浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系

1、浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系 摘 要 在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。 关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目 录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处21.1 定义法在极限解题中的应用21.1.1 定义法概述21.1.2 定义法解题实例分析31.2 迫敛性在极限解题中的应用31.2.1 迫

2、敛性概述31.2.2 迫敛性解题实例分析41.3 积分中值定理在极限解题中的应用41.3.1 积分中值定理概述41.3.2 积分中值定理实例分析51.4 本章小结62 数列极限与函数极限在解题中的不同之处72.1 存在条件不同72.1.1 数列极限存在条件72.1.2 函数极限存在条件92.2 特殊形式的极限92.2.1 数列极限的特殊解法研究92.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究123数列极限与函数极限的关系133.1海涅定理133.2海涅定理的应用144 结论151 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。主要表现在数列极限与函数极限

3、的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。1.1 定义法在极限解题中的应用1.1.1 定义法概述 数列极限的：设为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正数N，使得当时，有，则称数列收敛于。记作：。否则称为发散数列。函数极限定义：设是一个数列，是实数，如果对任意给定的，总存在一个正整数，当时，都有，我们就称是数列的极限。记为。1.1.2 定义法解题实例分析例. 求证数列极限其中。 证：当时，结论显然成立。 当时，记，则，由 得，任给，则当时，就有，即即 当 综上，例. 按函数极限定义证

4、明。解: 令，则让即可，存在，当时，不等式: 成立，所以。1.2 迫敛性在极限解题中的应用1.2.1 迫敛性概述数列极限迫敛性：设数列都以为极限，数列满足：存在正数N，当n>N时，有，则数列收敛，且。函数极限迫敛性：设，且在某内有，则1.2.2 迫敛性解题实例分析例.求数列极限解：记，则 由迫敛性得=。注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用。例：求函数极限的极限解： 且 由迫敛性知 注：做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。1.3 积分中值定理在极限解题中的应用1.3.1 积分中

5、值定理概述数列极限中值定理如下：定理一（费马定理）：设函数在点的某邻域内有定义并且在处可导，如果对任意的，有（或），那么。定理二（罗尔定理）：如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,那么在至少存在一点,使得。定理三（拉格朗日中值定理）：如果函数在闭区间上连续,在开区间内可导,那么至少存在一点，使得。结论也可写成：。 定理四（柯西中值定理）：如果函数及在闭区间上连续，在开区间内可导，且在内每一点处均不为零，那末在内至少有一点，使等式成立。函数极限中值定理：设函数在区间上连续，将区间分成个子区间在每个子区任取一点，作和式，当时，(属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f

6、(x) 在区间的定积分。1.3.2 积分中值定理实例分析例. 求， 解：设，在应用拉格朗日中值定理，得 ，故当时，可知 原式=。例. 求解: 设，则在内连续，所以， 所以原式1.4 本章小结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。 从上述的介绍中

7、可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 数列极限与函数极限在解题过程中虽然存在有很多相似之处，但也有着很多的不同之处，下面本章主要针对数列极限与函数极限的存在条件不同以及一些特殊的极限解题方式的不同进行分析与研究。2.1 存在条件不同2.1.1 数列极限存在条件定理一（单调有界定理）：在实数系中，有界且单调数列必有极限。证明：不妨设单调递增有上界，由确界原理有上确界，下面证明。， 一方面，由上确界定义，使得，又由的递增性得，当时；另一方面，由于是的一个

8、上界，故对一切，都有；所以当时有，即，这就证得。同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。例 设其中，证明数列收敛。证明：显然数列是单调递增的，以下证明它有上界。事实上， 于是由单调有界定理便知数列收敛。定量二（柯西收敛准则）： 单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件柯西收敛准则。 Cauchy收敛准则：数列收敛的充分必要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当时有；或对任给的，存在正整数，使得当，及任一，有。 说明： (1)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。 (2)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映

9、这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。 (3)Cauchy准则把定义中与a的之差换成与之差。其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。 (4) 数列发散的充分必要条件是：存在，对任意的，都可以找到，使得；存在，对任意的，都可以找到，及，使得。例 设，证明数列收敛。证明：不妨设，则 对任给的，存在，对一切有，由柯西收敛准则知数列收敛。2.1.2 函数极限存在条件 定理一（单调有界定理）：相应于数列极限的单调有界定理，关

10、于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下：设为定义在上的单调有界函数，则右极限存在。注：(1)设为定义在上的有界函数。若递增，则;若递减，则。(2) 设为定义在上的递增函数，则， 。 定理二（函数极限的柯西收敛准则）：设函数在内有定义。存在的充要条件是：任给，存在正数，使得对任何有。 注：可以利用柯西准则证明函数极限的不存在:设函数在内有定义。 不存在的充要条件是：存在 ，对任意正数，存在， 有。2.2 特殊形式的极限2.2.1 数列极限的特殊解法研究（1）利用矩阵求解一类数列的极限 若数列的递推公式形如且已知，（为常数且，）解法：将递推公式写成矩阵形式，则有，从而可利用线性

