数学课改的十个论题

1、数学课改的十个论题章建跃一、“新理念”是全新的吗？l 核心：以学生的全面、和谐与可持续发展为本-教育中的“科学发展观”l 教学目标-全面关注学生的认知、能力和理性精神，以学生最近发展区为定向，促进学生全面、和谐、可持续发展数学育人。如何落实？提高课堂教学立意l 许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求。l 数学的“育人”功能如何体现？挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。l 关键：提高思想性。l “技术”：加强“先行组织者”的使用。例1不等式基本性质“立意”比较l 以往做法：数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实

2、”（考察两个实数的大小，只要考察它们的差），再由“利用比较实数大小的方法，可以推出下列不等式的性质”。课标教材的做法l 数轴上点的顺序定义数的大小关系，再到“基本事实”（考察两个实数的大小统一化归为比较它们的差与0的大小）；l 从“数及其运算”的高度出发，引导学生类比等式的基本性质，在“运算中的不变性、规律性就是性质”的思想指导下，猜想不等式的基本性质；l 回到从“基本事实”到“基本性质”的推理过程，得出性质，给出证明；l 引导学生用不同语文表述“基本性质”（学习心理的考虑）；l 从实例中概括基本不等式的作用明确概括出思想方法。课标教材的想法l 既要讲逻辑，更要讲思想加快师生领悟思想的进程（教

3、师在没有引领的情况下很难“悟”出思想）；l 要正确理解“给学生留出思维空间”以往教材在技能方向空间太小，思想方面空间太大l 教学要求个性差异与统一要求的辩证统一，但以个性差异为出发点和基础l 教学设计不仅从内容的教学需要预设提问、讲授、训练等，而且我嗯强调课堂“生成”，预设能引发学生独立思考、自主探究的“开放性问题”，乃至强调“看过问题三百个，不会解题也会问”l 教学方法讲授、问答、训练的综合，不再是单一的讲授或活动，是教师主导取向的讲授式和学生自主取向的活动式的融合，强调“启发式讲授”的重要性l 学习方式接受与探究的融合，强调学生学习主动性、积极性，独立思考和合作学习的结合l 教学过程知识发

4、生发展过程（自然、水到渠成）为载体的学生谁知认知过程，以学生为主体的数学活动过程，强调学生数学思维的展开、深度参与（教学的有效性）l 教学评价教师根据教学进程进行教学反馈、调节，学生通过自我临近监控调节学习过程，重视形成性评价发展的眼光l 教学媒体追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”，服务于数学概念、原理的实质理解l “全新理念”是不存在的，如果有人说某某理念是全新的、开创性的，有两种可能：或者他学习不够，或者他想忽悠。l “新理念”新在对学生的全面关注上。二、为什么“内容多课时少”但又能腃出至少一年时间高考复习内容大纲课标课标大纲集合642简易逻辑880函数概念682指数函

5、数761对数函数761解三角形880幂函数11函数的应用484数列15105三角函数22157三角恒等变换1082平面向量15123不等式1486直线和圆的方程13185线性规划752曲线和方程321圆锥曲线16142立体几何36306计数原理15141概率42420统计92213数学归纳法624极限77导数16248（定积分）复数743算法1212推理与证明66大纲总课时必修280，选修104，共讲384（含复习时间）课标总课时必修180，必选108，系列三36，系列四36，复习24学时，共计384l 立体几何、三角函数、不等式、数列、极限等传统内容的课时量减少；增加了新的内容，算法12课时

6、，推理与证明6课时；概率统计大量增加，概论增加倍，统计2.5倍，课时增加33。l 总课时量保持不变。腾出时间的“智慧”在那里？l 增加课时（每周增1课时，两年至少可以增加72课时）；l 压缩概念、原理的教学时间。l 有人说，这都是“高考要求与课标要求脱节”惹的祸。真是这样的吗？l “夹生饭”再回锅也做不成可口的香米饭。l 欲速则不达。l “忙”“心亡”三、怎样才算“教完了”？l 让学生经历概念的发生发展过程“这样能教完吗？”l 给学生吃“压缩饼干”；l 基础知识“一个定义，三项注意”；l 解题教学“题型教学”“一步到位”。问题在那里？l 不“准”或者是没有围绕概念的核心，或者教错了；l 不“简

