初中数学几何模型练习题(喊打)

1、目录8字模型与飞镖模型2角平分线四大模型11截长补短辅助线模型21手拉手模型29三垂直全等模型36中考复习专题（将军饮马问题题型归纳）45蚂蚁行程51中点四大模型59半角模型75相似模型82圆中的辅助线109第十二章辅助圆120几何秘籍8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC. 8。相交于点。，连接A。、BC. 结论：ZA + ZD=ZB+ ZC.11模型分析证法一：NAO8 是40。的外角，A ZA+ZD=ZAOB. NAO8 是 8OC 的外角, ：.ZB+ZC=ZAOB. r. ZA+ZD=ZB+ZC.证法二：V ZA+ZD+ ZAOD= 18Q09 ：. ZA+ZD= 18

2、0°- ZAOD. VZB+ZC+ ZBOC=180°,：.ZB+ ZC=1SO0 ZBOC.又*： /AOD=4BOC, ：, ZA+ZD=ZB+ZC.（1）因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型.（2） 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图，ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE=解法一：利用角的8字模型.如图，连接。NBOC是BOE的外角， ：.ZB+ZE=ZBOC. NBOC 是C。的外角，：.Z1 +Z2= ZBOC.NB+NE=N1+N2.（角的 8 字模型），A ZA+ ZB+ ZACE+ ZAD

3、B+ZE=NA + ZACE+ ZADB+ N1 + N2 = NA + ZACD+ ZADC= 180°.解法二：如图，利用三角形外角和定理./1是FCE的外角，N1 = NC + NE.,，N2 是G8。的外角，N2=N8+N。. NA+ NB+ ZC+ ZD+ ZE= ZA+Z1 + Z2 = 180°.（2）如图，ZA + ZB+ ZC+ ZD+ ZE+ ZF=（2）解法一：如图，利用角的8字模型.是AO8的外角，NA+NB=NAOP.NAOP 是OPQ 的外角，N1 + N3 = N4OP.，N4+NB=N1 + N3. （角的8字模型），同理可证：ZC+ZD=Z

4、1 + Z2.，ZE+ZF=Z2+ N3. （3）由+得：NA+NB+NC+NO+NE+Nb=2 （Z1 + Z2+Z3）=360° .解法二：利用角的8字模型.如图，连接。E.NAO石是AO8的外角，A ZA+ZB=ZAOE. 丁 NAOE 是OE。的外角，：.Z1 +Z2= ZAOE.NA + N8=N1 + N2.（角的8字模型）J NA+ N8+ NC+ ZADC+ ZFEB+ ZF= Z1 + Z2+ ZC+ ZADC+ A FEB+ Z.F= 360° .（四边形内角和为360° ）练习：NCAD+NB+NC+ND+NE=N1+N2+NE= 180。.

5、故答案为：180。 解法二：（1 ） 180提示：如图，连接DE.Z.C+C4I>=Z.1+Z.2. （8 字模型）L CAD+ 乙 8+ 4 C+ 乙 ADB+ LBEC= 180°.ZCAD+ NB+ ZACE+ ZD+ ZE=（2）如图,求:解：由三角形的外角性质，知NBAC=NE+NACE, NEAD=NB+ND, XV ZBAC+ZCAD+ZEAD=180° , A ZCAD+ ZB+ ZACE+ ZD ZE = 180° 解法二：提示：如图，连接OE.4/。七+4。=乙1 +，2,（8字模型）Z. CAD+ 乙LACE+ 乙ADB乙BECSZ5+

6、Z5EC+Z5ZX4+Z.1+Z.2（2） 1即.=180*.2.如图，求:N4 + N8+ NC+ ZD+ ZE+ ZF+ NG+ ZH=解：VZG+ZD=Z3, ZF+ZC=Z4, NE+NH=N2,NG+ND+NF+NC+NE+NH=N3+N4+N2,VZB+Z2+Z1=18O° , Z3+Z5+ZA=180° , A ZA+ZB+Z2+Z4+Z3=360° , ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=360°解法二：答案：360-.提示：如图，连接GH, CD.4乙2.（8字模型）44+乙产 =43+乙4. （8字模型）/ B+乙 FCH

