初中数学一元二次方程的公共根与整数根

1、一元二次方程的公共根与整数根内容基本要求略高要求较高要求一元二次方程r解一元二次方程的概 念，会将一元二次方程化 为一般形式，并指出各项 系数：r解一元二次方程 的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所 含字母的取值范围：会由方程的根求方程中待 定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开 平方法、配方法、公式法、 因式分解法解简玳的数字 系数的一元二次方程，理 解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程：会用方程 的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系 数的一元二次方程根的情况及由方 程根的情况确定方程中待定系数的 取值范围：会用配方法对代数式做 简单

2、的变形：会应用一元二次方程 解决简单的实际问题公共根问题：二次方程的公共根问题的一般解法：设公共根，代入原方程(两个或以上)，然后通过恒等变形求出参数的值 和公共根.整数根问题：对于一元二次方程冷，+法+ c = 0 3工0)的实根情况，可以用判别式=从-4比来判别，但是对于一个含参 数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分 析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质.方程有整数根的条件：如果一元二次方程小？+云+ c = 0 (=0)有整数根，那么必然同时满足以下条件：(1) -4改为完全平方数;(2) -b + J/ - 4ac = 2a

3、k 或-b- Jb? -= 2ak ,其中太为整数.以上两个条件必须同时满足，缺一不可.另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、c均为有理数)方程的根的取值范围问题：先使用因式分解法或求根公式法求出两根，然后根据题中根的取值范围来确定参数的范围.【例1】求女的值，使得一元二次方程/+京-1=0，/+工+伏一2) = 0有相同的根，并求两个方程的根.【例2】1.设，。为A48C的三边，且二次三项式/+加二+ 2与丁+2cl/-有一次公因式，证明:AA8C一定是直角三角形.（北京数学竞赛试题）2.三个二次方程 cix1 +bx + c = O bx1 + ex + a =

4、 0， cv? + or + = 0 有公共根.（1）求证：a+b + c = O；（2）求+'的值.abc【例3】试求满足方程月-h-7 = 0与/-6工-伏+ 1） = 0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异 根.例4三个二次方程+ c = 0，bx2 +cx + a = O ex2 + ov + = 0有公共根. 3 . >3 , 3(1)求证：a + h + c = O, (2)>R-一-一匚的值.abc【例5】【例6】二次项系数不相等的两个二次方程（。-1）/一（1 +2» + （2 +2） = 0和（-1）/-（从+2口 + （从+2） = 0（

5、其中% 为正整数）有一个公共根，求+"的值.crb + ir为什么实数时，关于x的方程（6- k）（9-幻V -（117-15k）x + 54 = 0的解都是整数?【巩固】若关于人的方程（6-）（9-灯/-。17-154卜+ 54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数k的值有 个.【例7】（2007年全国初中数学联合竞赛）1 .已知。是正整数，如果关于工的方程X3 + （a + 17）x2 + （38 -心-56 = 0的根都是整数，求。的值及方程的整数根.2 .若一为正整数,且关于一的方程也2-1*-6（32-1求+ 72 = 0有两个相异正整数根,求女的值. （2000年全国联赛

6、试题）3 .关于，的二次方程（公-64+ 8）1 +（。-61）%+美=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.4 .当m为何整数时，方程2x2 5mx + 2m2 = 5有整数解.5 .已知关于x的方程4%28心一3 = 2和/一5 + 3）% 2/+2 = 0,是否存在这样的值,使第一 个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的值：若不存 在，请说明理由.【例8】求所有有理数厂，使得方程疗2+。+ 1口 +。-1） = 0的所有根是整数.【例9】1 .已知关于x的方程+（“-6口 +。=0的两根都是整数，求。的值.2,已知女为常数，关于工的一元二次方程

7、（公一2口/+（4-6V+ 8 = 0的解都是整数，求A的值.【例11己知为质数，二次方程-2川+2-5-1 = 0的两根都是整数，请求出的所有可能的值.【例12】（20072008清华附中初三第一次月考试题）1.已知12<,<40,且关于人的二次方程 x2 - 2（m + 1）A- + m2 =0有两个整数根，求整数？.2.若一直角三角形两直角边的长，。、力（“工）均为整数，且满足a + = ？ + 2ah = 4m *试求这个直角三角形的三边长.【例13】关于x的方程.2+2（-3口 + （-2） = 0至少有一个整数解，且。是整数，求。的值.【巩固】已知方程 -（犷一8卜+

8、2“2 -1% + 15 = 0 （。是非负整数）至少有一个整数根，那么【例14】（2008年西城区初三抽样试题）当，是什么整数时，关于x的一元二次方程加/-4x + 4 = 0与 x2 -4nix + 4/?r -4?一5 = 0的根都是整数.【例15（20072008清华附中初三第一次月考试题）己知12cm40 ,且关于x的二次方程 x2-2（m + l）x + m2 =0有两个整数根,求整数？.【巩固】设机为整数，且4帆40,方程2（27-3» + 4-14/ + 8 = 0有两个整数根，求7的值及方 程的根.【例16】当初为何整数时，方程2/一5n+ 2病=5有整数解.【例1

