初中数学中考专题复习《绝对值》13

1、第10页共26页初中数学中考专题复习绝对值【目标】1 .掌握一个数的绝对值的求法和性质；2 .进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；3 .会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小;4 .理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.【知识点整理】知识点一、绝对值1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对 值，记作|a|.知识点解析：(1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的 绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即对于任何有理数a都有：a (a 0)|a| = 0 (a =0) -a (a < 0)(2)绝对值的几何意义：一个数的绝

2、对值就是表示这个数的点到原 点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝 对值越小.（3） 一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.知识点二、有理数的大小比较1 .数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则 a<b.2 .法则比较法： a b两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号同为正号：绝对值大的数大同为负号：绝对值大的反而小两数异号正数大于负数数为0正数与0:正数大于0负数与0:负数小于0知识点解析:利用绝对值比较两个负数的大小的步骤

3、：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小.3 .作差法：设a、b为任意数，若a-b>0,则a>b;若a-b = 0,则 a=b;若a-b<0, acb;反之成立.4 .求商法：设a、b为任意正数，若a>1,则ab;若a = 1,则2虫; bb若a<1,则a<b;反之也成立.若a、b为任意负数，则与上述结论b相反.5 .倒数比较法：如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小【例题分类与解析】一、绝对值的底"O 1I 32例题1.求下列各数的绝对值.,1-1 , -0.3 , 0, 2【思路】1:-0.3 , 0,231在

4、数轴上位置距原点有多少个单位长 ,2第30页共26页度，这个数字就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.解法一：因为- 12到原点距离是12个单位长度，所以-4二6因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3| =0.3.因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0| =0.因为-匚311到原点的距离是31个单位长度，所以,22，解法二：因为-11 <0 ,所以-11 =-'-11 =11 . 222 2J 2因为-0.3 <0,所以 |-0.3| =-(-0.3) =0.3.因为0的绝对值是它本身，所以|0| =0.因为T11。，所以- J1：?1.22)I

5、212【总结】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意 义求解（如方法1）, 一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2）, 后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是0.再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0.从而求出该数的绝对值.例题2.已知一个数白绝对值等于 2009,则这个数是.【答案】2009或-2009【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是 2009的点有两个，从 原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点 向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点.【总结】已知绝对值求原数的方法：（1）利

6、用概念；（2）利用数形结合 法在数轴上表示出来.无论哪种方法都要注意若一个数的绝对值是正 数，则此数有两个，且互为相反数.举一反三：【变式1】求绝对值不大于3的所有整数.【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.【变式2】如果1 x 1 = 2,那么x = ;如果1 x 1 =2, 那么x=.如果| x-2 | =1,那么x=;如果| x | >3,那么x 的范围是.【答案】+2或-2; +2或-2; 1或3; x>3或x<-3【变式3】数轴上的点 A到原点的距离是6,则点A表示的数为.【答案】6或-6例题 3.计算：(1) 4-4-(2) |-4|

7、+|3|+|0|(3) -|+(-8)|5【答案】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.(1) 一 Y- =一 |一'一4- 11= 一4-,51 I 55(2)|-4|+|3|+|0|=4+3+0= 7,(3)-|+(-8)|=-(-8)=-8.【总结】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意 义求解，一种是利用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法为： 首先判断这个数是正数、负数还是零.再根据绝对值的代数意义，确 定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零.从而求 出该数的绝对值.例题4.如果|x| =6, |y| =4,且x<y.试求x、y的值.

8、【思路】6和-6的绝对值都等于6, 4和-4的绝对值都等于4,所以 要注意分类讨论.【答案】因为|x| =6,所以x = 6或x = -6;因为|y| =4,所以y=4或y = -4 ;由于x<y,故x只能是-6,因止匕x = -6, y=±4.【总结】已知绝对值求原数的方法：（1）利用概念；（2）利用数形结合 法在数轴上表示出来.无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正 数，则此数有两个，且互为相反数.此外，此题x=-6, y=±4,就 是 x=-6, y = 4 或 x = -6, y = -4.举一反三：【变式11 （1）如果|x| =6, |y| =4,且x&

