空间向量ppt课件

1、第一节 空间直角坐标系一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标二、空间两点间的间隔二、空间两点间的间隔三、小结三、小结 第七章第七章 空间解析几何空间解析几何 与向量代数与向量代数x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合右手系符合右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.一、空间点的直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦

2、限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空间两点间的间隔,121xxPM ,12yyPN ,122zzN

3、M 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间间隔公式空间两点间间隔公式特殊地：假设两点分别特殊地：假设两点分别为为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 1 1 求求证证以以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三角角形形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成

4、立原结论成立.例例 2 2 设设P在在x轴轴上上，它它到到)3 , 2, 0(1P的的距距离离为为到到点点)1, 1 , 0(2 P的的距距离离的的两两倍倍，求求点点P的的坐坐标标.解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间间隔公式空间两点间间隔公式留意它与平面直角坐标系的区别留意它与平面直角坐标系的区别轴、面、卦限轴、面、卦限三、小结 2

5、1221221221zzyyxxMM 思索题思索题在空间直角坐标系中，指出以下各在空间直角坐标系中，指出以下各点在哪个卦限？点在哪个卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D思索题解答思索题解答A:; B:; C:; D:; 1 1、以下各点所在象限分别是：、以下各点所在象限分别是： _;1,3,2d_4,3, 2c_4,3,2b_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；轴轴的的对对称称点点是是，关关于于轴轴的的对对称称点点是是，关关于于的的对对称称点点是是轴轴，关关于于的的对对称称点点是是关关于于平平面面的

6、的对对称称点点是是，关关于于平平面面的的对对称称点点是是关关于于平平面面、点点_,_)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空题一、填空题练习题练习题3、点点)5,3,4( A在在xoy平平面面上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _, ,在在yoz面面上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在 zox轴轴上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在轴轴上上x的的射射影影 点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _，在在轴轴上上x的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _，在在 轴上轴上z的的射射影影点点为为_

7、_ _ _ _ _ _ _ ; ;4、已知空间直角坐标系下，立方体的、已知空间直角坐标系下，立方体的 4 个顶点为个顶点为 ),(aaaA ，),(aaaB ，),(aaaC 和和 ),(aaaD，则其余顶点分别为，则其余顶点分别为_，_ _，_，_ ; ;5、已知三角形的三个顶点、已知三角形的三个顶点)4 ,1,2( A，)6,2,3( B， )2,0,5( C则则（1）过）过A点的中线长为点的中线长为_;（2） 过过点点的的B中中线线长长为为_ _ _ _ _ _ _ _ _； （3） 过过点点的的B中中 线线 长长为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、已知平行四边形

8、、已知平行四边形ABCD的两个顶点的两个顶点)5,3,2( A, , )2,3,1( B的及它的对角线的交点的及它的对角线的交点)7,1,4( E，则，则 顶点顶点的坐标的坐标D为为_，顶点，顶点的坐标的坐标D为为_ _；7 7、若直线段落、若直线段落AB被点被点)2,0,2(C及点及点)0,2,5( D内内 分为分为3等分， 则等分， 则A端点端点的坐标为的坐标为_， B端点端点 的坐标为的坐标为_ _ . .二二、在在yoz面面上上，求求与与三三个个已已知知点点)2,1,3(A， )2,2,4( B和和)1,5,0(C等等距距离离的的点点 .一一、1 1、, , , ,； 2 2、( (-

9、 -3 3, ,2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,2 2, ,- -1 1) ), ,( (- -3 3, ,- -2 2, ,- -1 1) ), , ( (- -3 3, ,- -2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,- -2 2, ,- -1 1) )； 3 3、( (- -4 4, ,3 3, ,0 0) ), ,( (0 0, ,3 3, ,5 5) ), ,( (- -4 4, ,0 0, ,5 5) ), , ( (- -4 4, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,3 3, ,0 0) ),

