《数学专业毕业论文二次曲线方程的化简及应用》

1、二次曲线方程的化简及应用作 者： 。 。 。0 引言二次曲线方程的化简是二次曲线理论的重要内容，是解析几何课程教学的一个难点 . 文献 1 给出的化简方法（坐标变换法和不变量法）各有优缺点，具有一定的局限性 . 为此，文献2-4 利用参数法将坐标变换和主直径有机地结合起来，给出方程化简第一种较简便的方法；文献5 和文献 6 从坐标变换下二次曲线方程系数变化规律入手，给出了第二种新的化简方法；文献7 借助多项式可约性及因式分解给出第三种化简方法；文献 8 和文献 9 分别利用矩阵理论及六元非线性方程给出了另外两种化简方法.但文献给出的化简方法均未涉及到方法之间的内在联系 . 本文归纳总结了二次曲

2、线方程的一般化简方法，进一步探讨了坐标变换法和不变量法的内在联系，在文献2 的基础上通过进一步论证，又得到了三个新的定理，并借助实例，探究了这种方法在问题过程中的具体应用 .1 预备知识定义 1定义 1 在平面上 , 由二次方程F x, ya11x22a12xy a22y22a13x2a23y a330（ * ）所表示的曲线, 叫做二次曲线1 .定义 2 有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线; 没有中心的二次曲线叫做1 .定义 3 把一个点对于某一坐标系的坐标变换称为同一个点对于另一种坐标系的坐标 , 这种变换称为坐标变换1 .定义 4 由曲线方程的系数给出的函数, 如果在经过任意一个直角坐标

3、变换后 , 它的函数值不变, 就称这个函数是该曲线的一个正交不变量, 简称不变量.定义 5 二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径.直角坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律.1 移轴对二次曲线方程系数的影响规律 1'x xx0一 、一一 . . , ., . 二次曲线万程（*）在移轴公式 y y y。下，其中（x, y）表小平面内一点P的旧坐标, （x, y） 表示 P 点的新坐标, （x,y ） 表示新坐标系的原点在旧坐标系下的坐标, 二次曲线方程系数分别为 :allall, a12a12 , a22a22a13a11x0al2 y0a13a23a33由此可知系数变化规律

4、为：1)二次项系数不变；. .一 一、. =,2) 一次项系数变为2a13a12x0a22 y0a23F（X0 , y0）F1（X0, y0）F2（X0 , y0）2 F1 （x0 , y0 ） , 2a232F2 （x0 , y0 ） ；3)常数项变为a33F(x0,y0).根据上述规律，通过计算可以得到：I1a11a22a11a22 I 1a11a12a12a222 a11a22a12a11 a 22_' 2 a12a11a12a13a12a22a23a13a23a33.2转轴对二次曲线方程系数的影响规律1二次曲线方程(*)在转轴公式xx cosyx siny sin下,其中,为坐

5、标轴的旋转角.y cos二次曲线方程系数分别为:a11a12a222W1 cos，出a11 sin2a12 sin 2an）sin2a13a13 cosa13sina12 sin 2a23 sina23 cosa33a332a22 sina12 cos22a22 cos由此可知系数变化规律为：1)二次项系数的变化仅与原方程的二次项系数和转角有关；2) 一次项系数的变化仅与原方程的一次项系数和转角有关，特别是，当原方程无 一次项时，转轴后也无一次项；3)常数项不变.'2,'a12I 2根据上述规律，通过计算可以得到:'''.2''I1 al

6、la22alla22I1 , I 2a1ia22a12all a222二次曲线方程的化简方法参数法则过若F(x,y) 0 ( a2i ai22 a22 0 )为中心二次曲线，其中心为P)(X0,y0)P0 (Xo, y°)的任一直线的参数方程为X X0 t cos0y y。tsin将上式代入F(x,y) 0得：t2 ( ) F(x0,y。)0其中 () a11cos22a12cos sina22 sin2引理12 设F(x,y) 0 (an a22 a22 0)为中心二次曲线若()定号：当()F(xo,yo) 0时，二次曲线为实椭圆，方程可化简为12x(t2)max12y(t2)mi