9、gt;y,则x、y的值各是多 少？【答案】x=6, y=±4【变式2】如果数轴上的点 A到原点的距离是6,则点A表示的数 为.如果| x- 2 | =1,那么x =;如果1 x 1 >3,那么x的范围是.【答案】6或-6; 1或3; x>3或x<-3【变式3】已知| a | =3, | b | =4,若a, b同号，则| a +b |=;若 a, b异号，贝U | a+b | =.据止匕讨论| a+b | 与| a | + | b | 的大小关系.【答案】7, 1；若a, b同号或至少有一个为零，则|a+b|=|a|+|b|;若 a, b 异号，则 |a+b| &l

10、t;|a|+|b| ,由此；可得：|a+b| <|a|+|b| .、比较大小例题1.比较下列有理数大小：（1）-1和0; （2）-2 和|-3| ;（3）' ,3一 1，八和 _万；(4) - -1- -0.1【答案】（1）0大于负数，即-1 <0; 先化简|-3| =3,负数小于正数，所以-2 <3,即-2<|-3 ;先化简-匚1, ,331 1 目口 f 1 ) 1 _ A -,即.一 <2 3 I 3 J2先化简1 = 1 , - -0.1 =-0.1 ,这是两个负数比较大小：因为-1 =1 , |-0.1 =0.1 ,而 1>0.1 ,所以1

11、 < 0.1 ,即1 < -0.1【解析】（2）、（3）、（4）先化简，再运用有理数大小比较法则.【点评】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负 数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对 值大的反而小”做出正确的判断.举一反三:【变式11比大小： 56-35-3- :-|-3.2|-(+3.2): 0.00016 7 ' '' 1000;一 1.38 1.384 ; 3.14 .【答案】>；=；>；>；<【变式2】(山东临沂)下列各数中，比一1小的数是()A 0B. 1 C. -2D. 2【答案】C【

12、变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则 a, -a, -1的大 小关系是().1 J I 1 i Q0A.-a<a<-1B.-1 <-a<aC.a<-1 <aD.a<a <-1【答案】C例题2.比较下列每组数的大小：(1)-(-5) 与-|-5| ; (2)-(+3)与 0; (3) 一4 与 一一3 ; (4) t 与54| -3.14| .【思路】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、 正数与负数、两个正数还是两个负数”，然后比较.【答案】(1)化简得：-(-5) =5, -|-5| =-5.因为正数大于一切负数，所以-

13、(-5) >-|-5| .(2)化简得：-(+3) =-3.因为负数小于零，所以-(+3) <0.(3)化简得：一一3= 一3.这是两个负数比较大小，因为=4 =也4455 20_3 =3=!5,且也 15.所以 _4<_3.44 2020 2054(4) 化简得：-|-3.14 =-3.14 ,这是两个负数比较大小，因为卜 兀 | =兀，|-3.14| =3.14,而兀 >3.14,所以-兀 <-|-3.14| .【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两 个负数的绝对值，再比较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数， 绝对值大的反而小”做出正确

14、的判断.举一反三：【变式11比大小：(1) -0.3_11-± .3< 9；10【答案】>；>【变式 2】比大小：(1) -1.38 1.384; (2)兀3.14 .【答案】><【变式 3】若 mr>0, n<0,且|m|>|n| ,用“>”把 m -m, n, -n连接起来.【答案】解法一：. m>0, n<0,m为正数，-m为负数，n为负数，-n为正数.又正数大于一切负数，且|m| >|n| ,m >-n >n>-m.解法二：因为 mr>0, n<0且|m|>|n| ,把

15、n, -m, -n表示在数轴上，如图所示. m n Q -n m数轴上的数右边的数总比左边的数大， < m >-n >n>-m.三、绝对值非负性的应用例题1.已知|2-m|+|n-3| =0,试求m-2n的值.【思路】由1 a 1 A0即绝对值的非负性可知，1 2-m| >0, 1 n-3 1>0,而它们的和为0.所以| 2-m | =0, |n-3| =0.因此，2-m=0, n-3 = 0,所以 m= 2, n=3.【答案】因为|2-m|+|n-3| =0且|2-m| >0, |n-3| >0所以 |2-m| =0, |n-3| =0即 2-