11、代数知识求出的表达式，并进一步求出. 若数列的递推公式形如且已知，（且，）解法1.令，则， ，从而有 ，整理得，再由（1）可以求解.解法2.设与关系式对应的矩阵为，由关系式逐次递推，有，其对应的矩阵为，利用数学归纳法易证得，通过计算可求出的表达式，并进一步求出.例.已知斐波那契数列定义如下： 若令，则且，证明极限存在并求此极限. 解：显然，相应矩阵的特征值，对应的特征向量分别为.令 ，则有.于是 从而，由于，上式右端分子、分母同时除以，再令，则有.注：求由常系数线性递推公式所确定的数列的极限有很多种方法，矩阵解法只是其一，但与之相关的论述很少，但却简单实用。（2）巧用无穷小数列求数列极限引理：

12、数列收敛于的充要条件是：数列为无穷小数列。注：上述引理说明，若，则可作“变量”替换：令，其中是一无穷小数列。定理1：若数列为无穷小数列，则数列也为无穷小数列，反之亦成立。定理2：若数列为无穷小数列，则数列也为无穷小数列。推论1：设数列为无穷小数列，则数列也为无穷小数列。例.设，求极限. 解：由，作“变量”代换，令，其中，是一无穷小数列，故=因为，所以是有界数列，即，从而结合上述推论1有， 再根据定理1，便有又由定理2可知，=.注：利用无穷小数列求数列极限通常在高等数学和数学分析教材中介绍甚少，但却是一种很实用有效的方法用这种方法求某类数列的极限是极为方便的2.2.3 两个重要形式的函数极限解法

13、研究1. 极限 极限是一个重要形式函数极限，其有很多变形方式，对于一次函数而言，是上述重要极限的一个推广。其推广方式还有很多，如二次函数的推广方式为。其推广的方式虽然很多，但是万变不离其中，对于这类题型的解答有着自身的规律。具体见下面的例题。例. 计算解 2极限 这一函数极限的推广方式与上述函数极限的推广方式相同。具体例题如下。例. 计算解 3数列极限与函数极限的关系3.1海涅定理数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义来说

14、，效果都是一样的。因此，数列极限与函数极限在一定的条件下能相互转化。能够建立这种联系的就是海涅定理。定理一（归结原则）：设在内有定义。 存在的充要条件是: 对任何含于且以为极限的数列， 极限都存在且相等。充分性的证法：只须证明，若对任意数列，且，有，则。因为在已知条件中，具有这种性质的数列是任意的(当然有无限多个)，所以从已知条件出发直接证明其结论是困难的。这时可以考虑应用反证法。也就是否定结论，假设，根据极限定义的否定叙述，只要能构造某一个数列，但是，与已知条件相矛盾。于是充分性得到证明。注1 归结原则也可简述为 对任何有注2 虽然数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。海涅

15、定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系， 从而给数列极限与函数极限之间架起了一座可以互相沟通的桥梁。它指出函数极限可化为数列极限，反之亦然。在极限论中海涅定理处于重要地位。有了海涅定理之后，有关函数极限的定理都可借助已知相应的数列极限的定理予以证明。例如若， 则。证 已知，根据海涅定理的必要性，对任意数列，且，有，。由数列极限的四则运算，对任意数列，且，有。再根据海涅定理的充分性，由。注3 归结原则除上述重要的理论意义外， 它还为证明某些函数极限不存在提供了行之有效的方法:若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列与，使与都存在而不相等，则不存在。3.

16、2海涅定理的应用 （1）利用函数性质及海涅定理求数列的极限求数列极限时，有时，可先求对应的函数极限，再利用函数性质及海涅定理求出数列极限。例. 求极限因为在处连续，当时， 由海涅定理知，（2） 判断函数在某点的可导性应用海涅定理，可求得函数差、商的极限，从而可判断函数在某点的可导性。例 证明函数（其中为Dirichlet函数）在原点可导，而在其他点处不可导。证明 因为 所以f(x)在x=0处可导且. 当时，设数列xn是大于且趋于x0的有理数列 数列是大于且趋于x0的无理数列 当x0为无理数时， 因为 而 故由海涅定理可知，f(x)在无理点x0处不可导，当x0为非零有理数时 因为 而 故由海涅定

17、理可知，f(x)在有理点x0处不可导，所以只在原点可导，而在其他点处不可导。4 结论（1）数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。其中定义法、迫敛性以及积分中值定理的应用在数列极限以及函数极限的解题过程中存在很多的相似性。（2）数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的不同之处，如函数的存在条件存在不同、一些特殊函数的解法也存在不同。（3）数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义来说，效果都是一样的。因此，数列极限与函数极限在一定的条件下能相互转化。能够建立这种联系