7、- L 4DG+ L E+ 4产.L DGB+ L EHC =ZJ+N 2+ 4 3+4 4+/ GDA+ Z FCH+ L DGB+ LEHC二360 （四边形内角和3&T）模型2：角的飞，如图所示，有结论：ZD=ZA + ZB+ZC.模型分析解法一：如图，作射线40.是A50的外角,N3 = NB+NL卜N4是ACD的外角，N4=NC+Z2，NBOC= N3+N4,，N8OC= NB+N1 +N2+NC, ：.ZBDC=ZBAC+ZB+ZC解法二：如图，连接8c.VZ2+Z4+ZD=180° , AZD= 180° 一 (Z2+Z4)N1 + N2+N3+N4+

8、NA = 18O° ,，NA+N1 +N3 = 180° (Z2+Z4)NO=NA + N1 + N3.(1)因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.模型实例如图，在四边形A8CO中，AM、CM分别平分ND48和NDC8, AM与CM交 于M,探究NAMC与N8、NO间的数量关系.解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接。M并延长.N3是AMO的外角，N3=N1 + NAOM, :N4 是CM。的外角，/-Z4=Z2+ZCDM, V ZAMC=Z3+Z4：.ZAMC= Z1 + ZADM+ ZCDM+ Z2, /.

9、ZAMC= Z1 + Z2+ ZADC.（角 的飞镖模型） AM、CM分别平分ND48和NOC8, 4= 丝，/2 =幺攵，22 ZAMC =+ ZADC , ZAMC =：2。-+ ZADC （四边形222内角和 360° ）, A ZAA/C=36（）QZZ?WC , A2ZAMC+ZB-ZADC=360° .2练习：1 .如图，求NA+NB+NC+ND+NE+NF=【答案】230°提示：NC+NE+ND=NE0C= 115°.（飞镖模型），NA+NB+NF=NB0F= 1150.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=115o+115o=230

10、6;2 .如图，求NA+NB+NC+ND=.【答案】2200提示：如图所示，连接BD.NAED=NA+N3+NL NBFON2+N4+NC,ZA+ZABF+ZC+ZCDE=ZA+Z3+Z1+Z2+Z4+ZC=ZAED+ZBFC=22O°模型3边的“8”字模型A如图所示,AC、BD相交于点0,连接AD、BC.结论AC+BD>AD+BC.模型分析/ 0A+0D>AD ，OB+OOBC ， 由+©得：OA+OD+OB+OOBC+AD即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。求证：(1) AB+BC+CD+AD>A

11、C+BD：(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.证明：(1) AB+BOAC，CD+ADAC，AB+ADBD，BC+CD> BD®由+得：2 (AB+BC+CD+AD) >2 (AC+BD).即AB+BC+CD+AD >AC+BD.(2) ,?AD<0A+0D® , BC<0B+0C®, 由+©得：AD+BC< 0A+0D+0B+0C.，AD+BCAC+BD.(边的 8 字模型)，同理可证：AB+CD <AC+BD.模型4边的飞模型如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.BBCAAB+B

12、C+CD+AD< 2AC+2BD.模型分析如图，延长BD交AC于点E。;AB+AOAB+AE+EC, AB+AE>BE,，AB+A OBE+EC.，：BE+EC=BD+DE+EC, DE+EO CD, JBE+EOBD+CD.，由可得：AB+AOBD+CD.模型实例如图，点0为三角形内部一点.求证：(1) 2 (A0+B0+C0)AB+BC+AC；(2) AB+BC+AOAO+BO+CO.证明：(1) TOA+OBAAB，OB+OOBC，0C+0A>AC 由+得：2 (A0+B0+C0) >AB+BC+AC如图,延长B0交AC于点E,;AB+AC=AB+AE+EC, A

13、B+AE>BE, A AB+AOBE+EC. YBE+EC=BO+OE+EC,OE+EOCO, ABE+EOBO+CO,由可得：AB+AOBO+CO.(边的飞镖模型) 同理可得：AB+BOOA+OC.，BC+AOOA+OB. 由+得：2 (AB+BC+AC)>2 (A0+B0+C0).即 AB+BC+AOAO+BO+CO.1 .如图，在ABC 中，D、E 在 BC 边上，且 BD二CE。求证：AB+AOAD+AE.【答案】证法一：如图，将AC平移至BF, AD延长线与BF相交于点G,连接DF。 由平移可得 AOBF , VACBF , ZACE=ZBFD , 1BD二CE A AA

