八年级春季班-11-特殊的平行四边形-教师版

1、八年级春季班初二数学春季班（教师版）教师日期学生课程编号11课型复习课课题特殊的平行四边形教学目标1 .理解矩形、菱形及正方形的概念和判定定理；2 .灵活运用矩形、菱形和正方形的性质进行证明和计算.教学重点利用特殊的平行四边形的性质进行证明和计算边角关系，根据对角线的/、同区分特殊的平 行四边形的分类.教学安排版块时长1矩形30min2菱形30min3止方形30min4随堂检测20min5课后作业10min11 / 34特殊的平行四边内容分析平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和 角上的特殊性得到正方形.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形.从对称性考虑，平行四边

2、形只是中心对称图形，三种特殊平行四边形都既是 中心对称图形又是轴对称图形.计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的 乘积的一半来运算.尤其要掌握当矩形的对角线夹角是60。时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角形，即较短的边长是对角线长的一半.当菱形两 边的较小夹角是60°时，它是由两个等边三角形合成的，可由等边三角形的特 殊性来研究.知识精讲知识点1:矩形1 .定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法.2 .性质：矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质.IZ(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的两条对

3、角线相等.注息：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完 全全等的两部分.(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴 (分别是通过对边中点的直线 ).对称轴的交点就是又扪I线的交点(即对称中心).3 .判定：矩形的判定定理1:有三个角是直角的四边形是矩形.矩形的判定定理2:对角线相等的平行四边形是矩形.(S)例题解析【例1】 下列命题中真命题是()A.对角线互相垂直的四边形是矩形B.对角线相等的四边形是矩形；C.四条边都相等的四边形是矩形；D.四个内角都相等的四边形是矩形；【难度】【答案】D【解析】证明矩形的方法有 3种：对角线相等的平行四边形是矩形；有一

4、个内角为90。的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.A、B、C都不能证明矩形.【总结】考察矩形的证明方法.【例2】 已知四边形 ABCD是平行四边形，对角线 AC与BD相交于点。，那么下列结论中正确的是()A.当AB=BC时，四边形 ABCD是矩形B.当AC BD时，四边形 ABCD是矩形C.当OA=OB时，四边形 ABCD是矩形D.当 ABD CBD时，四边形 ABCD是矩形【解析】C答案中，当OA=OB时，可知四边形 ABCD的对角线相等，则可得平行四边形 ABCD 是矩形.【总结】考察矩形的证明方法.【例3】(1)矩形的两条对角线的夹角为60o ,则对角线与较短边之比是 ;(

5、2)已知在矩形 ABCD中，AB=2BC,在CD上取一点E,使AE=AB ,则/ EBC=【难度】【答案】(1) 2:1; (2) 15° .【解析】(1)矩形的两条对角线的夹角为60°,可知矩形的两条对角线的一半与较短边可构成等边三角形，所以对角线与较短边之比是2:1;(2) AB AE , AD BC, AB=2BC,l AE 2AD， -'/ AED=30° . AB / CD ,/ BAE= / AED=30°,. AB=AE,EBA=75° , / EBC=15°【总结】考查矩形的性质运用.特别注意几何图形中边角元素

6、之间的转化.【例4】矩形的一角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为平方厘米.【难度】【答案】4或12.【解析】由题意可知，矩形的一边为 4厘米，另一边长为1厘米或3厘米，所以矩形的面积 为4或12平方厘米.【总结】考查矩形性质的应用.【例5】 如图所示，矩形 ABCD的对角线AC、BD交于点O, BE AC于点E, CF BD于点F,求证：BE=CF.【难度】【答案】见解析.【解析】.矩形ABCD, OB OC. OB OC, BEO CFO , BOE COF ABOEACOF , BE=CF【总结】考察矩形的性质的运用.【例6】 如图，在矩形 ABCD中，AB=3,

