湖南大学实验三 连续时间傅里叶级数

1、实验三 连续时间傅里叶级数§3.1 连续时间傅立叶级数的性质目的 本练习要检验连续时间傅立叶级数（CTFS）的性质。实验内容：1满足的最小周期T是多少？利用这个值，用解析法求的CTFS系数。2考虑信号，利用CTFS的时间倒置和共轭性质求的CTFS系数。3在上画出信号。能预计出什么样的对称性？能够利用CTFS的对称性说明它吗？4考虑信号。利用CTFS的时间倒置和共轭性质求的CTFS系数。代码：1.x=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)');t=linspace(-1,1,1000);subplot(311);ezplot(x,-1,1);grid

2、on;k=-5:5;syms t;f=x*exp(-i*2*pi*t*k);Fn=int(f,t,0,1);F=abs(Fn);subplot(312);subplot(313);stem(F);2.x1=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)');x2=subs(x1,-t,t);y=x1+x2;t=linspace(-1,1,1000);k=-5:5;syms t;f=y*exp(-i*2*pi*t*k);Fn=int(f,t,0,1);F=abs(Fn)；subplot(211);stem(Fn);subplot(212);stem(F);3.x1=sy

3、m('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)')x2=subs(x1,'(-1*t)','t')y=x1+x2;ezplot(y,-1,1);4.x1=sym('cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)')x2=conj(x1);z=x1-x2;ezplot(z,-1,1);§3.2 连续时间傅立叶级数中的能量关系目的 分别在时域和频域求信号能量，验证帕斯瓦尔定理。相关知识 一个硬限幅器是一种器件，其输出是即时输入信号符号的函数，具体说就是当输入信号是正时，输出信号等于1；而当是负时，输出信号等于1。调频（

4、FM）的某些部分或雷达系统中都常用硬限幅器处理某一即时输入信号的相位，而不管任何可能的幅度失真。在本练习中要考虑将信号通过硬限幅器的输出的问题。中等题1求信号的CTFS表示。提示：利用CTFS性质，并根据周期为T的对称方波 具有CTFS系数为 的知识。2一个周期信号的基波分量的能量可以定义为，其中是该信号的CTFS。试计算输出和输入中的基波分量的能量，能量有增益或损失吗？能说明能量变化的原因吗？3利用帕斯瓦尔定理求该信号一个周期内的总能量，利用前100个频率，即近似这个和式，这个和式收敛到何值？4为了观察该能量估计值收敛得有多快，试画出该信号能量估计值作为在和式中所用项数个数的函数图。 深入题

5、（可选）5利用该信号能量的解析式求下面和式的闭式表达式： 提示：利用帕斯瓦尔定理将总能量的时域和频域表达式联系起来。代码：1.syms t;k=-20:20;ak=(sin(k+eps)*pi/2)./(k+eps)*pi)fk=ak.*(1-exp(-i.*(k+eps)*pi);stem(k,fk);2.x=sym('cos(pi*t)2');ex=int(x,0,2)ey=(sin(pi/2)./(pi).*(1-exp(-i*pi)2+(sin(pi/2)./(pi).*(1-exp(i*pi)2运行结果：ex =1 ey = 0.8106系统传递的过程中有能量的损失。

6、3.syms t;k=-100:100;ak=(sin(k+eps)*pi/2)./(k+eps)*pi);fk=ak.*(1-exp(-i.*(k+eps)*pi);figure(1)stem(k,fk);Ey=sum(abs(fk).2);x=sym('cos(pi*t)');f=x*exp(-i*2*pi*t*k);fx=int(x.2,t,0,2);e=2*Ey;Ex=abs(sum(x.2);4.syms t;k=-30:30;ak=(sin(k+eps)*pi/2)./(k+eps)*pi);fk=ak.*(1-exp(-i.*(k+eps)*pi);y=abs(f

7、k);Py=(y.2);cumsum(Py,2)stem(k,2*Py)5.syms t;x=1./(2*k+1).2;y=x.*exp(i.*k*pi*t);f=sum(y)ezplot(t,f)§3.3 用傅立叶级数综合连续时间信号目的 学习CTFS系数的连续时间信号的傅立叶分析与综合。 相关知识 一大类连续时间周期信号可以表示成如下和式 式中是连续时间傅立叶级数（CTFS）。本练习要综合具有较少非零系数个数的信号，将考虑具有无限个非零CTFS系数的连续时间信号的傅立叶分析与综合。基本题 对于这些习题要用少数几个非零的傅立叶级数系数构造周期信号的符号表达式。3个信号的基波周期和非