14、ECAFDB , ADF=AE如图，延长 AD 交 BF 于点 G, TAB+BF=AB+BG+GF.VAB+BOAG,，AB+BF>AG+GF，VAG+GF=AD+DG+GF, VDG+GF>DF, ，AG+GF>AD+DF，由©可得：AB+BF>AD+DF.(飞镖模型) AB+AC = AB+BF>AD+DF = AD+AEAB+AOAD+AE.A证法二:如图,将AC平移至DF,连接BF ,则AC=DF , VAC/7DF, AZACE= ZFDB.VBD=CE, A AAECAFBD. ABF=AE. VOA+OD>AD®, OB+

15、OF>BF® 由+®得：OA+OD+OB+OF>BF+AD. Z.AB+DF>BF+AD. （8 字模型） ： AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. AB+AOAD+AE.2.观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由.(1)如图，ABC中，P为边BC一点，请比较BP+PC与AB+AC的大小，并说明 理由.(2)如图，将(1)中的点P移至ABC内，请比较aBPC的周长与ABC的周长 的大小，并说明理由.(3)图将(2)中的点P变为两个点鸟、鸟，请比较四边形3幺鸟。的周长与AABC 的周长的大小，并说明理由.【答案】(1)

16、如图，BP+PC<AB+AC.理由：三角形两边之和大于第三边。(或两点之间线段最短)(2) ZiBPC的周长小于AABC的周长。证明：如图，延长BP交AC于M。在aABM中，BP+PNKAB+AM在中，PCXPM+MC，由+得：BP+PCCAB+AC. /. ABPC的周长小于4ABC的周长。1（3）四边形868c的周长小于ABC的周长。证法一：如图，分别延长B4、C£交于M,由（2）知，BM+CM<AB+AC.又 qg <, 8耳 + qg + £CBM+CMAB+AC.四边形8RAC的周长小于aABC的周长.证法二：如图，做直线6鸟分别交AB、AC于M

17、、No在BM6中，B6BM+Mg 在 AAMN 中，M4 + qg + 6NAM+AX，在NC 中，P? < PN +NC由+©X得：.Bq + A/ + HCVAB+AC. J四边形86BC的周长小于AABC的 周长.角平分线四大模型模型1角平分线的点向两边作垂线如图，P是NMON的平分线上一点，过点P作PA_LOM于点A, PB_LON于点B,则PB = PA模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例(1)如图，在ZkABC中，ZC=90°, AD平分NC

18、AB, BC=6.BD=4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DE_LAB于点E, ： AD平分NCAB.，CD=DE.CB=6,BD=4,，DE=CD=2,即点D到直线AB的距离是2.(2)如图，N1 = N2, N3 = N4,求证：AP 平分NBAC证明：如图，过点P作PD_LAB于点D, PE_LBC于点E, PF_LAC于点F,VZ1 = Z2,，PD=PE,YN3=N4,，PE=PF, APD=PF又,PD_LAB, PFJ_AC,，AP平分NBAC （角平分线的判定）练习1、如图，在四边形ABCD中，BC>AB, AD=DCBD平分NABC ,求证：ZBAD+Z

19、BCD=180°证明：作DE_LBC于E,作DF_LBA的延长线于E A ZF= ZDEC=90°,BD 平分NABC,，DF=DE,又二人口二口©, A ADFADEC,/. ZFAD= ZC/ ZFAD +ZBAD=180°, AZBAD+ZBCD = 180°2.如图,ZkABC的外角NACDN的平分线CP与内角NABC的平分线BP相交于点P,若NBPC=40。，则 NCAP=.解答：如图所示，作PNLBD于N,作PFLBA,交BA延长线于F,作PMLAC于MVBP. CP 分别是NCBA 和NDCA 的角平分线，NABP=/CBP.ND

20、CP= NACP, PF=PN=PM, V ZBAC= ZACD- ZABC, NBPC= NPCD - NPBC(外角性质) AZBAC=2ZPCD-2ZPBC=2(ZPCD-ZPBC)=2ZBPC = 80°A ZCAF= 1800- ZBAC= 100°, VPF=PMAAP 是NFAC 的角平分线，I. ZCAP=ZPAF=50°模型2截取构造对称全等如图，P是NMON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB =OA,连接 PB, WijAOPBAOPA模型分析利用角平分线图形的对称性，在铁的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边，对应