7、AD=4, P是AD上不与A、D重合的一动点,PEXAC, PFXBD, E、F 为垂足，贝U PE+PF 的值为【解析】过点D作DH XAC于点H ,连接PO.矩形 ABCD 中，AB=3, AD=4,，AC=5 , AO=DO,. DHXAC , DH 125, SAAPOSA DPOSA ADO. 1 一 一 AO21PE 一2DOPF1一AO DH 2PE PF DH12【总结】考察矩形的性质运用，注意利用面积求出线段长.【例7】 已知：若从矢I形ABCD的顶点C作BD的垂线交 求证： CAF是等腰三角形.【难度】【答案】见解析.【解析】过A作AGLBD,垂足为G . AGXBD,BA

8、G + ZGAD=90° . Z ADG+ZGAD=90° , . . / BAG=/ADG . /DAC = /ADG , ./ DAC= Z BAG . AF 平分/ BAD, / BAG + / FAG = Z DAC + / CAF . /DAC = /BAG, ./ FAG = Z CAF .AGXBD, CEXBD, ，AG/EC, ，/F=/FAG . /FAG=/CAF,，/F=/CAF.CA=CF,CAF是等腰三角形【总结】考查矩形的性质及等腰三角形判定的综合运用.BD于E,交/ BAD的平分线于F.例8 已知：矩形 ABCD中，延长BC至E,使BE=BD

9、, F为DE中点，连接 AF、CF .求证：AF ± CF .【难度】【答案】见解析【解析】联结BF. BE=BD, F 为 DE 中点，BF DE BFA AFD 90DCE 90°, F 为 DE 中点，CF DF FDC FCD , ADF BCF. AD BC , ADF BCF , CF DF ADFBCF, AFD BFCBFA AFD 90 ,BFA BFC 90 ,即 AFC 90 , AFXCF【总结】考察全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一性质的综合运用.【例9】 如图所示，在矩形 ABCD中，BC=8, AB=6,把矩形折叠使点 C与点A重合,求

10、折叠EF的长.【难度】【答案】152【解析】联结AC交EF于O,连接CE.矩形折叠使点 C与点A重合，AE CE .设 AE CE x,则 DE 8 x在直角 EDC中，x2 8 x 2 62 ,解得：x 4由勾股定理可得：AC 10.1.矩形 ABCD, AO 1 AC 52在直角 AOE 中，AE2 OE2 AO2,解得：OE 154EF2OE152【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用.【例10如图，在矩形ABCD中，AB= 8, BC= 4,将矩形沿AC折叠，使点D落在点D处, CD交AB于点F,则重叠部分祥FC的面积为 .【难度】【答案】10【解析】.将矩形沿 AC折

11、叠，使点D落在点D处， DCA ACD'. DC II AB , DCA CAF ACD' CAF , AF CF.设 AF CF x,则 FB 8 x在直角 CFB中，x28 x 2 42,解得：x 511Saafc - AF BC -54 10 22【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用.【例11】将矩形ABCD的四个角向内折起,若EH=3, EF=4,求处的值.AB恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH ,【答案】竺 24【解析】由翻折的性质可得:AEHAEHMEH MEF BEFHEF90 .同理可证得:HGF 90 ,二四边形EFGH是矩形，EH

12、BEF .EHGMEH , MEFAEHBEF 90 ,AEHAHE 90AHEBEFBFE 90 ,BFECFG 90 ,BEFCFG , AHEC, EHFGAHE AAHEACFGAH CF又. HD HN ,ADHF在直角 HEF中,EH3, EF HE EF HF EM ,EM4,12由勾股定理可得：HF 5 .又AE EM EB,AB2EM2424一 ,AD : AB 5:一 25:24.55【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的运用，综合性较强，注意分析.模块二：菱形©I 知识精讲1 .定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .性质：菱形除具有平行四边形的

13、一切性质外，还有一些特殊性质：(1)菱形的四条边都相等；(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.注息：(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；(2)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心;(3)菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底x高；另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和 ).实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.3 .判定：菱形的判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形菱形的判定定理2:对角线互相垂直的平行四边