9、7已知方程* -（犷-8“卜+ 2/ 一1% + 15 = 0 （。是非负整数）至少有一个整数根，那么【例18若关于%的方程（6-4）（9Y-（u7T5A）x + 54 = 0的解都是整数，则符合条件的整数2的值有个.【例19】设方程以2-(?-2口 + (m-3) = 0有整数解，试确定整数7的值，并求出这时方程所有的整数解.【例20】设机为整数，且4v?<40,方程2(2，-3» + 4/-147 + 8 = 0有两个整数根，求7的值及方 程的根.【例21】已知。是正整数，且使得关于五的一元二次方程。/+2(-1» + 4(“-3) = 0至少有一个整数根, 求。

10、的值.已知关于X的方程a2T-(3,J-8a)x + 2/-13a + 15 = O (其中。是非负整数)至少有一个整数根, 求。的值.【例22】(1999年全国联赛试题)已知人c为整数,方程5/+以+。= 0的两根都大于-1且小于0,求和c 的值.【例23(2007年“数学周报”杯全国数学竞赛试题)1.已知。，都是正整数，试问关于x的方程V-求+ ,(“ +与=0是否有两个整数解？如果有，请求出来：如果没有，请给出证明. 2(1993年全国数学联赛试题)2.已知方程胃+队+。= 0及/+u + 0 = 0分别各有两个整数根引，及 X，尺，且 xxx2 > 0 ,小；> 0 .(1

11、)求证：为<0,占<°，X <0，a,2 < 0 ；(2)求证:-KcW + l：求乩c所有可能的值.3 .设、夕是两个奇整数，试证方程/+2/»+29 = 0不可能有有理根.(北京市数学竞赛)4.试证不论是什么整数，方程丁-16必+ 7=0没有整数解，方程中的s是任何 正的奇数.【例24】求方程+2/ +k+4 = 0的所有整数解.【例25】1.已知。为整数，关于乂)，的方程组+二"+ 2)*的所有解均为整数解，求。的值.用? = (a- +1口-2/ +24 .求方程,“一、=的所有正整数解.r-aj +尸 75 .求所有的整数对(x,

12、 y),使/一丁)，+冲2 -),=4x2 - Axy + 4y2 + 47 .【例26设相是不为零的整数，关于克的二次方程以/-(,-1卜+ 1 = 0有有理根，求加的值.【例27】(2008年西城区初三抽样试题)当加是什么整数时，关于x的一元二次方程加-4% + 4 = 0与 x2 -4ntx + 4m2 -4?一5 = 0的根都是整数.【例28(2007年全国联赛试题)是正整数，关于x的方程/+( + 17)/+(38-4-56 = 0的根都是整数, 求。的值及方程的整数根.【例29】（2004年“信利杯”全国初中数学竞赛）已知a, 是实数，关于的方程组）, = ./ 一"-

13、一心有整数解（工）,），求心满足的关系式. y = ax+ b【例30（2002年上海市初中数学竞赛）已知为质数，使二次方程丁-2/* + 2-5-1 = 0的两根都是整数, 求出所有可能的的值.【例31】（2000年全国联赛）设关于x的二次方程（公-6女+ 8）丁 +（2代-6k-4）x +=4的两根都是整数，求 满足条件的所有实数k的值.【例32为何值时，方程x2-6-2 = 0和= 0有相同的整数根？并且求出它们的整数根?【例33】（2000年全国竞赛题汜知关于x的方程（-1）/+2.。-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数。有 个.【例34】（1998年全国竞赛题）求所有正实数a,使

14、得方程/-,戊+ 4“=0仅有整数根.【例35】（1996年全国联赛）方程（x-aXx_8）7 = 0有两个整数根,求a的值.【例36（2000年全国联赛C卷）求所有的正整数“，,使得关于克的方程x2 -+ 2Z? = 0,x2 - 3bx + 2c = 0,x2 -3cx + 2n = 0 的所有的根都是正整数.【例37】（1993年安徽竞赛题）n为正整数，方程/ -（6 + 1）尤+ 6-6 = 0有一个整数根，则 =【例38（第三届祖冲之杯竞赛题）求出所有正整数，使方程点+2（2-1» + 4（。-3） = 0至少有一个整 数根.【例39（第三届祖冲之杯竞赛题）已知方程（”2-l*-2（5a + l）x + 24 = 0有两个不等的负整数根,则整 数4的值是.【例40】不解方程，证明方程丁-1997工+1997=0无整数根【例41】（1999年江苏第14届竞赛题）已知方程丁-19998+ = 0有两个质数根，则常数 =【例42】（1996年四川竞赛题）已知方程必-7 + 1 = 0有两个不相等的正整数根，求m的值.【例43（1994年福州竞赛题）当m是什么整数时，关于x的方程/-（,-1» +m+ 1 = 0的两根都是整数?【例44】设方程，心2-（?-2口 + -3） = 0有整数解，试确定整数7的值，并求出这时