数学应用题的建模策略-最新教育文档

1、数学应用题的建模策略数学应用题解题步骤分为三步: 建模、解模和评价 . 而学生解应用题的主要障碍在于建模, 也就是说 , 如何将一个用文字语言叙述的应用题根据其实际意义概括抽象为一个纯粹的数学问题,并根据题中所蕴含的数学信息, 准确地转变为一个数学模型成为解应用题的“瓶颈” .一、理解关键信息的类型一道应用题往往包含着许多信息 , 有的直露、有的隐晦 ; 有的重要、有的简单无关紧要 , 做题时要善于抓住关键信息 . 一般地 , 关键信息包括三部分 : 模型类型信息、 数量关系信息和数量信息 , 下面结合实例来说明各种关键信息 .题目 : 某地区上年度电价为0.8 元/kw•

2、h,年用电量为 a kw•h. 本年度计划将电价降到 0.55 元/kw•h 至 0.75 元/kw•h 之间 , 而用户期望电价为 0.4 元/kw•h.经测算 , 下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 ( 比例系数为 k). 该地区电力的成本价为 0.3 元/kw•h.(1) 写出本年度电价下调后 , 电力部门的收益 y 与实际电价 x的函数关系式 ;(2) 设 k=0.2a, 当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%?(注: 收益 =实际用电量&

3、#215;实际电价 - 成本价 ).一般地 ,模型类型信息存在于问题的背景和“要求”中, 从问题的背景和“要求”的角度可以初步看出问题考查的类型( 方程、不等式、最值、函数等),这样可以明确建模的思考方向.在例示中,(1)是“写出本年度电价下调后, 电力部门的收益与实际电价的函数关系式”, 则说明这个是一个函数问题;(2)是“设 k=0.2a, 当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?”, 则是一个不等式问题.数量信息是问题中必不可少的部分, 这是比较容易从问题中提取的 , 有已知的、未知的、同类的、不同类的、不变的、变化的. 在例示中 , 数量信息是 : 上年度电价

4、0.8 元 /kw•h, 年用电量 , 本年度电价计划降到 0.55 元/kw•h 至 0.75 元/kw•h, 用户期望电价0.4 元/kw•h, 电力成本价 0.3元/kw•h,(2) 中还给出了 k=0.2a.二、掌握建模的一般步骤一般来说 , 应用题可以按照下面的步骤来建模, 下面结合实例来说明建模的一般过程.题目 : 某城市现有人口总数100 万人如果年自然增长率为1.2%, 写出该城市人口总数y( 人) 与年份 x( 年) 的函数关系式 .( 一) 通读题意 , 初步“识模” . 一

5、般来说 , 题中都有一个较长的文字叙述过程 , 有时还有一些晦涩难懂的专业术语, 这就要省去与数学建模无关的一些名词术语的细节, 快速浏览 , 大致确定模型类型信息 , 也就是说 , 把应用题的背景和已有知识经验相对照, 初步判断要解决什么问题、涉及什么相关知识 , 并结合“要求”确定建模的类型 , 明确方向 . 通读例示不难发现这是一道人口增长率问题 , 并结合所求 , 初步判断是一个指数函数模型 .( 三) 精读题意 , 努力“建模” . 题目的数量关系清楚以后 , 还要收集、整理数量信息 , 进一步分析题目中各量的特点 , 哪些是已知的 , 哪些是未知的 , 根据数量关系信息 , 建成数

6、学模型 . 精读例示, 找出题中所给的数据 , 代入上面的数量关系 , 建立数学模型 .当然了 , 选读和精读是相互交织在一起的 , 在解题时不能墨守成规地操作 , 比如例示也可以这样建立模型 : 从特殊的 1 年、 2年, 抽象归纳 , 寻找规律 , 探讨 x 年的城市总人口问题:y=100(1+1.2%).三、总结应用题的基本模型各类数学模型就是一个个数学模式 , 由于应用题都不是原始的实际问题 , 命题者对原始的材料 , 通过精心设计、加工、创作 ,就可将应用题化归为某个数学模型. 识别出了题中的模式, 就可将应用题化归为某个数学模型. 下面把各类典型应用题的基本模式总结如下 :1. 函

7、数模型经常涉及到成本投入、 利润产出及关于效益、 价格、流量、面积、体积等实际问题 . 这类实际问题的数学模型的建立 , 关键是利用数量关系 , 列出目标函数式 , 注意问题中隐含量与量之间的关系 .2. 数列模型经常涉及到增长率 ( 或降低率 ) 、利息、分期付款、产量、降价、繁殖、溶液的稀释、污水处理、土地沙化等实际问题. 这类实际问题的数学模型的建立 , 关键是通过观察、 分析、归纳出问题成等差还是等比数列 , 然后再利用数列知识加以解决 .有时也运用简单的递推方法知识建模.3. 不等式 ( 组) 模型经常涉及到统筹安排、 最佳决策、最优化、水土流失、安全责任等一些有关不等量或最值的实际

8、问题 . 这类实际问题的数学模型的建立 , 关键是找出各变量的关系 .4. 立体与平面解析几何模型 . 立体几何型经常涉及到空间观测、面积、体积等实际问题 . 这类问题主要是用立体几何、三角函数方面的有关知识来建模 ; 解析几何型经常涉及到人造地球卫星、光的折射、反光灯、桥梁等实际问题 , 这类问题通常是通过建立直角坐标系 , 运用解析几何方面的有关知识来建模 .5. 三角模型经常涉及到有关几何、物理、测量、航海、天文等方面的实际问题 . 这类实际问题的数学模型的建立 , 关键是运用三角的知识和方法建模 .6. 概率模型主要涉及比赛的输赢、 产品的正次等 . 建模的策略是 : 分清事件的性质 , 是互斥、独立、还是等可能性事件 , 从而选择正确的公式建模 .7. 统计模型是以图表作为数字信息的主要载体的应用题 . 解此类题型的关键是 : 理解图形内容 , 找出变化趋