14、形是菱形例题解析【例12】平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,下列条件中，不能判定它为菱 形的是()A. AB=AD B. ACXBDC. / A=/DD . CA 平分/ BCD【难度】【答案】C【解析】C答案中，. A D 180 ,且/A=/D，.二A 90，此四边形为矩形.【总结】考察矩形和菱形的判定方法.【例13】下列命题中，真命题是（）A. 一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形【难度】【答案】D而在此基础上加上对角线【解析】D答案中对角线互相平分则

15、可判定四边形为平行四边形, 互相垂直，四边形变为菱形.【总结】考察矩形、菱形的判定.【例14（1）菱形的两条对角线长的比是 3： 4,边长为10厘米，菱形的面积是 （2）菱形的两条对角线长的比是2:3,面积是12cm2,则它的两条对角线的长分别是cm、cm, 该菱形的周长是 cm.【难度】【答案】（1） 96平方厘米；（2） 4、6、413 .【解析】（1）二.菱形的两条对角线长的比是3:4,菱形的两条对角线长的一半之比是3: 4 .设两条对角线长的一半分别为3x、4x,则由勾股定理可得：菱形的边长为5x所以5x 10 ,解得：x 212 一麦形的面积为6x 8x 24x96平方厘米；2（2）

16、二,菱形的两条对角线长的比是 2:3, 菱形的两条对角线长的一半之比是 2:3设两条对角线长的一半分别为2x,3x,则由勾股定理可得：菱形的边长为*R3x1O.菱形的面积是12cm2,所以-4x 6x 12x2 12 ,解得：x 1，菱形的边长为 V13厘米，两条对角线的长为4厘米或6厘米.【总结】考察菱形的对角线的性质和面积的求法，注意对性质的运用.【例15（1）菱形有一个内角为60°, 一条较短的对角线长为,（2）如图，在菱形 ABCD 中， ABC 60°, AC 4 ,则 BD【难度】【答案】（1） 6; （2） 4部.【解析】（1）二.菱形有一个内角为 60

17、76;,，菱形的两条边和较短的对角线构成了一个等边三角形，菱形的边长为6;（2）设对角线相交于点 O,则AC BD , OA 2,ABC 60 , ABO 30由勾股定理可得： BO 2而，则BD 4<3【总结】考察菱形的性质的综合运用.6,则菱形的边长为【例16如图，在菱形 ABCD中，AC=4, BD=6, P是AC上一动点（P与C不重合），PE/BC交AB于点E, PF/CD交AD于点F,连结EF,求图中阴影部分的面积.【难度】【答案】6【解析】: 菱形 ABCD，.二 BC II AD, AB II CD. PE/BC, PF/CD, PE II AF, PF II AE，四边形

18、AEFP是平四边形，Sa pef Sa ape . CCQc1c . S阴影SA FEPS3边形EPCB Sa ABC一 酶边形ABCD21-12 6.2【总结】考察菱形的性质和面积的求法，注意对方法的总结.【例17如图，在YABCD中，O是对角线AC的中点,过点O作AC的垂线与边 AD、BC分别交于点E、F .求证：（1） VAOE©VCOF ; （2）四边形 AFCE是菱形.【难度】【答案】见解析.八年级春季班8,将纸片折叠，使得点B与点D重合,【解析】(1) AD II BC,， EAC FCAOA OC , AOE COF , . . VAOE©VCOF ;(2)

19、VAOE©VCOF , OE OF , OA OC , 四边形 AFCE是平行四边形AC EF ,，四边形 AFCE是菱形.【总结】考察平行四边形的性质和菱形的判定的综合运用.【例18】如图O是菱形ABCD对角线的交点，作DE/AC , CE/BD, DE、CE交于点E,四边形OCED是矩形吗？证明你的结论.【难度】【答案】是矩形，证明见解析.【解析】: DE/AC, CE/BD, 四边形OCED是平行四边形 四边形 ABCD是菱形，DOC 90 平行四边形OCED是矩形.【总结】考察菱形的性质和矩形的判定定理的综合运用.【例19如图，矩形纸片ABCD中，AB=4 , AD折痕为EF