16、m=0, n-3 = 0所以 m= 2, n= 3故 m-2n= 2-2X3 =-4 .【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于 0,即|a|+|b|+ +|m|=0 时，则 a= b=，=m= 0.例题2.已知a、b为有理数，且满足："2a + l| + |2a=0 ,则a=? b=.【答案】由I案+1|之0, |2-小0, |2n+l|+|2-昨0,可得24 +1 = 02-b = 01 a- 2i = 2【总结】由于任何一个数的绝对值大于或等于 0,要使这两个数的和为0,需要这两个数都为0.几个非负数的和为0,则每一个数均为0.举一反三:【变式1】已知|4i-3|=

17、3-4i,贝U x的取值范围是.3【答案】工三二；提示：将4卜3看成整体a,即|。|二p,贝UaWO,故 4463£0,工0：.4【变式2】已知b为正整数，且a、b满足|2。-引+方=1,求小的值.f 2dt - 4 = 014 = 2【答案】由题意得立11 所以，ab=24 = 1a a aa 4四、绝对值的实际应用 例题1.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是 6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.检测结果（单位：克）：-25, +10,-20, +30, +15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢 ？请说明理由.【

18、答案】因为 1+10 | < 1 +15 | < | -20 | < 1 -25 | < 1 +30 | < |-40 1 ,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则 足球的质量越好.这个偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也 就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.【点评】绝对值越小，越接近标准.举一反三：【变式U某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不 含包装）可以有0.002L的误差.现抽查6瓶食用调和油，超过规定净 含量的升数记作正数，不足规定净含量

19、的升数记作负数. 检查结果如+0.0018-0.0023+0.0025-0.0015+0.0012+0.0010请用绝对值知识说明:（1） 哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）？（2） 哪一瓶净含量最接近规定的净含量？【答案】（1）绝对值不超过 0.002的有4瓶，分别是检查结果为+0.0018, -0.0015 , +0.0012, +0.0010 的这四瓶.（2）第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含 量.【变式2】一只可爱的小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，假定 向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各 段路程（单位：cm）依次记为：+5,-3, +

20、10, -8, -6, +12,-10,在 爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可以得到多少粒芝麻？【答案】小虫爬行的总路程为：|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=5+3+10+8+6+12+10=54(cm).小虫得到的芝麻数为54X 2= 108(粒).答：小虫一共可以得到108粒芝麻.例题2.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是 6个足球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足 规定质量的克数.检测结果(单位：克)：-25, +10,-20, +30, +15, -40.裁判员应该选择哪个足球用于

21、这场比赛呢 ？请说明理由.【答案】因为 1+10 | < 1 +15 | < | -20 | < 1 -25 | < 1 +30 | < |-40 1 ,所以检测结果为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该 选第二个足球用于这场比赛.【总结】绝对值越小，越接近标准.五、含有字母的绝对值的化简例题1.把下列各式去掉绝对值的符号.(1)|a-4|(a>4); (2)|5-b|(b>5).【答案】(1) a >4, .a-4A0,|a-4| =a-4.(2) ; b>5, .5-b<0,|5-b|=-(5-b) =b-5.【总结】由字母的

22、取值范围来判断绝对值里面的符号情况，再根据绝对值的意义去掉绝对值的符号.举一反三：【变式1】已知有理数a,b,c在数 二上»12>轴上对应的点的位置如图所示：例题2.化简：|%-。| + |2。+占卜忖1卜【答案】由图所示，可得c<-3<-l<5<0<2<i .3a-c>0, 2a+i>0, c-b <0,|3a-e|+|2tH-fi|-|c-A| =的-e)+(勿+8)-©-协= 3a-c + (2a+b)+(e-b)二%-e+24+b+t-b = 5& .原式二5a.【变式2】求|x+2|+|/3|的最

23、小值.【答案】法 一 ： 当 x<-2 时 ， 则x+2 |+x3 - (x=2 - x )+ x+(- x3 -)当时，贝 U x + 2 + x3=(x + 2)+(x3) = x + 2 x + 3 = 5当 时，贝u X + 2+|x3 =（x + 2）+（x3） = x + 2+x 3 = 2x1>5综上：当时，|x+2|+MT取得最小值为:5.法二：借助数轴分类讨论：h-2；-2。43；X，|1 + 2| +卜-3的几何意义为I对应的点到-2对应点的距离与 不对应点到3对应点的距离和.由图明显看出时取最小值.所以，-2白之时，卜+2| +斤3|取最小值5【高效巩固练习A