7、n当()Fx0,y00时，二次曲线为虚椭圆;当F %,丫00时，二次曲线为点椭圆.'2 x若()变号：当()F(xo,yo) 0时，二次曲线为双曲线，方程可化简为'2y(t2).min(t2)max当F(xo,yo) 0时，二次曲线为两相交直线.例1化简二次曲线方程5x2 6xy 5y2 16 0.解 由于I2 5 5 32 1 6 0,故二次曲线为椭圆型中心曲线.解5x0 3y0 0得x0 0即二次曲线的中心为坐标原点.3x0 5y0 0y0 0x tcos设过中心的任一直线的参数方程为(0)，其中t为参数.y tsin将参数方程代入二次曲线的原方程得.2一 2八.一2t (

8、5cos6cos sin5sin) 16 0人,、L2c.L 2Q ( )5cos6cossin5sin5 3sin2当27，即一时，(hax 8,24当2、，即3r时，(扃2,242,2、16°,2-2、16。故 a (t )max-8,b(t )min2,28'2'2即原方程化简为J匕1. 82不变量法5引理21如果I2 0/3 0,则二次曲线(*)为中心曲线，那么它的方程总可以化简为 ix22y'20 ( a12 0)I 2其中，1, 2为二次曲线特征方程的两个根.如果I2 0,I3 0,则二次曲线(*)为无心曲线，那么它的方程总可以化简 为如果I2 0

9、,I3 0,则二次曲线(*)为线心曲线，那么它的方程总可以化简为.2LyI1其中,Kia1aa13a33a22a23a23a33例2 (1)化简x24xy4y2 2x2y0.解由题意可得I15, I20,I32.5 , x .25所以二次曲线为无心曲线，由不变量法知可化简为5y2 2 5x 0.即y22 - 5 , ,2x或y25x3 3xy y210x 10y 21 0解由题意可得I12,1254/321所以二次曲线为中心二次曲线, 而主方向特征方程为2 I1I2 0，5412故由不变量法可知二次曲线可化简为5y24x2 4xy y22x解由题意可得I15,120,131121所以二次曲线为

10、线心二次曲线 又K1a11a13a13a33a22a23a23 a33154所以由不变量法可化简为5y2用不变量法化简二次曲线，可直接由公式得到化简方程，计算比较简单，但无法确定二次曲线在坐标系中的确切位置，故还不能直接由此做出图形，仍需要进一步的确定计算.2.3 坐标变换法7.1利用系数的影响规律化简方程1Fi(Xo,yo)F2(x0,y。)当I2 0时，二次曲线*为中心二次曲线，具中心 优.）满足aii Xo ai2 y0 ai3 a12X0 a22 y0 a23根据移轴对二次曲线方程系数的影响规律,若取（X0, y（0为坐标原点，则二次曲线方程可化简为:2a11x 2a12x y2a22

11、 y a 330其中aii a22aiia22，a33F (x0, y0)由此可知中心二次曲线的化简一般是先移轴后转轴.当I2 0时，即（*）为非中心二次曲线，如果ai2 0时，取转角 满足aii a22'2- 2cot2, 使彳4 al2 (a22aii)sin cos ai2 (cos sin ) 02ai2从而消去方程中的交叉项，由此可知非中心二次曲线的化简一般是先转轴后移轴例3化简x2xy y2 2x 4y 2 0,并作出几何草图解因I20,故曲线为中心二次曲线.1x - y 1 0解2得比0,y0 2,1x y 2 02x取（0,2）为坐标原点，作移轴 y根据移轴对系数的影响

12、规律，可将方程化简为2 x xy y2再作转轴消去x y交叉项，令cot2aiia222a120,取 一，得cos4i- i2 $1n：2作转轴(x y )T2(x经转轴后曲线的方程化为:1''2x23 "22y图形如下,算出新方程的系数，然后再移轴，确定图形位置，虽然方法简单，但计算量大，且灵活性较强，不易掌握.2主直径法1对于中心二次曲线，我们取它的一对既共腕又互相垂直的主直径作为坐标轴， 则方程可化为''2''2'_&ixa22 y%3 0.对于无心二次曲线，取它的唯一主直径为x'轴，而过顶点（即主直径与曲