20、 .（1）求证：四边形 BEDF是菱形；（2）求菱形BEDF的边长.【难度】【答案】（1）见解析；（2） 5.【解析】（1）设EF与AB的交点为O. 将纸片折叠，使得点 B与点D重合，折痕为EFEF BD , BO DO . AB II CD , . . EDO FBO . .ODEKOBF, . OF OE. BO DO , 四边形BEDF是平行四边形. ' EF BD ,，四边形 BEDF是菱形； 2)设 BF DF x ,贝U FC 8 x ,在直角 CFD中，由勾股定理，得：x2 8 x 2 42,解得：x 5,菱形BEDF的边长为5.【总结】考察矩形的性质和菱形的判定定理的综

21、合运用.#/34八年级春季班【例20如图，VABC中， ACB 90°, CD AB , AE平分 交AB于G.求证：四边形CEGF是菱形.【难度】【答案】见解析.【解析】AE 平分 BAC , EG AB , ACB 900CE EG, AEG AEC. CE EG, AEG AEC, EF EF. .CEFAGEF,FG FC, CFE GFE. CD AB, EG ABCD II EG ,CFE GEFCFE GFE ,CFE CEF , CF CEFG FC, CE EGCF CE EG FG ,，四边形CEGF是菱形【总结】考察菱形的判定定理的综合运用.【例21如图，菱形A

22、BCD的边长为4 cm,且/ABC=60°,E 贝U PE+PC的最/、值为.BAC 交 CD 于 F , EG ABACEB是BC的中点，P点在BD上，An【难度】【答案】2n.【解析】联结 AE与BD的交点即为所求作的点 P .1 . Z ABC = 60°,ABC为等边三角形2 .E是BC的中点，AE BC3 AB 4, BE 2AE 'AB2 BE2273【总结】考察菱形的性质和轴对称最短路程问题，注意对方法的因BEC三纳总结.43 / 34AD, CD上的两个动点且【例22如图，菱形ABCD的边长为2, BD=2, E, F分别是边满足 AE+CF=2.（

23、1）判断4BEF的形状，并说明理由；（2）设ABEF的面积为S,求S的取值范围.【难度】【答案】（1）等边三角形，证明见解析；（2） 343 S J耳.4【解析】（1）二菱形ABCD的边长为2, BD =2, 4ABD和ABCD都为等边三角形. BDE BCF 60 , BD BC.AE DE AD 2,又 AE CF 2 , DE CF . , DE CF , BDE BCF , BD BC, ABDE ABCF , DBE CBF , BE BF DBC DBF CBF 60 , DBF DBE 60 ,即 EBF 60 , ABEF是正三角形；(2)设 BE BF EF x ,贝U S

24、- x x x2224当BE AD时，x取最小彳1为J3时，s 展;4当BE与AB重合时，x取最大值为2, S n；，一%； 3 S V3 .4【总结】考察菱形的性质的具体应用，注意动点的运动轨迹.【例23】已知 ABC是等边三角形，点 D是射线BC上的一个动点（点 D不与点B、C重 合），MDE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、 AC于点F、G,连接BE.（1）如图1所示，当点D在线段BC上时，试说明： AEBA ADC探究四边形 BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由.（2）如图2所示，当点D在BC的延长线上时，探究四边形 BCGE是怎样特殊的四边 形，并说明

25、理由.（3）在（2）的情况下，当点 D运动到什么位置时，四边形 BCGE是菱形？并说明理【难度】【答案】见解析【解析】（1）: 4ABC和4DEA都是等边三角形. AB AC, AE AD , BAC EAD 60 BAC BAD EAD BAD,即 DAC BAEAB AC, DAC BAE , AE AD,AABEA ADC ;四边形BCGE是平行四边形. ABC和 DEA都是等边三角形，ACB BAC 60. AABEAADC, ABE ACD 60ABE BAC, BE II AC EG II BC,，四边形BCGE是平行四边形.（2）四边形BCGE是平行四边形.方法同（1）（3）当点

