初中数学经典几何难题及答案39256

1、经典难题（一）1、已知：如图， 。是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CCL AB, EF，AB, EGL CQ求证：CD= GF.（初二）第3题图第4题图第1题图第2题图2、已知：如图， P是正方形 ABC咕点，/ PAD= / PDA= 15°.求证： PBC是正三角形.（初二）3、如图，已知四边形 ABCD AiBiCiDi都是正方形，外、B、C2、D2分别是AA、BB、CG、DD的中点.求证：四边形 A2BGC2是正方形.（初二）第3题图第4题图4、已知：如图，在四边形 ABCD中，AD= BC, M N分别是AB CD的中点，AR BC的延长线交MN于 E、F,求证：/

2、DEN= / F.经典难题（二）1、已知： ABC中，H为垂心（各边高线的交点），。为外心，且 OM_ BC于M(1)求证：AH= 2OM(2)若/ BAG= 600,求证：AH= AQ (初二)2、设MN圆。外一直线，过。作OALMN于A,自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D E,直线EB及CD分别交 MNT P、Q.求证：A已AQ （初二）3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:设MN圆O的弦，过MN勺中点A任作两弦BC DEL,设CD EB分别交MN P、Q4、如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在 ABC的外侧作正方形 ACD讶口正方形 CBFG点P是EF的中

3、点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.（初二）经典难题（三）1、如图，四边形 ABC的正方形,DE/ AG AE= AG AE与 CD相交于 F.求证：CE= CF.（初二）第1题图2、如图,四边形 ABC的正方形,DE/ AG求证:AE= AF.（初二）3、设P是正方形ABCD-边BC上的任一点,第2题图且CE= CA 直线EC交DA延长线于 F.PF± AP, CF平分/ DCE求证：PA= PF.（初二）第3题图第4题图4、如图，PC切圆。于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于 R D.求证：AB= DQ BC= AD.（初三）经典难题（四

4、）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA= 3, PB= 4, PC= 5.求：/ APB的度数.（初二）第1题图第2题图2、设P是平行四边形 ABCg部的一点，且/ PBA= / PDA求证：/ PAB= Z PCB （初二）3、设ABC的圆内接凸四边形，求证： AB- CD+ AD- BC= AC BD.（初三）第4题图4、平行四边形 ABC邛，设E F分别是BC AB上的一点,AE与CF相交于P,且AE= CF.求证：/ DPA= / DPC （初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正 ABC内任一点L = PA + PB + PCWLv2.第1题图第2题图2、P是边长

5、为1的正方形 ABCDJ的一点，求 PM PB+ PC的最小值.3、P为正方形 ABCDrt的一点，并且 PA= a, PB= 2a, PC= 3a,求正方形的边长.第3题图4、如图， ABC中，/ ABC= /ACB= 80，D E分别是 AB AC上的点，/ DCA= 30、 / EBA= 20°,求/ BED的度数.经典难题（一）1、已知：如图， 。是半圆的圆心， C、E是圆上的两点， CDL AB, EFL AB, EGL CQ 求证：CD= GF。（初二）证一：连接QE EGL CQ , EF± AB, .Q G E、F四点共圆，且 QE为直径。GF=QE sin

6、 / GQF又4QC计,CD=QC sin Z CQD / GQF廿 CQD=180 ,QC= QE为。Q半径，.CD= GE证二：连接QE,过G作GHL AB于H。. EGL CQ , EFXAB,G E、F四点共圆，且 QE为直径。 / GEQW HFG 又/ EGQ= FHG=RtZ , .GESAHFG . GF:QE=GH:QG又 GH/ CDGH:CD=QG:QC即 GH:QG=CD:Q,C，GF:QE=CD:QC而 QE=QC CD= GF。BC2、已知：如图， P是正方形 ABCDrt点，/ PAD= / PDA= 15°.求证： PBC是正三角形.（初二）证明:3、

7、如图，已知四边形 ABCD A1B1C1D都是正方形,A2、B、Q、D2分别是 AA、BB、CC、DD的中点.求证：四边形 AaRGD是正方形.（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD= BC, M N分别是 AB CD的中点，AR BC的延长线交MN于 E、F.求证：/ DEN= / F.经典难题（二）1、已知： ABC中，H为垂心（各边高线的交点），。为外心，且 OML BC于M(1)求证：AH= 2OM(2)若/ BAC= 60°,求证：AH= AQ (初二)2、设MN圆。外一直线，过。作。叱MN于A,自A引圆的两条直线，交圆于 B、C及D E,直线EB及CD分别交 M

8、NT P、Q.求证：AP AQ （初二）3、如果上题把直线 MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题:EB分别交MN P、Q设MN圆O的弦，过 MN勺中点A任作两弦BG DEL,设CD求证：AP AQ （初二）4、如图，分别以 ABC的AC和BC为一边，在 ABC的外侧作正方形 ACD讶口正方形 CBFG是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于 AB的一半.（初二）经典难题（三）1、如图，四边形 ABC的正方形，DE/ AG AE= AG AE与CD相交于F.求证：CE= CF.（初二）BC2、如图，四边形 ABC的正方形，DE/ AG且CE= CA直线EC交DA延长线于F.求证：AE= A