7、”在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了；l 不“精”让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。例2函数概念的“注意事项”l 集合A，B都是数集；l 任意性； l 唯一性；l 可以一对一、多对一，便不能一对多；l 是一个整体，不是与的乘积；l 值域是集合B的子集；l 函数的三要素三者缺一不可，值域可由定义域和对应法则唯一确定。l 在不适当的时候、用不适当的方法强调细节，把学生“教糊涂了”。l “教完了”应该以学生是否理解为准，以学生是否达到教学目标为准，特别是学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（注意，双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上

8、有没有把内容“讲完”。l 广种薄收是懒汉的做法。四、什么叫“抓基础”l 我国“抓基础”的优势正在丧失；l 现象：数学教学题型教学刺激反应（记忆、模范型学习）；l 缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；l “题型”、与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会。l 要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性无知者无能；l 不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题；l 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。l 应追求解决问题的“根本大法”基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。五、探究式教学

9、的天时地利人和l 天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”；l 地利：教学内容是否适合于“探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学；例3直线与平面垂直的定义l 先让学生“直观感受”这种位置关系，给出定义，把主要精力放在地“合理性”的认识上，通过正、反例理解定义的关键词。l 必须向学生交待清楚：帮“说得清道得明”的几何关系（即“直线与直线垂直”）来定义“无法说清”的几何关系（即“直线与平面垂直”）是一种公理化思想，学生则只要采用接受式学习方式即可例4适宜探究的内容举例l 不等式的性质在“数及其运算”系统下，类比等式的性质提出猜想，再用

10、实数大小的“基本事实”证明；l 平面向量基本定理在“用向量及其运算表示几何元素”的思想下，建立直角坐标系的方法、两条相交直线确定一个平面等经验，让学生探究而获得结论；l 诱导公式在“三角函数是（单位）圆的几何性质的代数表示”的思想下，探究终边关于坐标轴、原点以及直线y=x对称的两个角的关系，而得到所有公式。l 人和：师生共同营造的“探究氛围”，有赖于学生“探究式学习的心向”，也有赖于教师的“探究型教学的意识”。l 数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导。l “我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？”学习是知与行的统一，只“讲”肯定不会；探究是深层次的思维活动，是“心动

11、”与“行动”的融合。六、概念教学的要义是什么？l 概念教学的核心概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同材质属性，归纳得出数学概念；l “举一反三”与“举三反一”的关系：（1）分化：用典型、丰富的具体事例，分析、综合、比较而概括出共同本质属性举三反一；（2）类化：把共同本质属性推广到同类事物中举一反三；（3）纳入概念系统，与相关概念建立联系。l 对具体例证进行分化、类化是概念教学的重要步骤，教会学生自己分析材料、比较属性是教学的重要任务；发现关系的能力是很重要的。概念教学的基本环节l 典型丰富的具体不会弄错例证属性的分

12、析、比较、综合；l 概括共同本质特征得到概念的本质属性；l 下定义（准确的数学语言描述）；l 概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义；l 概念作判断的具体事例形成用概念作判断的具体步骤；l 概念的“精致”建立与相关概念的联系。例5函数奇偶性的教学l 急功近利的做法（1）给出函数和的图像，并提出问题：从图象的对称性观察，两个图像各有什么特点？（2）给表格并提问：数量关系上有啥特征？（3）能否描述一下函数的特征？l 学生的回答：对于，当x取任意数时y都正数；函数图象关于y轴对称；自变量取一对相反数时，函数值相等；（4）对于定义域内任意一个x，是否都有？（5）能否描述一下偶函数的定义？

13、“一个函数打天下”，缺乏概括的基础。改进的方法l 典型、丰富的例证不止一个：，；l 从函数图像、概括共同特征入手；l 列表，从数的角度描述特征；l 形、数对照从形到数用函数符号语言描述特征；l 概念的精致：内涵、外延的深加工，概念要素的具体界定；组织建立相关知识的联系。七、螺旋上升是“蜻蜓点水”，吃夹生饭吗？l “模块化”体系下，立体几何、解析几何、概率、统计等都采用“螺旋上升”式，怎么看？l 螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也有学生思维发展规律的依据；l 螺旋上升应该体现“必要性”，如函数概念必须螺旋式学习，但解析几何不必搞三个螺旋；l “螺旋式”可能产生的问题是重复学习统计与概率的问题；

