数学公式,整理

1、数学公式整数、有理数、实数1、整数及带余除法ba : a除以b整除。a=bq (b0，q为整数)a/b是整数的充分必要条件是b0，且ba。整除具有如下性质：1.如果cb, ba,则ca.2.如果cb, ca.则对任意整数m，n有c(ma+nb).设a,b是两个整数，其中b0，则存在整数q，r使得a=bq+r,0r<b若b>0，则ba的充分必要条件是带余除法中余数r=0.2、质数、合数及算数基本定理一个大于1的整数，如果它的正因素只有1和它本身，称这个数为质数(或素数)。如果一个大于1的整数，如果它的正因素除了1和它本身，还有其他正因素，则称这个整数为合数(或复合数)。除了最小质数2

2、是偶数外，其余质数都是奇数。任一大于1的整数都能表示成质数的乘积且这样的分解式式唯一的。a=p1p2pn a>1,p1p2pn3、最大公因数和最小公倍数a,b的最大公因数记为(a,b).若(a,b)=1,则称为a,b互质。a,b的最小公倍数记为a,b.a,b的所有公倍数就是a,b的所有倍数。若ad且bd,则a,bd.a,b= ,特别地，当(a,b)=1时，有a,b=ab.若abc,且(a,b)=1，则ac.在三个连续的整数中,必有一个是3的倍数,两个连续的整数中,必有一个是2的倍数.4.有理数整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写为的形式(n0，m,n均为整数)，若(m,n)=1

3、，称为既约分数。5.实数对任意实数x，x表示不超过x的最大整数，令x=x-x,称x是x的整数部分，x是x的小数部分。整式、分式1.一元多次n项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,n为非负整数，a0,a1,a2an均为实数,an0.若f(x)的所有系数均为0，称为零多项式。零多项式不规定次数记为f(x)0两个多项式的和差积仍是一个多项式，但商不一定是多项式。g(x)f(x)的充要条件是带余除法中余式为0.2.余式定理及一次因式与根的关系用一次多项式x-a去除多项式f(x),所得的余式是一个常数，这个常数值等于函数值f(a).a是f(x)的根(即f(a)=0)的充要条件是(x-a

4、)f(x)。3.因式分解(a±b)2=a2±2ab+b2(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a+b)(a-b)=a2-b2a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)平均值、绝对值1.平均数设x1x2xn为n个正数，算数平均值= = 设x1,x2xn为n个正实数，几何平均值xg= = ,当且仅当x1=x2=xn时，等号成立(用于解函数最值问题)。2.绝对值|a|表示数轴上的点a与原点的距离叫做数a的绝对值。|a|=两个重要性质： 1.|ab|=|a|b|; |a/b|=|a|/|b| 2.|a|

5、b| 可逆，|b|>|a|a|-|b|a+b|a|+|b|，当且仅当ab0时左边等号成立，ab0时右边等号成立。|a|-|b|a-b|a|+|b|，当且仅当ab0时左边等号成立，ab0时右边等号成立。(|a+b|表示a-b与原点的距离，也表示a与b之间的距离)|a|m-mam|a|m am或a-m|a|=ma=±m= |a|方程与不等式1.一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x=其中=b2-4ac称为一元二次方程根的判别式<0时，方程无实根；=0时，方程有两个相等的实根；>0时，方程有两个不等的实根。2.韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0中系数a

6、,b,c不全为固定值时，考虑两根的关系既要考虑判别式，也要考虑韦达定理。3.一元二次不等式数列1.概念an与n的关系用公式表示就是通项公式。an=sn-sn-1, 再带入a1，看是否符合。2.等差数列数列c,c,c是公差d=0的等差数列；等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d;等差数列的前n项和公式sn= a,b,c成等差数列b= ;若sn是等差数列的前n项和，则sn,s2n-sn,s3n-s2n仍成等差数列；若an是等差数列，如果m+n=s+t,则，am+an=as+at.3.等比数列数列c,c,c是公差q=1等比数列;等比数列的通项公式an=a1qn-1;等比数列的前n项和公式sn=