26、D运动到DC BC时，四边形BCGE是菱形.与（1） 一样可证： ABEADC ,则 BE CD与（1） 一样可证：四边形 BCGE是平行四边形当BC BE时，四边形 BCGE是菱形，此时 BC CD即当点D运动到DC BC时，四边形BCGE是菱形.【总结】本题综合性较强，主要考察特殊的平行四边形的判定的综合运用.模块三：正方形知识精讲1 .定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.2 .正方形与矩形、菱形的关系矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角-正方形3 .性质定理正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质.性质定理1:正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等

27、.性质定理2:正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.4 .判定定理：判定定理1:有一组邻边相等的矩形是正方形.判定定理2:有一个内角是直角的菱形是正方形.例题解析【例24】下列四个命题中真命题是（）A.对角线互相垂直平分的四边形是正方形B.对角线垂直且相等的四边形是菱形C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形D.四边都相等的四边形是正方形【难度】【答案】C【解析】C答案正确，对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上对角线相等，则四边 形变为矩形；其余的答案中均没有对角线互相平分，则都不是平行四边形，更不是特殊的平行四边形.【总结】考察特殊的平行四边形的判定方法.【

28、例25】如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明（）A. AB=AD 且 ACBDB. AB=AD 且 AC=BDC. / A= / B且AC=BDD, AC和BD互相垂直平分【难度】【答案】B【解析】B答案中，AB=AD可知平行四边形 ABCD是菱形，而AC = BD可知平行四边形ABCD是矩形，则平行四边形 ABCD为正方形.【总结】考察正方形的判定方法的运用.【例26在下列图形中，等边三角形，正方形，正五边形，正六边形，其中既是轴对称图形又是中心对称的图形有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【难度】【答案】B【解析】符合

29、题意.【总结】考察图形的对称性的运用.【例27（1）如图（1）,已知P正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC,则 ACP度（2）如图（2）,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O, E是OB延长线上一点,CE=BD, / ECB的度数是 .【难度】【答案】(1) 22.5 ; (2) 15° .【解析】(1)二正方形ABCD, CBD. BP=BC, BCP 67.5 .BCA 45 , ACP 67.5 45(2)联结AE. AO OC, AC BD , AE EC .CE BD , AE EC BD数是AC BD , AE EC AC , ACE 60ACB 45 ,B

30、CE604515 .【总结】考察正方形的性质的运用.BFXAE,垂足为G,交CD于点F.求证：AE=BF .见解析. BFXAE,EABGBA90GBA FBCEABFBCEAB FBCEBABCF,AB BC AABEABCF ,. . AE BF .【例28如图，正方形 ABCD的对角线 AC上截取CE=CD,作EFLAC交AD于点F.求证：AE=EF=FD.【难度】【答案】见解析.【解析】.正方形 ABCD , EF± AC,： D EFC 900.CD CE, CF CF , ACDFACEFDF EFDAE 45 , EF AE , FAE AFE 45AE EF ， AE

31、 FE FD .【总结】考察正方形的性质及直角三角形全等的判定的综合运用.【例29如图，已知E是正方形ABCD的边BC上的任意一点,【总结】考察正方形的性质的运用.【例30】已知：正方形 ABCD中,F为CD延长线上的一点,CEXAF 于 E,交 AD 于 M.求证：/ MFD =45°【难度】【答案】见解析.【解析】CEXAF,. EFCDAF. ECFDAF ,ACDM AADFMDF 90 , ECF EFC 9090 , ECF DAFCDM ADF, CD AD,MD DFMFD 45【总结】考察正方形的性质及等腰直角三角形性质的综合运用.【例31】已知：Q为正方形 ABC