21、角相 等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图所示，在AABC中，AD是BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意 一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由AE解题：PB+POAB+AC证明：在BA的延长线上取点E.使AE=AB、连接PE, AD平分NCAEZCAD=ZEAD,在4AEP 与4ACP 中，VAE=AB, ZCAD=ZEAD,AP=AP, AAAEPAACP (SAS) , APE=PC在aPBE 中：PB+PE>BE.BE = AB+AE=AB+AC, APB+POAB+AC（2）如图所示，AD是AABC的内角平分线

22、，其它条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明:在4ABC 中，在 AC 上取一点 E,使 AE=AB , A AC-AE=AB-AC=BEAD 平分NBAC , AZEAP=ZBAP ,在AAEP 和4ACP 中.-AEPAABP(SAS) ,，PE=PB , :在4CPE 中CE>CP-PE , r.AC-AB>PC-PB练习1 .己知，在AABC 中，NA=2NB.CD 是NACB 的平分线，AC = 16.AD = 8,求线段BC的长解：如图在BC边上截取CE=AC,连结DE,在4ACD和4ECD中AC = EC, 4A

23、CD =4ECDCD = CDAAACDAECD(SAS)A AD = DE , ZA=Z1 , V ZA=2ZB,，N1=2NB,VZ1 = ZB + ZEDB , N B = N EDB,A EBB = ED , AEB = DA=8, BC=EC + BE=AC + DA= 16+8=242 .在AABC 中，AB=AC,NA=108o.BD 平分NABC,求证：BC=AB+CDAAABDAEBD(SAS), AZDEB = ZA=108°, AZ DEC =180°-108°=72°VAB=AC, A ZC = ZABC=5( 180°

24、- 108°)=36°, A ZEDC=72° ，/DEC=NEDC, ACE=CD , ，BE+CE=AB+CD, ABC=AB+CD3 .如图所示，在AABC中，NA=100o,NABC=40o.BD是NABC的平分线，延长BD至E,使 DE=AD,求证：BC=AB+CE证明：在CB上取点F,使得BF=AB,连结DF,=BD平分NABC, BD=BD/.ABDAFBD,，DF=AD=DE,NADB = NFDB,，BD 平分NABC，NABD=20°,则 NADB = 180。-20。- 100°=60°= ZCDEZCDF= 1

25、800- ZADB- ZFDB=60°, AZCDF=ZCDE,在ACDE 和ACDF 中DE = DF- ACDF =乙 CDECD = CD AACDECDF, ，CE=CF, ABC=BF+FC=AB+CE模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是NMON的平分线上一点，AP_LOP于P点，延长AP交ON于点B则AAOB是模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得 到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图,己知等腰直角三角形ABC中，NA=90。, AB=AC, BD平分NABC, C&#

26、163;± BD.垂足为E.求证：BD=2C£.解答：如图，延长 CE、BA 交于点 F.CE_LBD 于 E. NBAC=90。，AZBAD=ZCED.，NABD=NACF,又AB=AC, ZBAD=ZCAF=90°, .-ABDAACR/. BD=CF.BD 平分NABC. ，/CBE=NFBE. X BE=BE,A ABCEABFE.ACE=EF. ABD=2CE.练习1如图,在AABC中.BE是角平分线AD JL BE.垂足为D.求证：Z2=Z1 + ZC.证明：延长 AD 交 BC 于 F,： AD_LBE,，ZADB=ZBDF=90°, V

27、ZABD=ZFBD.A Z2=ZBFD. V ZBFD=Z1+ZC,A Z2=Z1+ZC.2如图,在AABC中.ZABC=3ZC,AD是NBAC的平分线.BE ± AD于点E.(2)证明:延长BE交AC于点F. ? AD为/BAC的角平分线,，NBAD=NCAD.： AE=AE,:.NBAE=NFAE.则AEBdAEF, A AB=AE BE=EF, Z 2=Z3. A AC-AB=AC-AF=FC.VZABC=3ZC,AZ2+Z1=Z3+Z1=Z1 + ZC+Z1=3ZC./.2Z1=2ZC即 Z1=ZC J BF=FO=2BE. A BE = - FC =-( AC - AB)2

28、2模型4角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形.为证明结论提供 更多的条件,体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题:(1)如图,ABC中，EFBC,点D在EF上,BD、CD分别平分NABC、NACB,写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？(2)如图，BD平分NABCCD平分外角NACG.DE/BC交AB于点E,交AC于点E线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由.(3)如图，BD、CD为外角NCBM、NBCN的平分线，DE/BC交AB延长线于点E.交AC 延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数关系？