9、F.（初二）3、设P是正方形 ABCD-边BC上的任一点，PF± AP, CF平分/ DCE求证：PA= PF.（初二）4、如图，PC切圆。于C, AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于 R D.求证：AB= DQ BC= AD.（初三）PC= 5.经典难题（四）1、已知： ABC是正三角形，P是三角形内一点， PA= 3, PB= 4,求：/ APB的度数.（初二）2、设P是平行四边形 ABCg部的一点，且/ PBA= / PDA求证：/ PAB= / PCB （初二）3、设ABC的圆内接凸四边形，求证： AB- CD+ AD- BC= AC- BD.（初三）

10、AE与CF相交于P,且4、平行四边形 ABC邛，设E、F分别是BC AB上的一点,AE= CF.求证：/ DPA= / DPC （初二）经典难题（五）1、设P是边长为1的正 ABC内任一点L = PA + PB + PCWLv2.2、已知：P是边长为1的正方形 ABCg的一点，求 PA+ PB+ PC的最小值.3、P为正方形 ABCg的一点，并且 PA= a, PB= 2a, PG= 3a,求正方形的边长.4、如图， ABC中，Z ABO /ACB= 80°, D E分别是 AB AC上的点，/DCA= 30°,/ EB/V 20°,求/ BED的度数.经典难题（

11、一）1 .如下图做 GHLAB,连接EQ由于GOF叫点共圆，所以/ GF用Z OEG,即GHMAOGE可彳E EO-=-GOGF GH CDCOC0 ,又CO=EO所以CD=GF导证。2 .如下图做 DGO与 ADP全等，可得 PD助等边,从而可得 DGCS APN CGP得出 PC=AD=D(J口/ DCGW PCG= 15°所以/ DCP=30,从而得出 PBC是正三角形3 .如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接GF与AE并延长相交于Q点, 连接EB2并延长交GQ于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由 A£=2AB=gBC= FB2 , EB=3 AB=4b

12、C=FC ,又 / GFQ廿 Q=9d和 / GEB2+/Q=900,所以/ GEB，=Z GFQ/ BFG=/ AEB ,可得 RFG0AEB ,所以 A2B2=B2C2 ,又/ GFQ廿 HBF=900 和/ GFQh EBA ,从而可得/ A2B2 C 2=900 ,同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形 A2RGD2是正方形。4 .如下图连接AC并取其中点Q,连接Q用口 QM所以可得/QMFWF, Z QNM2DE明口/QMNg QNM 从而得出 Z DEhk Z F。经典难题(二)1.(1)延长 AD到 F 连 BF,做 OG_AF,又/ F=/ACBW BHD可得BH=BF从而

13、可得HD=DF 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM 连接OB OC既得/BOC=120,从而可得/ BOM=60所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。3 .作。已 CD O(3- BE 连接 OP OA OR AF, OG AG OQiADAC CD2FD FD由于=，ABAEBE2BG BG由此可得 ADF AB(G从而可得/ AFC4 AGE又因为 PF0Atl QGOA9点共圆，可得/ AFC=Z AO济口 / AGEW AOQ/AOPhAOQ从而可得AP=AQ4 .过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG CI, FH可得PQ=EG + FH 2

14、由EG®AIC,可得 EG=AI,由4 BFHCBI,可得 FH=BI。AI + BI AB从而可得 PQ= ,从而得证。22经典难题（三）1 .顺时针旋转ADE到 ABG连接CG.由于 Z ABGN ADE=9O4-45°=135°从而可得 B, G, D在一条直线上，可得 AGACGB推出AE=AG=AC=GCSHI4 AG8等边三角形。Z AGB=3&,既得/ EAC=3(5,从而可得/ A EC=75°O又/ EFCW DFA=4S+30°=75°.可证：CE=CF2 .连接BD作CK DE可得四边形 CGDK正方形。

15、由 AC=CE=2GC=2QH可得/ CEH=39 所以/ CAEWCEAW AED=1 七又/ FAE=96+45°+15°=150°,从而可知道/ F=15°,从而得出AE=AB3 .作FGL CD FE BE可以得出GFEa正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X。X Z2tan / BAP=tan/EPF=,可得 YZ=XY-X+X乙Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 AB国 PEF ,得到PA= PF ,得证经典难题（四）1 .顺时针旋转ABP 60 0 ,连接PQ,则 PBQ正

16、三角形。可得 PQC直角三角形。所以/ APB=150 。2 .作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE/ DC BE PC.可以得出/ABP=Z ADP=z AEP,可得：AEB时圆（一边所对两角相等）。可得/ BAP=/ BEP=Z BCP，得证。3 .在 BD取一点 E,使/BCENACQ 既得 BEGA ADQ 可得:,即 AD? BC=BE AQBC AC又/ ACBW DCE 可得 ABGA DEQ 既得,即 AEP CD=DE AC,AC DC由 + 可得：AB ? CD+AD BC=AC(BE+DE)= AC BD ,得证。4 .过 D作 AQhAE, ACCF ,由 Sv