32、D的CD边的中点，P为CD上一点，且/ BAP=2/QAD. 求证：AP=PC+BC.【难度】【答案】见解析.【解析】延长DC到E ,使得CE CD ,连接AE交BC于F. CE CD, CD=AB,.1. CE=AB. /ECF = /B, /CFE=/AFBABFA ECF1 .BF=CF,即 BF -CB2Q为正方形 ABCD的CD边的中点，1 一 一 DQ CD. BC=CD, .l. DQ = BF 2. . DQ = BF, /B=/D, AB=AD ,. ABFA ADQ , . / QAD = / BAF ,. /BAP =ZBAF+Z PAF, /BAP = 2/QAD ,

33、/QAD=/BAF, Z BAF = Z RAF. AB/CD, ，/BAF=/E,，/E=/PAF,.PE=AP. PE=PC+CE, CE=BC, AP BC CP【例32】已知：在正方形 ABCD中，M为AB的中点,MBN 135MNXMD, BN 平分/ CBE 并交 MN【总结】考察正方形的性质的运用，注意辅助线的添加.于N,求证：MD = MN .【难度】【答案】见解析【解析】取AD的中点G ,联结MG1. M为AB的中点，MB 1AB 2G为AD的中点，DG 1AD 2AD AB, DG MB. BN 平分/ CBE, NBE 45, AG AM , AGM 45 , D DGM

34、 135 , D DGM MBN. MNXMD, DMA NMB 90 ,又 DMA ADM 90,， NMB ADM DGM MBN , NMB ADM , DG MB ADMG AMNB , MD MN【总结】考察正方形的性质的综合运用，注意辅助线的添加.【例33】已知：AE为正方形 ABCD中/ BAC的平分线，AE分别交BD、BC于F、E1AC、BD相交于 O.求证：OF =，CE.2【答案】见解析【解析】在OD上截取一点G,使得OG OF ,联结AG、CGOG OF , AOGAO AOCB E AAOFAAOG ,OAFOAGOG AC , AO OCCGOAG GCO ,OAFO

35、AF GCO, GC II AEAE为正方形ABCD中/ BAC的平分线,BAE OAFBAEBEA 90OAFOFA90AFO BEABFEBFEBEA, BF GC II AEBFEBGC,BEF BCGBFEBEA,BGCBCG , BC BGBFBE,FG EC_1_1 OF-FG, OF -EC22【总结】本题综合性较强，主要考察正方形性质的应用，注意角度之间的转化.【例34如图所示，正方形 ABCD中，/ EAF=45° , APEF于点P.求证：AP=AB.【难度】【答案】见解析【解析】延长CB至G ,使得BG DF. AB AD, DF BG , D ABG AABG

36、AADFAG AF , DAF BAG EAGEABBAGEABDAF90 EAFEAG.EAFEAG ,AE AE, AGAF , . AAFEAAGE, AEP AEB.AEPAEB,APEABE,AEAE AAPEAABE, - AP AB .【总结】考察正方形的性质的应用，注意辅助线的添加.EAF【例35】正方形ABCD被两条分别与边 AB、BC平行的线段EF、GH分割成4个小矩形，P是EF与GH的交点，若矩形 PFCH的大小.【答案】45。，理由见解析.【解析】延长CB到M ,使得BM DH ,则 RtA ABM 幺 RtA ADHAM AH ， MAB HADMAH MAB BAH

37、 BAHHAD 90的面积恰好是矩形 AGPE面积的2倍，求/ HAF联结AM设正方形的边长为a , AG m,GPn ,则 FC a n , CH a m矩形PFCH的面积恰好是矩形AGPE面积的2倍,而在直角三角形则可得：FH 2mn2mnFCH_ 2MF 2中,FH 2 FHMFAF AF, AH AM ,，AAMF AAHF MAF HAF , HAF MAF 45 .【总结】考察正方形的性质及勾股定理的综合应用，注意对正方形背景下的辅助线的添加方法进行归纳总结.【例36如图，在正方形 ABCD中，点E在边AB上(点E与点A、B不重合)，过点E作FG DE , FG 与边BC相交于点F

