3.2方向导数与梯度ppt课件

1、 第六章 第六节第六节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 三、物理意义三、物理意义 方向导数与梯度方向导数与梯度l( , )P x y一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数若函数( , )f x y0limtft则称lflft为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.0(cos ,cos)( , )limtf xtytf x yt在点 ( , )P x y处沿方向 l (方向角为, ) 存在下列极限: P记作记作 xflf 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfffly 当 l 与 y 轴同向,0,2时 有ffly 当 l 与 y 轴反向,2时

2、 有方向导数与偏导数关系如何？方向导数与偏导数关系如何？( , )( , ),f x yP x y若函数在点处可微定理定理:则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,coscosffflxy,.l 其中为 的方向角且有例例1. 求函数求函数 在点 P(1, 1) 沿向量2ux y 的方向导数 .(1,1)l例例2. 求函数求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz21yx朝 x 增大方向的方向导数.xoy2P10(,)( , )lim,ffxx yy zzfx y zl 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义coscoscos .fffflxyzcos,x cos

3、,y cos ,z 例例3. 求函数求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2(2, 1,l 3) 的方向导数 .2cos,14Plu) 1, 1, 1 (1461cos,143cos141422zyx1412zx1432yx解解: 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为二、梯度二、梯度 方向导数公式coscosffflxy令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：,ffgxy 0(cos, cos)l 0cos( ,)gg l 0fg ll 0,lg 当与 方向一致时:g maxfgl 1. 定义定义grad f即grad f称为函数 f

4、(P) 在点 P 处的梯度,ffxyffijxy记作 ,(gradient),g 说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)例例4.,)(可导设rf222( , , )rxyzP x y z其中为点Pxozy试证0grad( )( ).f rfr r 处矢径 r 的模 ,r 三三元元函函数数),(zyxfu 在在空空间间区区域域 G 内内具具有有一一阶阶连连续续偏

5、偏导导数数，则则对对于于每每一一点点GzyxP ),(，都都可可定定义义一一个个向向量量(梯梯度度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数三、物理意义三、物理意义函数(物理量的分布)数量场数量场 (数性函数数性函数)场场向量场向量场(矢性函数矢性函数)可微函数)(Pf梯度场梯度场grad( )f P( 势函数 )如: 温度场, 电位场等如: 力场

6、,速度场等(向量场) 注意注意: 任意一个向量场不一定是梯度场任意一个向量场不一定是梯度场.例例5. 已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点),(4222zyxrrqu( , , )P x y z试证证证: 利用例利用例4的结果的结果 这说明:处所产生的电位为电位在场强相反的方向增加最快.Eugrad)4(02rrqE 场强04gradrrqu024rrqE0grad( )( )f rfr r 例例6.某处地下埋有物品E， 以该处为原点建立直角坐标系。已知空气中散发着特有气味，设气味浓度在地表xoy面的分布为：22(2)(0),k xyuek警犬在(1, 1)处嗅到气味后，沿气味最浓的方向搜索

7、，求警犬的搜索路线内容小结内容小结1. 方向导数方向导数 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP沿方向 l (方向角),为的方向导数为coscoscoszfyfxflf 二元函数 ),(yxf在点),(yxP),的方向导数为coscosyfxflf沿方向 l (方向角为yfxfcossin2. 梯度梯度 三元函数 ),(zyxf在点),(zyxP处的梯度为zfyfxff,grad 二元函数 ),(yxf在点),(yxP处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx3. 关系关系方向导数存在偏导数存在 可微0gradlflf梯度在方向 l 上的投影.讨论函数讨论函数22),(yxyxf

8、z 在在)0 , 0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？思考题思考题xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.思考题解答思考题解答 )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 , 1(到点到点 )32 ,

9、 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.练练 习习 题题三三、 设设vu,都都是是zyx,的的函函数数, ,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续, ,证证明明: :ugradvvgraduu

10、vgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数, ,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函数二、求函数)(12222byaxz 在点在点)2,2(ba处沿曲线处沿曲线 12222 byax在这点的内法线方向的方向导数在这点的内法线方向的方向导数. .一、一、1 1、321 ； 2 2、 kji623； 3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(； 4 4、gradua . .二、二、)(2122baab . .四、四、cbazyxzyxuruM ;),(22020200000. .练习题答案练习题答案备用题备用题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令那么xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)指向 B( 3, 2 ,