29、解答：(1) EF/BC,.NEDB=NDBC.'BD 平分NEBC,，NEBD=NDBC=EDB.，EB=ED.同理:DF=FC. AEF=ED+DF=BE+CF.图中有 EF=BE=CF, BD 平分NBAC,，NABD=NDBC,又 DE/BC、AZEDB=ZDBC.，DE=EB,同理可证：CF=DF AEF=DE-DF=BE-CF.(3) EF=BE+CF.r练习1 .如图.在aABC中,NABC和NACB的平分线交于点E.过点E作MNBC交AB于M点.交AC于N点,若BM+CN=9,则线段MN的长为解答：VZABC. NACB 的平分线相交于点 E,，MBE=NEBC, ZE

30、CN=ZECB. VMN/BC, A ZEBC=ZMEB, ZNEC=ZECB. AZMBE-ZMEB, ZNEO=ZECN. A BM=ME, EN=CN.:.MN=ME+EN,即 MN=BM+CN.V BM+CN=9, Z. MN=9.2 .如图.在ZiABC中,AD平分NBAC.点E、F分别在BD, AD上,EF AB.且DE=CD,求证: EF=AC.证明:如图，过点C作CMAB交AD的延长线于点M,：ABEF.，CMEF.，N3=N4.VDE=CD. Z5=Z6, AADEFADCM. AEF=CM. V AB/CM.A Z2=Z4. VZ1 = Z2,A Z1=Z4.ACM=AC.

31、AEF=AC3如图,梯形ABCD中,ADBC,点E在CD上且AE平分/BAD.BE平分NABC.求证：AD=AB-BC.证明：延长 AD、BE 交于点 F；ADBC,，N2=NF. V Z1=Z2,A Z1=ZF.A AB=AF.VAE 平分NBAD，BE=EF. ZDEF=ZCEB,:.ADEF CEB.ADF=BC.A AD=AF-DF=AB-BC.截长补短辅助线模型模型：截长补短A B C DIIFFI I IE G F如图，若证明线段AB、CD、EF之间存在EF =AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图，在EF上截取EG = AB,再证 明GF=CD即可.补短法：如图，延长AB至

32、H点，使BH = CD, 再证明AH = EF即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线端中截取 一段等于已知的线段；补短，指将一条短线端延长，延长部分等于已知线段.该 类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全 等三角形来完成证明过程.模型实例例 1：如图，已知在 ABC 中，ZC = 2ZB, N1 = N2 .求证：AB = AC+CD.证法一，截长法：如图，在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE.* AE AC» N1 = N2, AD = AD,AAACDAAED , CD = DE, ZC=Z3.VZC=2ZB,

33、图，N3 = 2NB=N4+NB ,A Z4=ZB ,，DE=BE , CD = BE. 'AB = AE+BE,AAB = AC+CD.证法二，补短法：如图，延长AC到点E,使CE=CD,连接DE.VCE=CD, r. Z4=ZE.VZ3=Z4+ZE, AZ3=2ZE.VZ3 = 2ZB, AZE=ZB.VZ1 = Z2, AD = AD, .,.EADABAD, AAE=AB. 又，AE=AC+CE,A A AB = AC+CD.例2：如图，已知OD平分NAOB, DCJ_OA于点C, ZA=ZGBD.求证：AO+ BO = 2CO.2证明：在线段AO上取一点E,使CE=AC,连接

34、DE.VCD=CD, DC±OA, AAACDAECD, AZA=ZCED.VZA=ZGBD , r.ZCED=ZGBD , r. 1800- ZCED =180O- ZGBD , r.ZOED=ZOBD.YOD 平分NAOB, NAOD=NBOD.VOD = OD, AAOEDAOBD , OB = OE, AO + BO = AO+OE = OE+2CE+OE=OE+CE+OE+CE=2 (CE+OE)= 2CO.跟踪练习1 .如图，在 ABC中，NBAC = 60°, AD是NBAC的平分线，且AC = AB + BD.求NABC的度数.【答案】证法一：补短延长AB到

35、点E,使BE=BD.在4BDE中,'BE=BD, NE=NBDE, ZABC= ZBDE+ ZE=2ZE .又'AC = AB + BD,AC = AB + BE, AC = AE.VAD 是/BAC 的平分线，ZBAC=60°, /. NEAD= NCAD = 600+2 = 30° .VAD = AD,AAAEDAACD, ：. ZE= ZC .VZABC=2ZE, AZABC = 2ZC.VZBAC=60°,r. ZABC+ NC= 180°60°= 120°, 2 N ABC = 120°, N AB