38、 ,与边DA的延长线相交于点 G .(1)由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE 的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论.(2)联结DF ,如果正方形的边长为 2,设AE x, VDFG的面积为y ,求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域.(3)如果正方形的边长为 2, FG的长为5 ,求点C到直线DE的距离.2G【难度】X2 48【答案】(1) BF AG AE; (2) y -4 (0 x 2)； (3) - -25【解析】(1)证明：过点F作FH DA,垂足为HDAE B FHD 90 ,，四边形ABFH是矩形FH AB DADE FG

39、 , G 90 ADE DEAG DEA, FHG DAE, AD HF AFHG ADAEGH AE ,即 HA AG AEBF HA, BF AG AE(2) AFHGADAE ,FG DE . ADcDE CP 2 AE2,4 x2c1 x2 4 i” Sadgf 1 FG DE , y -一4 ,定义域为 0x222(3)联结CE，作CP DE于P-1 SacdeCDAD 2SACDEDEFGCP2, CP2点C到直线DE的距离为8 .5【总结】本题综合性较强，主要考察正方形的性质和勾股定理的综合应用，解题时注意利用 等积法求线段的长.随堂检测I【习题1】四边形ABCD的对角线AC与B

40、D交于点O .若ab=AD ,则平行四边形ABCD是 形；若AC=BD ,则平行四边形 ABCD是 形；若 ABC 90o ,则平行四边形ABCD是 形；若 BAO DAO ,则平行四边形 ABCD是 形.【难度】【答案】菱形；矩形；矩形；菱形.【解析】矩形、菱形的判定定理：1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线相等的平行四边形是矩形;3、有一个内角为直角的平行四边形是矩形；【总结】考察矩形、菱形的判定方法.【习题2】已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC时，它是菱形B.当ACLBD时，它是菱形C.当/ ABC=90°时，它是矩形D.当AC

41、=BD是，它是正方形【难度】【答案】D【解析】D答案只能判定出四边形ABCD是矩形.【总结】考察矩形、菱形的判定方法.【习题3.在菱形ABCD中，对角线 AC, BD相交于点O, E为AB的中点，且OE a,则 菱形ABCD的周长为（）A. 16aB. 12aC. 8aD. 4a【难度】【答案】C【解析】因为菱形的对角线互相垂直平分，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 可得AB 2a,则菱形的周长为 8a.【总结】考察菱形的性质的运用.【习题4】把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若 1 50o ,则 AEF =()A. 110°B, 115°C. 120

42、76;【难度】【答案】B【解析】.矩形 ABCD沿EF对折后使两部分重合，1 50°,BFE 180502 65 ,AD II BC , AEF BFE 180,， AEF 115 .【总结】考察翻折的特征和矩形的性质的综合运用.延长BC至F ,使CF CE ,【习题5】如图，正方形ABCD中，E为边CD上的一个动点,联结DF , BE与DF相交于G点，下列结论正确的个数是 BG DF ;CEB90° ； FDC ABG90° BEA.B.C.正确.DFD.3CF CE,BCEBCCD, ACBEACDFBE DF ,EBCCDFCDF FEBC F90则可知正确

43、.【总结】考察正方形的性质的应用.CDF 100ADFDAF4060 .40 ,【总结】考察菱形的性质的应用.【习题71如图所示，正方形ABCD 中，EFLGH 于点 P.求证：EF=GH.【难度】【答案】见解析.【解析】作EM CD于M , HN BC于N ,交点为O . EFXGH ,FEM GHNFEM GHN , HNG EMF , EM HG AEFM AHGN ,EF GH【总结】考察正方形的性质的应用，注意对此模型的总结.【习题8】如图，在线段 AE上取一点B ,使AB BE,以AB、BE为边在AE同侧作正方形ABCD和BEFG，在AB上取AH BE ,在BC的延长线上取一点 K

