率为 k，则 l 方程：y=kx+1，由，可得 x24kx