36、C = 80°.2证法二：在AC上取一点E使AF=AB,连接DF.TAD是NBAC的平分线，NBAD=NFAD.VAD = AD,AABADAFAD,AZB=ZAFD, BD = FD.AC = AB + BD, AC = AF+FC.FD = FC , AZFDC=ZC.VZAFD=ZFDC+ZC,r.ZB=ZFDC+ZC=2ZC.Z BAC+ ZB+ZC=180°,- N ABC = 120°, J Z ABC = 80°.22.如图，在 ABC 中，ZABC = 60°, AD、CE 分别平分NBAC、ZACB .求证: AC=AE+CD

37、.【答案】如图，在AC边上取点E使AE=AF,连接OF. ZABC = 60°, ZBAC+ ZACB=180°- NABC = 120° .AD、CE 分别平分NBAC、ZACB,A ZOAC= ZOAB =, NOCA=NOCB=,22/. ZAOE= ZCOD= ZOAC+ ZOCA=少丝CB. =60o,/ ZAOC=1800- ZAOE=120°. VAE=AF, ZEAO=ZFAO, AO=AO, r.AAOEAAOF (SAS), r.ZAOF=ZAOE=600,/. ZCOF= ZAOC-ZAOF=60°,AZCOF=ZCOD.

38、VCO=CO, CE 平分NACB, AACODACOF (ASA), ACD=CF.VAC = AF+CF,，AC = AE+CD,3.如图，ZABC+ZBCD=180°, BE、CE 分别平分NABC、NDCB ,求证：AB+CD = BC.【答案】证法一：截长如图，在BC上取一点E 使BF=AB,连接EF.VZ1 = ZABE, BE=BE,ABEdFBE, AZ3=Z4.VZABC+ZBCD=180°,BE、CE 分别平分NABC、ZDCB,困r.Zl + Z2=l ZABC+i ZDCB22= 1x180°=90° ， 2r.ZBEC = 90

39、° ,N4+N5=90°, Z3+Z6=90°.VZ3=Z4 ，N5=N6.VCE=CE, Z2=ZDCE , AACEFACED, .CF=CD .VBC = BF+CF, AB = BF,，AB+CD = BC证法二：补短如图，延长BA到点F,使BF=BC,连接VZ1 = ZABE, BE=BE, AABEFABEC, AEF=EC, NBEC=NBEF.VZABC+ZBCD=180°,BE、CE 分别平分NABC、ZDCB,AZ1 + Z2=1 ZABC+1 ZDCB 22= lxl80°=90° , 2r.ZBEC=90

40、76; ,r.ZBEF=ZBEC = 90°, .ZBEF+ZBEC=180°,C、E、F三点共线.VAB/7CD, AZF=ZFCD.VEF=EC, ZFEA=ZDEC, AAAEFADEC,AF=CD.：BF=AB + AF,.*.BC = AB+CD.4.如图，在aABC 中，ZABC=900, AD 平分NBAC 交 BC 于 D, ZC = 30°,BE_LAD 于点 E.求证：ACAB=2BE.【答案】延长BE交AC于点M.VBE±AD, NAEB = NAEM = 900.VZ3=9O0-Z1, N4=90° N2, Z1 = Z

41、2,.N3=N4, /. AB AM .VBE±AE, BM = 2BE.V Z ABC=90°, ZC = 30°,A ZB AC=60°.VAB = AM, N3=N4=60°,.*.Z5=90o-Z3 = 30o,：.Z5=ZC, ；CM = BM, AC-AB = CM = BM = 2BE .5.如图，R3ACB 中，A = BC, AD 平分NBAC 交 BC 于点 D, CEJ_AD 交 AD于点F,交AB于点E.求证：AD = 2DF+CE.【答案】在AD上取一点G,使AG=CE,连接CG.VCE±AD,r.ZAFC

42、= 90°, Zl + ZACF=90°.VZ2+ZACF=90°, AZ1 = Z2.VAC = BC, AG=CE,AAACGACBE,，N3= NB=45。, Z2+ N4=90° N3=45°.Z2=Z 1 = 1 ZBAC = 22.5°, 2 N4=450-N2=22.5°, Z4=Z2 = 22.5°.乂，CF=CF, DG±CF,/.CDFACGF, ADF=GF. AD = AG + DG, ，AD=CE+2DF.6.如图，五边形 ABCDE 中，AB = AE, BC + DE=CD,