8、零的CTFS系数给出如下：对每一信号创建连续时间信号的符号表达式，并用ezplot画出信号的两个周期。 若已知的图，如何能由两个信号的傅立叶级数系数预计的图？如何本来就能根据傅立叶系数预计出3个信号中每一个都应该是实信号？中等题定义 并考虑具有下面基波周期T和傅立叶级数系数的信号：4 5对每一信号K1，3和9。对每个K值，创建对的符号表达式，并用ezplot画出各信号的两个周期。如果信号为复数，要单独分开画出它们的实部和虚部。6怎样本就能由傅立叶级数系数预计到哪个信号应该是实信号？代码：1 2 3.syms t;x1=simple(5*(exp(i*2*pi*t)+exp(-i*2*pi*t)

9、+2*(exp(i*6*pi*t)+exp(-i*6*pi*t)x2=simple(i*(exp(i*pi*t)-exp(-i*pi*t)-1/2*i*(exp(i*2*pi*t)-exp(-i*2*pi*t)+1/4*i*(exp(i*3*pi*t)-exp(-i*3*pi*t)-1/8*i*(exp(i*4*pi*t)-exp(-i*4*pi*t)x3=simple(i*(exp(i*1/2*pi*t)-exp(-i*1/2*pi*t)+1/2*i*(exp(i*pi*t)-exp(-i*pi*t)+1/4*i*(exp(i*3/2*pi*t)-exp(-i*3/2*pi*t)+1/8*i

10、*(exp(i*2*pi*t)-exp(-i*2*pi*t)subplot(2,2,1)ezplot(t,sym(x1)axis(0,8,-10,10)subplot(2,2,2)ezplot(t,sym(x2)axis(0,8,-5,5)subplot(2,2,3)ezplot(t,sym(x3)axis(0,8,-5,5)4.syms t;k=-9:9;x4=1./(k.2+1);y4=x4.*(exp(i*2*pi/5.*k*t);x5=sign(k)./(-2).abs(k);y5=x5.*(exp(i*2*pi/20.*k*t);x6=1./(2.abs(k+2);y6=x6.*(e

11、xp(i*2*pi/5.*k*t);subplot(221)ezplot(t,sum(y4),-5,5)subplot(222)m=simple(sum(y5)；mr=simple(real(m)；mi=simple(imag(sum(y5)；ezplot(t,mr,-20,20)subplot(223)ezplot(t,mi,-20,20)subplot(224)ezplot(t,sum(y6),-5,5)5.syms tk=-3:3;ak1=1./(k.2+1)x1=ak1.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)subplot(2,2,1)ezplot(sum(x1),-5,5)ak2=

12、sign(k)./(-2).sqrt(k.*k)x2=ak2.*(exp(i*pi/10.*k*t)subplot(2,2,2)ezplot(t,sum(x2),-20,20)ak3=1./2.sqrt(k+2).2)x3=ak3.*(exp(i*2*pi/5.*k*t)subplot(2,2,3)ezplot(t,sum(x3),-5,5)§3.4方波和三角波的傅立叶表示目的 这个练习要用傅立叶级数分析周期方波，对信号将研究截断的傅立叶级数重构公式，特别要研究随N的增大，是如何收敛的？相关知识 一般来说，傅立叶级数系数可有无限个非零值。譬如，任何具有间断点的信号都一定有一个无限个非

13、零系数的傅立叶级数表示，而对数值计算来说，这是无法实现的。有限项和对某个相对小的整数N往往是一个很好的近似。方波 考虑一个基波周期T=2的周期方波，在区间内该方波由下式表示， 如下图示：这个练习将分析方波的傅立叶级数表示，且主要集中在方波的不连续点。1利用int创建一个符号表达式a，它包含了该方波每个k值的傅立叶级数系数。这个符号表达式是k的函数。利用stem画出内的傅立叶级数的系数。2对N=1，3，5和9，对创建符号表达式。利用ezplot画出区间内的，用hold将4张图画在同一幅图上。3在时，的值是多少？这个值随N增加而变化吗？4不用明确地求出，对每个N值估计一下超量误差值。这个超量误差随

14、N增加而减小吗？随，如何预期这个值的变化？代码：1.syms t;k=-10:10;ak=1/2*int(1*exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5)a=ak.*exp(i.*k*pi*t)subplot(1,2,1)stem(k,ak);subplot(1,2,2)ezplot(sum(a),-2,2)2.syms t;k=-1:1;ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t);x1=simple(sum(a)ezplot(x1,-1,1)k=-3:3;ak=1/2*int(exp

15、(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t)x2=simple(sum(a)hold on;ezplot(x2,-1,1)k=-5:5;ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t)x3=simple(sum(a)ezplot(x3,-1,1)k=-9:9;ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t)x4=simple(sum(a)ezplot(x4,-1,1)plot(-20:0.01:20,0.5,'-')plot(0.5,-1.5:0.01:1.5,'-')plot(-0.5,-1.5:0.01:1.5,'-')3.=0.5，这个值不会随着N的值增加而变化。4.syms t;k=-1:1;ak=1/2*int(exp(-i.*(k+eps)*pi*t),t,-0.5,0.5);a=ak.*exp(i.*k*pi*t);x1=simple(sum(a)ezplot(x1,-1,1)k=-3:3;ak=1/2*i