17、ade =星空» = Svdfc，可得:,由 AE=FCAE gPQ = AE gPQ22可得DQ=DG可得/ DPA= / DPC （角平分线逆定理）经典难题(五)1 . (1)顺时针旋转BPC 600 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF使最小只要AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小L=(2)过P点作BC的平行线交AB,AC与点D, F。由于/ APD汇ATP之ADP推出 AD>AP又 BP+DP>BP又 DF=AF和 PF+FC>PC由可得：最大 L< 2 ;由（1）和（2）既得:2 .顺时针旋转4BPC 6

18、00 ,可得 PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+霞使最小只要 AP, PE, EF在一条直线上,即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF既得AF=+ 1)22+,，3= 4+尸6+ 2 O3 .顺时针旋转ABP 90 0 ,可得如下图:既得正方形边长 L = (2+ -)2 + ()2ga = 15+ 2V2ga 。 22/4 .在AB上找一点F,使/ BCF=60 ,连接EF, DG既彳# BGE等边三角形，可得/ DCF=10 , / FCE=20 ,推出 AB段 ACF ,得到 BE=CF , FG=GE。推出：4FGE为等边三角形，可得/ AFE=8(0 ,既得：

19、/ DFG=40又 BD=BC=BG 既得/ BGD=80 ,既得/ DGF=40推得：DF=DG 得到： DF段 DGE ,从而推得：/ FED之BED=30 。经典难题（一）1 .如下图做 GHHLAB,连接EQ由于GOFE9点共圆，所以/ GFHH= / OEG,即 GHM AOGE可彳导 型=空=空，又CO=EO所以CD=GF导证。GF GH CD2 .如下图做 DGO与 ADP全等，可得 PD助等边,从而可得 DG挈 APN CGP得出 PC=AD=DC,口/ DCGW PCG= 150所以/ DCP=30,从而得出 PBC是正三角形3 .如下图连接BC和AB分别找其中点F,E.连接

20、QF与AE并延长相交于Q点,连接EB并延长交QQ于H点，连接FB2并延长交AQ于G点，由 A2E=2ab=3bc= FB2, eb=¥ab=2bc=fc ,又/gfq廿q=9(5和/ GEB2+/Q=9d,所以/ GEB=/ GFQ5/ E2FC2=Z AaEB ,可得 B2FC2A AaEB ,所以 A2B2=RG ,又/ GFQ廿 HBF=90° 和/ GFQh EBA ,从而可得/ A2B2 C2=900 ,同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2GQ是正方形。4 .如下图连接AC并取其中点Q,连接Q用口 QM所以可得/QMFWF, Z QNM2DE明口/Q

21、MNg QNM 从而得出 Z DEhk Z F。经典难题(二)1.(1)延长 AD到 F 连 BF,做 OG_AF,又/ F=/ACBW BHD可得BH=BF从而可得HD=DF 又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM 连接OB OC既得/BOC=120,从而可得/ BOM=60所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。3 .作。已 CD O(3- BE 连接 OP OA OR AF, OG AG OQiADAC CD2FD FD由于=，ABAEBE2BG BG由此可得 ADF AB(G从而可得/ AFC4 AGE又因为 PF0Atl QGOA9点共圆，可得/ A

22、FC=Z AO济口 / AGEW AOQ/AOPhAOQ从而可得AP=AQ4 .过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG CI, FH可得PQ=EG + FH 2由EG®AIC,可得 EG=AI,由4 BFHCBI,可得 FH=BI。AI + BI AB从而可得 PQ= ,从而得证。22经典难题（三）1 .顺时针旋转ADE到 ABG连接CG.由于 Z ABGN ADE=9O4-45°=135°从而可得 B, G, D在一条直线上，可得 AGACGB推出AE=AG=AC=GCSHI4 AG8等边三角形。Z AGB=3&,既得/ EAC=3(5,从而可得/ A

23、 EC=75°O又/ EFCW DFA=4S+30°=75°.可证：CE=CF2 .连接BD作CK DE可得四边形 CGDK正方形。由 AC=CE=2GC=2QH可得/ CEH=39 所以/ CAEWCEAW AED=1 七又/ FAE=96+45°+15°=150°,从而可知道/ F=15°,从而得出AE=AB3 .作FGL CD FE BE可以得出GFEa正方形。令 AB=Y , BP=X ,CE=Z ,可得 PC=Y-X。X Z2tan / BAP=tan/EPF=,可得 YZ=XY-X+X乙Y Y- X + Z即 Z(Y-X)=X(Y-X),既得 X=Z ,得出 AB国 PEF ,得到PA= PF ,得证经典难题（四）2 .顺时针旋转ABP 60 0 ,连接PQ,则 PBQ正三角形。可得 PQC直角三角形。所以/ APB=150 。3 .作过P点平行于AD的直线，并选一点E,使AE/ DC BE PC.可以得出/ABP=Z ADP=z AEP,可得：AEB时圆（一边所对两角相等）。可得/ BAP=/ BEP=Z BCP，得证。4 .在 BD取一点 E,使/BCENACQ 既得 BEGA ADQ 可得:,即 AD? BC=BE AQBC AC