13、线的交 点）且与非渐近主方向为方向的直线（即过顶点垂直与主直径的直线）为丫轴建立坐标系. 则方程可化为'2''a22 y2ai3x0 .对于线心二次曲线，我们取它的中心直线（即曲线的唯一直径也是主直径）为*轴,. 一一 一 一任意垂直它的直线为y轴建立坐标系.则方程可化为''2'a22 ya330.例4化简x2 2xy2x2y2 0,并做出草图.解因为I12,120,13所以曲线为线心曲线.故有唯一的直径即中心线，具方程为 取它为新坐标系的x轴，再取任意垂直于此中心线的直线 轴，作坐标变换，这时的变换公式为1 00为新坐标系的y解x, y得2 x

14、 x22 y x2x y 1一.2.2 5 y2 Ty1212代入已知方程，经过整理得 2V2 3 0.即y Y6或y'2图形如下显然用坐标变换法化简二次曲线的方程，计算量大，但能做出几何图形.下面将探究坐标变换法和不变量法的内在联系，给出了三个新定理及证明，使二次曲线的化简计算量小，同时还能快速做出图形.主要结果的证明及应用主要的定理及证明定理1 12二次曲线（*）为非圆时，在坐标变换x x cosy sin x0y x siny cosyo卜方程总可以化简为：'2'2-x 2y其中（x0,y。）为中心坐标,-arc cot 2aia222a12(0,-)且(12)a

15、i2 0,1, 2是特征方程2 I- I2 0的特征根.二次曲线（*）为圆时，在坐标变换xyx0下方程总可以化简为 yo'2aiixa22 y'2其中（x0,y。）为中心坐标.证明 将坐标变换公式x, y代入二次曲线方程(*)得到 F'(x',y) 0,经整理，系数变为：' a11' a12' a22' a13' a23' a332a11 cos2(a22a12 sin 2 a22 sin2a11)sin 2a12 cos2-22a11sina12 sin 2 a22 cosF1(x°,y°)c

16、osF2(x0,y°)sinFx。，y°)sinF2(xo,y°)cosF(x0,y。)因为（x0,yo）为二次曲线的中心，所以F1(xo,y0) 0,F2(x°,y°) 0a13 F1(xo,yo)cosF2(x°,y°)sin0a23sinF2(xo,y°)cos0.由于转角1 arccot a1-a22- (0,)，且止匕时有 2a12 cos2(a11 a22)sin 222a1222(a11a22)a122a12Ka11cos2a12 sin2a22sin2 )(a11sin2a12 sin2a22 co

17、s2)2a12 a11a22 cos22a12sin 2 22a12 a11 a22 cos2 4a12 sin 222a11a224a121sin 20即方程最终可化为：，一2一' _ '2一'a11 Xa22 ya330又a；1a22 a1 a22"同电？12 ,根据根与系数的关系得a；1与a22是特征方程I1 I20的两根，且 &2( 12) 0.令加 1,a222则1, 2分别是二次曲线的特征根.由于(x0,y。)是中心坐标，且小(a33 F(x°,y°)歪 a13a22a232,yoa11乳a12a23XoFXoy。) y

18、oF2(%,yo) F3(x0,y。)&3X0 a23yoa33a12a13a23a11a13a33a11a12a22a23知a23a12a22121312 ''因此非圆的中心二次曲线方程在坐标变换X'cosysinX0下总可以化简yx siny cosy为'2'2131x 2y0.12当二次曲线为圆时，同理可证曲线方程总可以化简为2'2 I3axa22y0.I 2定理1证毕.定理2 7 无心二次曲线F(x, y) 0 a120在坐标变换卜方程总可以化简为x x cosy sinx0'.'y x siny cosy011y

19、2 2 点x 0其中（x0, yo）为二次曲线的顶点，tana1,且cos 与a12同号.证明将x, y代入二次曲线方程（*）中,曲线方程可化简为：''2''a11x2a12xy''2a22 y2a。'''2a23 ya330因为tan 玉且cos 与a12同号，可得 a12cosai2-2 a11，sina12an-22-.a11a12将tan也代入a；1,a22得 a12a1a1 <coscos22a12 sincos2 cos02a22a11 sin2cosa112a22 tana22a11%2a12 tan2