24、一、选择题1 .（四川宜宾）卜5|的值是（）.A.1 B. 5 C . -5 D .552 .下列判断中，正确的是（）.A.如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等;B.如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等;C.任何数的绝对值都是正数；D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数3 .下列各式错误的是（）.a +53=53B . | -8.1| = 8.1112 一 一24 . 2010年12月某日我国部分城市的平均气温情况如下表 （记温度零上为正，单位C ）城市温州上海北京哈尔滨广州平均气温60-9-1515则其中当天平均气温最低的城市是（）A .广州 B .哈尔滨 C .北京 D

25、.上海5 .下列各式中正确的是（）. .1_11_一一 一A . 0<-1 B . 一1-1 C -3.7 <-5.2 D . 0>-26 .若两个有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是（）. 111 ab0A. a> b B . |a| >|b| C . -a<-b D . -a < |b|7 .若| a| + a=0,贝U 2是（）.A. 正数 B. 负数 C.正数或0 D.负数或0二、填空题8 .（湖南常德）|-2|=.9 .若mi n互为相反数，则| m | n |; | m |=| n | ，则n的关系是.10 .已知 |

26、 x | =2, | y | =5,且 x>y,贝U x =, y=.11 .满足3.5 <| x |< 6的x的整数值是:12 .式子|2x-1|+2取最小值时，x等于 .13 .数a在数轴上的位置如图所示.二；=7*则忸-2| =.14 .若 a| = a,贝U a 0 ;若 a = a ,贝U a 0 ;若?=，则a 0；若aa,贝U a;若a-1=1-a,则a的取值范围是.15 .在数轴上，与-1表示的点距离为2的点对应的数是.三、解答题16 .比较3a-2与2a+1的大小.17.某年一些国家的产品出口额比上一年的增长率如下:美国德国英国中国日本息人利-3.4%-0.

27、9%-5.3%2.8%-7.3%7.0%把它们按从低到高排列.18.某工厂生产某种圆形零件，从中抽出5件进行检验，比规定直径长的毫米数记作正数，比规定直径短的毫米数记作负数， 检查结果记录如下:零件12345误差-0.2-0.3+0.2-0.1+0.3根据你所学的知识说明什么样的零件的质量好，什么样的零件的质量差，这5件中质量最好的是哪一件？【高效巩固练习A答案与解析】一、选择题1 .【答案】B2 .【答案】B【解析】A错误，因为两个数的绝对值相等，这两个数可能互为相 反数；B正确；C错误，因为0的绝对值是0,而0不是正数；D错 误，因为一个数的绝对值是它本身的数除了正数还有0.3 .【答案】

28、C【解析】因为一个数的绝对值是非负数，不可能是负数.所以C是错误的.4 .【答案】B【解析】因为-15<-9<0<6< 15,所以当天平均气温最低的城市 是哈尔滨.5 .【答案】D【解析】0大于负数.6 .【答案】B【解析】离原点越远的数的绝对值越大.7 .【答案】D【解析】若a为正数，则不满足|a| + a=0;若a为负数，则满足 | a| + a= 0；若a为0,也满足| a| + a=0.所以aW0,即a 为负数或0.二、填空题8 .【答案】29 .【答案=;m=± n【解析】若m, n互为相反数，则它们到原点的距离相等，即绝对 值相等；但反过来，m,

29、n绝对值相等，则它们相等或互 为相反数.10 .【答案】±2,-5【解析】| x | =2,则乂=±2; |y| =5, y=±5.但由于 x>y, 所以 x=±2, y=-511 .【答案1± 4, ±5【解析】画出数轴，从数轴上可以看出：在原点右侧，有 4,5满足 到原点的距离大于等于3.5,且小于6;在原点左侧有-4, -5满 足到原点的距离大于等于3.5,且小于6.12 .【答案】12【解析】绝对值最小的数是0,所以当2x-1=0,即x=：时，|2x-1|取到最小值0,同时|2x-1|+2也取到最小值.13 .【答案】a