43、 ZB+ZE=180°.求 证：AD平分NCDE.AF=AD.即 FC = CD.ACD【答案】如图，延长CB到点F,使BF=DE,连接AF、AC.VZ1 + Z2=18O°, ZE+Z1 = 18O°, AZ2=ZE.AB = AE, Z2=ZE, BF=DE, AAABFAAED, AZF=Z4,VBC+DE=CD, BC + BF=CD, 乂 ，AC = AC, AAACFAACD, r.ZF=Z3.NF=N4,N3=N4,AD平分NCDE.手拉手模型模型手拉手图图3如图，月6C是等腰三角形、月龙是等腰三角形，AB=AC, AD=AE, ABAC =A DA

44、E= a .结论：连接初、CE,则有员1四模型分析如图，ZBAD= ABAC- ZDAC, ACAE= ADAE- ADAC.*/ ZBAC= ZDAE= a ,：.ABAD=ACAE.在屈”和中，AB = AC,/BAD =/CAE,AD = AE9图、图同理可证.（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变 化的同时.，始终存在一对全等三角形.（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手， 两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模 型.（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现.模型实例H,例1如图

45、，笫与口G都为等腰直角三角形，连接力G、CE,相交于点 问：(1) 与"是否相等？(2) AG与6F之间的夹角为多少度?解答:(1) AG=CE.理由如下: /ADG= ZADC+/CDG, /CDE= /GDE+ ZCDG, /ADC= /EDG=9G , ：.AADG=ACDE.在助G和3中,AD = CD,，ZADG = ZCDE,DG = DE, *：.ADECDE.：.AG=CE.(2) : XADMXCDE,:"DAG=/DCE.Y /COH=/AOD, ：.ZCHA=ZADC=90° .与"之间的夹角是90° .例2如图，在直线月

46、6的同一侧作被和旌；败和这都是等边三角形，连接力反CD,二者交点为乂求证：(1) 2X45匡庞Q(3) AE= DQ：(4) NDHA=60° ；(5) MAG运DFB、(6) 龙恒凝(6)连接 GF, GF/ACx(7)连接 HB, HB平分4AHe.证明：(1) N段 =120° , NCBD= 120° ,在板和庞c中，BA = BD,< AABE = ZDBC,BE = BC, *:.XAB叫 XDBC.(2) :XAB昭4DBC,：.AE=DC.(3) 空XDBC,AZ1 = Z2-：.ADGH=AAGB./颇=N4 = 60° .(4)

47、 VZ5 = 180° -/4一/鹿=60° ,/Z4=Z5.Y XAB咋 XDBJ/Z1 = Z2.乂YAB=DB,:4AG哈4DFBASA).(5)同(4)可证属四0% (ASA).D图（6）如图所示，连接防 由（4）得，XAG第XDFB. :.BG=BF.又N5=60° ,2X66尸是等边三角形.Z3 = 60o .，N3=N4.：.GF/AC.（7）如图所示，过点月作6忆加于M过点5作囱工于点A：:丛AB咋 XDBC, * s&®= s上收.a! X AEX BN= 1 X CDX BM.22,: AE=CD,:,BM=BN.,点6在NW

48、的平分线上.:.HB 平分 4AHC.D1.在板中，AB=CB. ZABC=90° ,尸为46延长线上一点，点6在6。上,跟踪练习:且月£=加(1)求证：BE= BF；(2)若/窃£=30。，求Nn6F度数.答案：(1)证明：NABC=90° .在Rt 月班'和Rt 烟中，CF = AE,AB = CB, :.RSABERSCBF (HL).:.BE=BF.(2) "AB=CB, /ABC= 90° ,：.ZBAC= ZBCA=45° .：.ZCAE=30° .N胡£=45° -30&#

49、176; =15° .Rt 相隹Rt 渐：.ZBCF= ZBAE=15° .A ZACF= ABCF+ ZBCA= 150 +45° =60° .2.如图，月加与都为等边三角形，连接熊与S延长在'交口?于点日求证：(1) AE= DC；(2) /AHD=60° ；(3)连接曲，HB平分4AHC.答案：(1) V ZABE= A ABD- ZEBD, ZDBC= AEBC- AEBD, AABD= AEBC=Q , /. /ABE= ZDBC.在板和庞C中，AB = DB,< AABE = ZDBC,BE = BC, *：.4AB=