7、a,b,c成等比数列b2=ac若an是等比数列，则sn,s2n-sn,s3n-s2n也是等比数列；若an是等比数列,如果m+n=s+t,则，aman=asat.三个数成等差数列b=,三个数成等比数列 b2=ac。若b2=ac且b0a,b,c,成等比数列。(常考)应用题1.比和比例;2.行程问题;3.工程问题;4.浓度问题;平面几何与立体几何一.三角形1.性质三角形的三条角平分线、三条中线、三条高(或其延长线)都相交于一点。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。直角三角形中30o所对的直角边是斜边的一半。等腰三角形两底角相等，两腰上的中线相等，两底角平分线相等。等腰三角形的顶角的平分线与底边的中线

8、、高重合。等腰三角形是以底边的高所在直线为对称轴的轴对称图形。2.全等三角形两边及其夹角对应相等(边角边)；两角及其夹边对应相等(角边角)；三边对应相等(边边边)；3.相似三角形两角对应相等；三边对应成比例；两边成比例且夹角相等。相似三角形对应角相等，对应边、线成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。二、四边形1.平行四边形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。2.矩形角为直角的平行四边形，对角线平分且相等。3.菱形四边相等的平行四边形，对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角。菱形面积=对角线之积。4.梯形中位线= (上底+下底)；面积s=(上底+下底)*高=中位线*高三、圆

9、连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。弦到圆心的距离叫作弦心距。圆心相同，半径不同的两个圆叫作同心圆；圆心不同，半径相等的两个圆叫作等圆。顶点再圆心的角叫圆心角；顶点在圆上，两边与圆相交的角叫圆周角；直径所对的圆周角为直角。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。不在统一条之间的三个点可以确定一个圆。面积s=r2 周长=2r.四、立体几何1.长方体长方体的全面积S全=2(ab+bc+ca)长方体的体积V=abc对角线长d= 长方体的侧棱垂直于上下底面,且每一个矩形的侧面也垂直于底面.当a=b=c时，长方体称为正方体或立方体，正方体的全面积S全=6a2正方体的体积V=a3正方

10、体的对角线d= a;2.圆柱体侧面积S侧=2rh;全面积S全=2r(h+r);体积V=r2h;当h=2r时，圆柱称为等边圆柱，等边圆柱的轴截面是正方形，非等边圆柱的轴截面是矩形。3.球体表面积S=4r2；体积V= r3；内接正方体的对角线等于球的直径。平面解析几何一、基本公式1.两点间的距离p1p2= ;2.线段的定比分点坐标有向直线l上一点p将l上的有向线段分成两条有向线段和,和的长度比记为,即=,点p叫作的定比分点。则有x=,y=;特别当=1时,p为p1p2的中点，此时x=,y=3.过两点的直线斜率公式设直线l过点p1(x1,y1),p2(x2,y2),则l的斜率k=(x1x2)；若直线方

11、程为Ax+By+C=0(B0),则直线斜率为k=- ;4.点到直线的距离公式设直线方程为Ax+By+C=0，点p(x0,y0),则点p到直线的距离为d= 二.直线方程一般式: Ax+By+C=0(A2+B20)点斜式:已知p(x0,y0),和斜率k，方程为y-y0=k(x-x0);两点式:已知直线上的点 p1(x1,y1),p2(x2,y2),方程为= ;斜截式:已知直线斜率k和在y轴上的截距b，方程为y=kx+b;截距式：已知在x上的截距为a，在y轴上的截距为b，方程为+ =1；三、两条直线的关系1.两直线相交，A1B2-A2B10,方程组有唯一解，解为两直线交点。2.两直线平行，A1B2-

12、A2B1=0，(斜率k=- ),即斜率相等。3.两直线垂直，A1A2+B1B2=0，若两直线斜率存在k1k2=-1.4.两条直线的夹角两条直线的夹角指不大于的非负角，0，l1到l2的角指l1按逆时针绕交点转到与l2重合所转的角。tan=tan=两平行直线间的距离d=四、圆的方程标准方程：(x-x0)2+(y-y0)2=r2 ;(x0,y0)为圆心，r为半径。一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中系数必须满足D2+E2-4F0。 圆心为(-，-)，半径为r=.五、直线与圆的关系直线与圆相交，d<r,或方程组有两组不同解；直线与圆相切，d=r,或方程组有两组相同解；直线与圆相离，d&

13、gt;r,或方程组无解。圆上的点到外离圆的直线的最短距离为:圆心到直线的距离-半径排列与组合一、基本原理加法原理：完成一件事有n类办法。乘法原理：完成一件事经过n个步骤。二、排列定义：从n个不同元素中，任取m个元素(mn),按照一定的顺序排成一列，所有这些排列的个数，称为排列数，记为Pmn或Amn。当m=n时，称为全排列，记为Pnn或Ann。排列数公式：记n!=1*2*3*n,0!=1!=1Pmn=n(n-1)(n-2)(n-m+1)Pnn=n!三、组合定义：从n个不同元素中任取m个元素(mn)，不论顺序组成一组，这些组合的个数称为组合数，记为。公式：=。=1；=+四、四类典型问题(P109)