10、,( (0 0, ,0 0, ,5 5) )； 4 4、),(aaa ),(),(),(aaaaaaaaa ； 5 5、7 7, ,43021, ,26221； 6 6、( (6 6, ,1 1, ,1 19 9) ), ,( (9 9, ,- -5 5, ,1 12 2) )； 7 7、( (- -1 1, ,2 2, ,4 4) ), ,( (8 8, ,- -4 4, ,- -2 2) )； 8 8、 4141iixx, , 4141iiyy, , 4141iizz. .练习题答案练习题答案二二、( (0 0, ,1 1, ,- -2 2) ). .第二节 向量及其加减法 向量与数的乘法

11、一、向量的概念一、向量的概念二、向量的加减法二、向量的加减法三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法四、小结四、小结向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念或或或或或或自在向量：自在向量：不思索起点位置的向量不思索起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向一样的向量大小相

12、等且方向一样的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM1 加法：加法：cba abc平行四边形法那么平行四边形法那么特殊地：假设特殊地：假设ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac 平行四边形法那么有时也称为三角形法那么平行四边形法那么有时也称为三角形法那么二、向量的加减法向量的加法符合以下运算规律：向量的加法符合以下运算规律：1 1交换律：交换律：.abba 2 2结合律：结合律：cbacba )().(cba 3

13、. 0)( aa2 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a21 三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合以下运算规律：数与向量的乘积符合以下运算规律：1 1结合律：结合律：)()(aa a)( 2 2分配律：分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量

14、的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab.ab 即有即有.同向同向与与此时此时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又又设设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即同同方方向向的的单单位位向向量量，表表示示与与非非零零向向量量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式阐明：一个非零向量除以它的模的结果是上式阐明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原

15、向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 化化简简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线相互平分试用向量方法证明：对角线相互平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形. .证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMab向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法留意与标量的区别留意与标量的区别平行四边形法那么平行四边形法那么留意数乘后的方向留意数乘后的方向四、小结思索题思索题知平

16、行四边形知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,思索题解答思索题解答BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab一、一、 填空：填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 与与_无关的向量称为自由向量；无关的向量称为自由向量；6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三个

17、或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做_ _ _；7 7、两两向向量量_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，我我们们称称这这两两个个向向量量相相等等；8 8、两两个个模模相相等等、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _的的向向量量互互为为逆逆向向量量；9 9、把把空空间间中中一一切切单单位位向向量量归归结结到到共共同同的的始始点点，则则终终点点 构构成成_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题1010、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的 始点，则终点构成

18、始点，则终点构成_；1111、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,应满足应满足_ _ _；1212、要使、要使baba 成立，向量成立，向量ba,应满足应满足_ _ _ _ . .二二、 用用向向量量方方法法证证明明：对对角角线线互互相相平平分分的的四四边边形形是是平平行行四四边边形形 .三 、 把三 、 把ABC的的BC边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为4321,DDDD， 再 把 各 分 点 与 点， 再 把 各 分 点 与 点A连 接 ， 试 以连 接 ， 试 以aBCcAB ,表示向量表示向量ADADADAD4321,和和 .

19、 .练习题答案练习题答案一、一、1 1、既有大小、既有大小, ,又有方向；又有方向； 2 2、大小；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起点；、起点； 6 6、共线向量、共线向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半径为、半径为 1 1 的球面；的球面； 1010、距离等于、距离等于 2 2 的两点；的两点； 1111、a垂直于垂直于b； 1212、a与与b同向同向 . .三、三、)51(1acAD , ,)52(2acAD , , ).54(),53(43acADa

20、cAD 第三节第三节 向量的坐标向量的坐标一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式四、小结四、小结 一、向量在轴上的投影与投影定理.上的有向线段上的有向线段是轴是轴，设有一轴设有一轴uABuuAB.ABABABuuABuABAB ，即，即的值，记作的值，记作上有向线段上有向线段叫做轴叫做轴那末数那末数是负的，是负的，轴反向时轴反向时与与是正的，当是正的，当向时向时轴同轴同与与，且当，且当满足满足如果数如果数ouAB1轴轴同同方方向向