50、4DBC.：.AE=DC.(2) ,: XAB监XDBC ,:/EAB=/CDB.ZOAB+ZOBA=ZODH+ZOHD,:.NAHD= NABD= 60° .(3)过6作月从 加的垂线，垂足分别为点名、M: XAB的 XDBC, S应一S&.即，月£ BM= 1 CD BN.22义,：但CD,:.HB 平分 4AHC.3.在线段月方同侧作等边板和等边侬(/水石<120° )，点户与点罚分AE别是线段应和4?的中点.求证：ACPM是等边三角形.答案:证明：版和aaE都是等边三角形,：.AC=BC, CD=CE.：.ZACB=ZECD=60Q .：.Z

51、BCE=ZACD.:.XBC恒ACD.:/CBE=/CAD, BE=AD.乂二点尸与点"分别是线段应和助的中点, ：.BP=AM.在呼和月CV中，bc = ac9<ZCBE = ZCAD,BP = AM9*跖咤月CW.:PC=MC, ZBCP= A ACM.: /PCM= /ACB=60° .67型是等边三角形.4.将等腰Rt月6。和等腰Rt月应按图方式放置，ZA=90° , 4?边与四 边重合，AB=2AD=,将月龙绕月点逆时针方向旋转一个角度a (0° Va <180° ),劭的延长线交成于2.(1)如图，求明：BD=CE, B

52、DVCEx(2)如图，在旋转的过程中，当助_1_劭时，求。7长.3图图答案：(1) ;等腰Rt 月5。和等腰Rt 月阳 ：,AB=AC, AD=AE, ZBAC= ZDAE=90° .'：NDAB=900 -ACAD, N a £=90° -ACAD,：.ZDAB=ACAE.:.XABI足 XACE.:BD=CE.:NDBA=NECA.：.ZCPB= ZCAB. (8 字模型):BDLCE.(2)由(1)得即上CE.乂 YADLBD, N%£=90° , AD=AE.四边形月迹为正方形.:,AD=PE=2.: NADB=90°

53、 , AD=2, A=4,:.BD=CE=2".：.CP=CEPE=2-2.三垂直全等模型模型三垂直全等模型如图：ZD=ZBCA = ZE=90° , BC=AC.结论：Rt/BCDRt/CAE.模型分析说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足 轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图 支离出来的一部分几何图形去求解.图和图就是我们经常会见到的两种弦 图.3三垂直图形变形如下图、图，这也是由弦图演变而来的.例 1 如图，ABLBC, CDLBC, AELDE. AE=DE,求证：AB+CD=BC.证明：'：

54、AEA.DE, ABLBC, DC工bc,：.ZAED=ZB=ZC=90° .：.ZA-ZAEB=ZAEB+ZCED=90° .：.ZBAE=ZCED.在ABE和ECO中，'/B = NC< NA =乙 CEDAE = ED，AABE 会 AECD.：AB=EC, BE=CD.AB+CD=EC+BE = BC.例 2 如图，NACB=90° , AC=BC, BE工CE, 4OJ_CE 于。，AO=2. 5cm,BE=0. 8cm,则。石的长为多少？解答：；BELCE, ADLCE, ：,ZE=ZADC=90° . :NEBC+NBCE=9

55、0： *： ZBCE+ZACD=9Q° , ：,ZEBC=ZDCA.在CE8和AOC中，ZE = ZADC< ZEBC = ZDCABC = AC *:,/CEB 经 AADC. BE-DC-Q. 8cm, CE,AD 2. 5cm.:.DE=CECD=2. 5 0. 8 = 1. 7cm.例3如图，在平面直角坐标系中，等腰RtZXABC有两个顶点在坐标轴上，求第 三个顶点的坐标.解答：(1)如图，过点8作轴于点D ：.ZBCD+ZDBC=9Q° .由等腰用ABC 可知，BC=AC, ZACB = 90° , ：.ZBCD+ZACO=90° .：.ZDBC=ZACO.在BCD和CAO中，ZBDC = AAOCZDBC = AACOBC = AC：./BCD/CAO.：.CD = OA. BD=OC.:04 = 3, OC=2.ACD = 3, 80 = 2.J 00 = 5.1B (-5, 2).(2)如图，过点4作轴于点D在ACO和C8O中，ZADC = ZCOB< ZDAC = ZOCB AC = CB：.ACD9XCBO.:.CD = OB, AD = CO.*：B (-1, 0) ,