20、2a122a22 sina11a11a12a12 sin 2 tan22a22 cos2a12 tana222a11a112ai2a22ana22一 1,_ a12(a22a11) sin 2(a22 a11)sin cosa12 cos2a12(2cos2(a12 a32a12a1222.a11a121)2a2队(二"' 1)a11a12ai3 Fi(xo,yo)cosF2(x0,yo)sin(aiixoai2yoai3)ai22(ai2xoa22 yoa23 )ai2ailai2ai2ai3aiia232 ai2ai2a22a23aiiai2a33aiiai2ai3a23

21、ai3a23012a22a13I i22aiia232a12a13a23a22ai3aii a22I3Ii由于x0,y0是顶点,故为弓优力。）ai2F2（Xo,yo） 0,所以a23Fi(xo,yo)sinF2(%,yo)coscos ,ai2 F2(xo , yo) ai2aiiFi(Xo,yo)a33因此无心曲线方程在坐标变换x x cosy siny x siny cosxo下总可以化简为yoiiy'2l3x Ii定理2证毕.定理3 7 线心二次曲线F(x, y)o在坐标变换x cosy sinxo卜方程总可以化简为：其中xoai3 ，yoaiia22x siny cosV。.2

22、Iiya23aiia22W且cos 与ai2同号. ai2证明 将x,y代入二次曲线方程(*)曲线方程可化简为 ''2'' '''2'''''aiix2a12X y a22y 2a13X 2a23y a330由于转角为tana1.由定理2的证明过程可知ai2 ''di 0,a22 aii a22 Ii由于Xo-, y°一2代入可得aii a22aiia22E(%y) a% 2丛 23a% a自3 &34 a2 % 物F2( Xo, y。)oai2 xoa 22 y0

23、 a 23a12 ai3a 22 a 23a 23aii a22 aii a22所以 ai3a23 0.a33F3(x0,y0)ai3X0a23y0a3322a33ai3a23aiia22aiia22aiiai3a22a23ai3a33a23%3aii a22Ki ii ''因而线心曲线方程在坐标变换XX'cosysinX0下总可以化简为yx siny cosy02 Ki ii y 0 11主要结果的应用举例例5求曲线5x2 6xy 5y2 6x 2y i 0的简化方程并做出草图因为I110,16 0,即二次曲线为中心二次曲线.5x3xo3y0 35y0 10得中心坐标

24、为0X0y。6177171arccot 2a11a222a124816sin3.1 ,2,c0S48,又因为a12两根，所以13 0.即由定理2而1,2又是特征方程 2 1016 。的2,所以曲线方程在坐标变换1x212 X617717卜可化简以为2x128y2图形如下X例6求二次曲线x22xy10x6y10简化方程并做出草图.解I1220,I364,即曲线为无心曲线.由定理4知tana11a12且cosg与a12同号,cos1八2，Sin由21x0y。y。2xoy0y2 10x030 一，得顶点坐标为X0y01212因为a1210,由定理2 知 a11a22 即 al1'0, a22

25、a11a222所以曲线的方程在坐标变换卜可以化简为2y'2'2图形如下例7化简4x21212121212122 32x' 0.4y2x 或 y'24 2x'.图44xy y2 2x y 1 0并做出草图.解由于I15,120,I311210,故为线心二次曲线2且cos 与22同号知由定理3知% 1 y0又由tan 曳510,a1212cos ,sin ,5. fa11a13K1a13a33a22a23a23a333；1 ' 2 175X 15y 52 ' 1 1-5x 75y wx所以曲线的方程在坐标变换y下总可以化简为'25y图

26、形如下结束语二次曲线方程的化简是大学空间几何研究的重点内容之一，且对二次曲线内容的教学有非常重要的指导作用.本文就二次曲线方程的化简与作图，介绍了五种方法，分别是参数法、不变量法、坐标变换法、主直径法、与上述四种方法相比较稍微简单的一种新方法 . 本文通过归纳以上前四种方法之间的联系 , 即从应用不变量法来化简方程与应用移轴、 转轴来作图 , 给出一种相对于前四种方法更为简洁的方法 , 得出三个新定理的证明及具体应用 .本文通过借鉴国内二次曲线方程化简与作图的方法, 寻找它们之间的联系 , 找到一种即易于化简又易于作图的方法, 从而告诉我们, 思维要善于发散, 对于同一道题 , 要应用不同的方法进行解答, 再从所有的解法中找出一种最简便的方法 , 同时这对深入研究中学数学数学二次曲线也提供了相应的指导 .本文针