14、。摸球问题：排队问题：分房问题：分组问题：概率一、事件的运算事件之间常见的关系和运算1.包含关系，若事件A发生必导致事件B发生，则事件B包含事件A，或称A是B的子事件，记为AB。若AB且BA，则称事件A 与事件B相等，记为A=B。2对立事件 若AB=且AB=则称事件A与事件B互为逆事件或称A与B为对立事件，即每次试验中，事件A与B必有一个发生且仅有一个发生。A的对立事件记为，显然=-A。3互不相容(互斥)事件若AB=，则称事件A与B是互不相容或互斥的，即事件A与事年B不能同时发生。基本事件是两两互不相容。4事件的和(或并)( AB或A+B) 事件AB=xxA或xB称为事件A与事件B的

15、和事件，当且仅当A、B中至少有一个发生时，事件AB发生。5事件的积(或交)( AB或AB) 事件AB=xxA且xB称为事件A与事年B的积事件，当且仅当A，B中同时发生时，事件AB发生，AB也记作AB 。 6事件的差(A-B或A ) 事件A-B=xxA且xB称为事件A与B的差事件，当且仅当A发生B不发生时事件A-B发生。 图 分别为图中阴影部分 S为。7事件的运算律交换律 AB=BA ； AB=BA (AB=BA)。 结合律 (AB) C =A(B C)；  (AB) C=A(B C)。分配律&#

16、160;A(B C)= (AB) (AC)；A(B C)= (AB) (AC) 。德摩根(De Morgan)律 =  ； = 。AB AB =B且AB=A;A,B互斥AB=.A=,A=.二、事件的概率及基本公式对于任意事件A，0P(A) 1;P()=1;P()=0.若AB，P(A) P(B);若，A1,A2,An，两两互斥，则有P(A1A2An)=P(A1)+ P(A2)+ P(An);P()=1- P(A);P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)P(ABC) =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)- P(BC)- P(CA

17、)+ P(ABC);P(A-B)=P(A)- P(AB);P()=P()=1-P(AB)P()=P()=1-P(AB)=1- P(A)-P(B)+P(AB)若A,B独立则P(AB)= P(A) P(B);三、条件概率及乘法公式在实际问题中，常常要计算在某个事件A已经发生的条件下，另一个事件B发生的概率，记为P(BA),在古典概型中，若事件A中包含m个不同的基本事件，事件AB中包含n个不同的基本事件，则P(BA)= ，一般也有，设A,B是两个随机事件，且P(A)>0,则称P(BA)= 为事件A发生条件下B发生的概率。对于任意事件A,B若P(A)>0，则P(AB)= P(A)* P(B

18、A).设A1,A2An是n个事件(n2),且P(A1A2An-1)>0，则P(A1A2An)= P(A1) P(A2A1) P(A3A1 A2)P(AnA1 A2An-1)四、事件的独立性及独立试验序列概型1.若事件A和事件B满足P(AB)= P(A) P(B) 则称A,B相互独立(两两独立或独立)。2.若A与B独立，则与B、A与、与都独立。(一组成立，另三组都成立)。3.A,B,C为三事件，若满足P(AB)= P(A) P(B)，P(BC)= P(B) P(C)，P(AC)= P(A) P(C),则称A,B,C两两独立。4. A,B,C为三事件，若满足：A,B,C两两独立； P(ABC)= P(A) P(B) P(C),则称A,B,C相互独立。5.若事件A1,A2An相互独立，则一定为两两独立，而两两独立却不一定相互独立。6. 若事件A1,A2An相互独立，则， P(A1A2An)=1- P(1) - P(2)- P(n)7.如果某试验的可能结果只有两个，A与。且P(A)=p>0, P()=1-p>0,则称这一试验为伯努利试验，将伯努利试验独立的重复n次，称为n重伯努利试验。在n重伯努利试验中，事件A恰好发生k，次的概率为： Pk(1-p)n-k (k=0,1,2,n)这一公式称为二项概率公式。8.二项式定理(a+b)n=a0bn+a1bn-