30、-2【解析】由图可知：a>2,所以|a-2|=a-2.14 .【答案】>w； <任意有理数；a< 115 .【答案】-3,1三、解答题16 .【解析】解：(3a-2)-(2a+1)=3a-2-2a-1=a-3当 a>3 时，3a-2>2a+1;当 a=3 时，3a-2=2a+1;当 a<3 时，3a-2<2a+1.17 .【解析】解：根据：负数小于正数，两个负数相比较，绝对值大的反而小.所以从小到大的顺序为：-7.3%, -5.3%, -3.4%, -0.9%, 2.8%, 7.0%.18 .【解析】解：零件的直径与规定直径的偏差可以用绝对值表示

31、，绝对值小表示偏差小，绝对值大表示偏差大.哪个零件的直径偏差越小，哪个零件 的质量越好，哪个零件的直径偏差越大，哪个零件的质量越差，所以 这5件中质量最好的是第4件.【高效巩固练习B】一、选择题1 .（浙江嘉兴）6的绝对值是（）A. -6B. 6C.D.二662 .（台湾台北）如图（一），数。是原点，A R C三点所表示的数分别为a、b、c.根据图中cAb k各点的位置，下列各数的绝对值的比较何者正确？A. |b|<|c| B . |b|>|c| C . |a|<|b| D . |a|>|c|3 .满足|x| =-x的数有（）.A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个4

32、 .已知13.3|,则a的值是（）. aA . 3 B . -3 C . 1 D . +1 或-15 .a、b 为有理数，且 a>0、b<0,|b| >a,则a、b、-a、-b 的大小顺序是（）.A . b<-a<a<-b B . -a<b<a<-b C . -b<a<-a<b D. -a<a<-b <b6 .下列推理：若a= b,则|a| =|b| ;若|a| = |b| ,则a= b; 若a?b,则|a| ?|b| ;若|a| ?|b| ,则a?b.其中正确的个数为 （）.A. 4个 B.3个 C.2

33、个 D.1个7 .设a是最小的正整数，b是最大的负整数的相反数，c是绝对值最小的有理数，则a、b、c的大小关系是（）.A . a<b<c B . a=b>c C . a = b= c D . a>b>c二、填空题1 .（江苏连云港）写出一个比1小的数是.2 .如果卜4止-电，则a的取值范围是3 .绝对值不大于11的整数有 个.4 .已知a、b都是有理数，且|a|=a , |b|= b、，则ab是 5 .式子|2x-1|+2取最小值时，x等于 .6 .数 a 在数轴上 的位置 一i11» 如图所-I 01 a 2示.则忸-2| =.7.若? = 一1,则

34、a 0；若 a»,贝Ua；三、解答题1 .将一25, 一空9, 一空按从小到大的顺序排列起来. 2626026002 .正式的足球比赛对所用足球的质量都有严格的规定，标准质量为400克.下面是5个足球的质量检测结果（超过规定质量的克数记为正数，不足规定质量的克数记为负数）：-25, +10, -20, +30, +15.（1）写出每个足球的质量；（2）请指出哪个足球的质量好一些，并用绝对值的知识进行说明.3 .阅读下面的材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b, A B两点之间的距离表示 为I ABI ,当A B两点中有一点在原点时，不妨设点 A在原点，如 图 1-1-1, I AE

35、5I = I OBI = I b I = I a-b I ;当 A B两点都不在原点 时：AT a0-0EA0+o*-b40SI2- <Bl图H-3O- - o B b图卜卜4如图1-1-2 ,点A B都在原点的右边：I AB I = I OBI - I OAI = I b I - I a I =b-a= I a-b I ;如图1-1-3 ,点A B都在原点的左边：I AB I = I OBI - I OAI = I b I - lai =-b- (-a) = I a-b I ;如图1-1-4，点A B在原点的两边：I AB I = I OAI + I OBI = I a I + I b

36、 I =a+ (-b) = I a-b I , 综上，数轴上 A B两点之间的距离I ABI = I a-b I .回答下列问题：数轴上表示2和5的两点之间的距离是,数轴上表 示-2和-5的两点之间的距离是 ,数轴上表示1和-3的两点 之间的距离是;数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是 ,如 果I ABI =2, 那么x为.当代数式I x+1 I + I x-2 I取最小值时，相应的x的取值范围是.【高效巩固练习B答案与解析】一、选择题1 .【答案】B2 .【答案】A【解析】由图（一）可知，距离原点最远的是点 C,其次是点A,最近的是点B,所以他们对应的数的绝对值的大小为：|c>|a|b或b < a < c ,所以A正确.3 .【答案】D【解析】x