44、 ,使CK BG .求证：四边形HFKD为正方形.【难度】【答案】见解析【解析】 HE HB BE HB AH AB AD DC BCBG GC CK GC GK又 AH EF GF CK ,AADH AEHF AGKF ACDK DH HF KF DK , .四边形 HFKD 是菱形,ADH EHF , AHD EHF AHD ADH 90 , DHF 90 , 菱形HFKD是正方形.【总结】考察正方形的性质及判定方法的综合运用.【习题9如图所示，菱形PQRS内接于矩形 ABCD,使得点P、Q、R、S分别为边AB、BC、CD、DA上的点.已知PB=15, BQ=20, PR=30, QS=4

45、0.求矩形 ABCD 的周长.【难度】【答案】672 .5【解析】.AB II CD , APR CRP SP / RQ , SPR QRP APRSPR CRP QRP,即 APSQRC APS QRC , A C , SP RQ AASPA CQR. AS CQ, AP CR也可证得： BPQ0DRS, SD BQ, DR PB设 AS x, AP y PR与SQ互相垂直平分，这样得到8个直角三角形，且其中 6个三角形的边长分别为15、20、25,而CQ AS x, CR AP y ,则直角 ASP和直角 CQR的三边分 别为x、y、25,矩形面积等于 8个直角三角形面积之和.111175

46、所以 20 x 15 y 6 20 15 2 xy , 22则有 3x 4y 120 而 x2 y2 625,解得：x 20, y 15 或 x 丝，y 5当x 20时，BC x BQ 40与PR 30不合，所以舍去;矩形的周长为2 15 20 x y 6725【总结】考察特殊的平行四边形的性质及面积法的综合应用.【习题10已知：如图边长为 a的正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O别为DC、BC上的点，且 DE=CF .求证：（1） EO FO .（2） M、N分别在OE、OF延长线上，OMON重合部分的面积等于1 2-a4【答案】见解析【解析】（1） DE=CF ,DO OC, ODEO

47、CFADOE ACOFDOE COFDOE EOC 90COF EOC90 ，四边形MONG与正方形ABCD即 EO FO ;(2) . ADOE ACOF- SA DOESA COF四边形 MONG与正方形ABCD重合部分的面积等于1SaoecSa ocfSaoecSa odeSa odc - S四边形 abcd4【总结】考察正方形的性质运用，注意第（2）问中将面积进行转化.【习题11】如图1所示，在矩形 ABCD中，把/ B、/ D分别翻折，使点 B、点D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为 CM、AN.(1)求证： ANDA CBMMFNE是菱形吗？请(2)请连接MF、NE,证明

48、四边形 MFNE是平行四边形.四边形说明理由.(3)点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN ,如图2所示,若 PQ=CQ,【难度】【答案】见解析.PQ / MN,且DAN NAC, BCM【解析】(1)由折叠的性质可得:ACM. AD II BC , DAC BCA,DAN BCMAD BC , D B 90 , DANBCM , AADNACBM(2) AADN ACBM ,，NF MENFE MEF 90 , NF II ME四边形MFNE是平行四边形 MN与EF不垂直，四边形 MFNE不是菱形；(3)设AC与MN的交点为O ,设EF x ,作QG PC于GAB 4,

49、BC 3, AC 5 , AF CE BC 3 2AF EF AC ,即 6 x 5 ,解得：x 1 , . EF 1 , CF 2设 DN NF y ,贝U NC 4 y在直角三角形 NFC中，y2 22 4 y 2 ,解得：y刍，即NF -22, OE OF -EF 1 ,在直角三角形 NFO 中，ON2 OF2 NF2, 22.<10ON ,MN 2ON ,102 ，2 .四边形MQPN是平行四边形，MN PQ V103 PQ CQ，.二 APQC 是等腰三角形，PG CG在直角三角形 QPG中，PG2 PQ2 QG2,则PG 1PC 2PG 2 .【总结】本题综合性较强，考察平行四边形的判定与性质及翻折的运用，解题时注意分析.课后作业【作业1】已知在四边形 ABCD中，AC与BD相交于点O ,那么下列条件中能判定这个四