14、l 重要的数学思想方法必须得到“螺旋上升地重复”“隐性知识”，“可以意会不可言传”，要经历“渗透概括应用”的学习阶段。例6概念的多元联系表示中体现的螺旋上升l 比例关系；l 算术比和比例、百分数、比例尺；l 平面几何线段比和比例、相似形等；l 解析几何斜率、线性方程；l 统计与概率统计图表、频率与概率。l 当利用基本的几何概念（如相似）和代数概念（如线性关系）引入比例概念时，学生对比例关系的理解就会更深刻。八、“不是教教材，是用教材教”？l 现象：脱离教材，大量使用教辅；l 原因：教材内容“简单”，不足以就会高考；对“不是教教材，而用用教材教”、“创造性使用教材”的意图有误解；有的老师不善于或

15、不愿意花大力气研究教材。我的看法l “不是教教材，而是用教材教”“脱离教材”，是针对“照本宣科”的；l 教材的“基础性”与高考的“选拔性”有目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，老师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。l 理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。l 课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。例7函数概念三个引例的意图目的：反映函数概念本质，形成正确的函数概念l “对应关系”表现形

16、式多样性、本质的一致性（三要素）既是重点也是难点，从“多元联系表示”上为突破难点奠定基础；l 如何替换例子？在理解编写意图的前提下。九、重结果轻过程的危害是什么？l 数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从技能到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤。l 没有过程没有思想；l 没有思想就难以理解概念的实质；l 缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。l 没有“

17、过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。十、什么才是“数学思维的教学”l 比较流行的教学有两种：一是数学教学解题教学；二是辛勤挖掘“细枝末节”，并在细枝末节上对学生进行强化训练例8数列的有关问题（1）数列是一个特殊的函数与一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等一样，研究的基本问题是它的定义（定义域、对应关系等）、表示、性质和应用等；（2）对于定义按某种顺序排列的一列数，“某种顺序”由数列中的数所在的序号决定，序号与数之间的对应关系一个序号对应唯一一个数；（3）数列的表示函数的表示，三种形式；（4）数列的通项公式函数的解析式，即数列的项随序号的变

18、化而变化的规律函数值随自变量的变化而变化的规律；（5）特殊数列等差数列、等比数列，就像基本初等函数在现实中有大量应用一样，现实中也有大量问题可以用等差数列、等比数列这两种数学模型进行刻画；（6）等差数列、等比数列的研究内容定义、表示、性质和应用；l 定义：“等差”“差相等”哪两项作差由“等差”的含义得到的（是常数）；l 通项公式给定与，求用n表示的关系式（代数观点）随n的变化而变化的规律（函数观点），可以在“联系”的观点下想出很多“招”；l 函数观点下，联系解析几何知识，是由点（）和（）决定的直线的斜率，“点斜式”通项公；l 性质：在“等差数列的性质指项的特点、项之间有有什么关系等”，可以从一

19、次函数的性质、坐标法研究直线的性质等中得到启发。l 追究特例，考察它与一般等差数列的关系：最简单、最本质的数量关系是自然数列所体现的数量关系，其他等差数列都是它的变形不同的就是不同的“起步点”，不同的就是不同的“步长”。l 要研究的特殊问题前n项和公式：如果对等差数列改造理解充分，掌握了以及自然数列与一般等差数列之间的关系，得到等差数列前n项和公式是水到渠成的。l （7）由“联系性”而引发的变化与方程、不等式、导数等联系而引出的问题；可化归为等差、等比的数列问题等。l “数列”是“一类特殊的函数”，也是“代数的综合体”；l 数学思想：函数思想、分类思想、化归思想等；数学方法：不仅有许多通法，还

20、有诸如“错面相减法”“裂项法”“倒数求和法”等“巧法”。l 从“数学思维的教学”的要求出发，应以数列知识为载体，以相应的基本数学思想方法教学为核心，引导学生开展观察、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象、概括、分类、系统化等思维活动，在理解数列知识及其反映的思想方法的过程中，促进学生数学思维能力的发展。l 实际教学中，在技巧上狠下功夫。如“递推数列”归纳的题型有：l 1、利用l 2、，分和讨论，时，设，l 3、，分、是否可求和，、等；l 4、型；l 5、（p,q为常数）型；l 题型套题型，题型何其多，没有思想方法作为主线，杂乱无章型数列通项公式l 今天研究求型数列通项公式问题。一般地，抽象问题具体化、一般问题特殊化是研究问题的基本策略。l 问题1已知，求通项公式。l 问题2已知，求通项公式。l 问题3已知，求通项公式。l 问题1、2可以“凑”，但问题3不能，怎么办？注意观察前两个问题的解决过程，转化得到的结构有什么共性？对解决问题3有什么启发？l