21、的的单单位位向向量量，是是与与设设ue.)(eABAB 的相互位置如何，的相互位置如何，三点三点轴上任意三点，不论这轴上任意三点，不论这是是设设uCBA,eBCeABeAC)()()( 即即,)(eBCAB .BCABAC ,BCABAC e证证,1uOA 例例 1 1 在在u轴上取定一点轴上取定一点o作为坐标原点设作为坐标原点设BA,是是u轴上坐标依次为轴上坐标依次为1u, 2u的两个点，的两个点，e是与是与u轴轴同方向的单位向量，证明同方向的单位向量，证明euuAB)(12 .,1euOA 故故eueu12 .)(12euu ouAB1e1u2u,2euOB 同同理理，OAOBAB 于是于

22、是空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间恣意取值之间恣意取值. 0() 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起点

23、点A和和终终点点B在在轴轴u上上的的投投影影分分别别为为BA ,那那么么轴轴u上上的的有有向向线线段段BA 的的值值，称称为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影.ABjuPr.BA 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为关于向量的投影定理关于向量的投影定理1 1 向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 定理定理1 1的阐明：的阐明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量

24、在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 关于向量的投影定理关于向量的投影定理2 2两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC 可推行到有限多个可推行到有限多个u1a2a二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标1M1P2M2P上的投影分别为点上的投影分别为点在轴在轴点点为一条数轴为一条数轴为一向量，为一向量，设设212121,PPuMMuMMa 上上的的坐坐标标依依次次为为在在轴轴又又设设2121,uuuPPuo,

25、Pr21uuaMMj 1221OPOPPP ,12uu .12uuau 如如果果e是是与与u轴轴正正向向一一致致的的单单位位向向量量，.)(12euu 设设a是是以以),(1111zyxM为为起起点点、),(2222zyxM为为终终点点的的向向量量，过过21, MM各作垂直于三个坐标轴的平面各作垂直于三个坐标轴的平面 ,这这六六个个平平面面围围成成一一个个以以线线段段21MM为为对对角角线线的的长长方方体体.由例由例1知知eaPPu 21xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上

26、的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按根本单位向量的坐标分解式：按根本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：,kajaiazyx向量的坐标：向量的坐标：,zyxaaa向量的坐标表达式：向量的坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式

27、,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线上的点，为直线上的点，例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为为两两已已知知点点，而而在在AB直直线线上上的的点点M分分有有向向线线段段AB为为两两部部分分AM、MB，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某数数)1( ，即即 MBAM，求求分分点点的

28、的坐坐标标.ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz 非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 三、向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax

29、 cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例例 3 3 求求平平行行于于向向量量

30、kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 例例 4 4 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ，如果，如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求，求2P的坐标的坐标.解解设设向向量量21PP的的方方向向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32

31、,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 例例 5 5 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.向量在轴上的

32、投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结留意分向量与向量的坐标的区别留意分向量与向量的坐标的区别思索题思索题 设设jim ，kjn 2，求求以以向向量量nm,为为边边的的平平行行四四边边形形的的对对角角线线的的长长度度.思索题解答思索题解答对角线的长为对角线的长为|,|,|nmnm ,1 , 1, 1 nm1, 3 , 1 nm, 3| nm,11| nm平行四边形的对角线的长度各为平行四边形的对角线的长度各为11, 3.mn练练 习习 题题一、一、 填

33、空题：填空题：1 1、 已知已知rr,4 与轴与轴u的夹角是的夹角是60，则，则rjuPr=_=_ _ _；2 2、 已知两点已知两点1M)2,1,0(和和2M)0,1,1( 则则 21MM_；-2-221MM= =_；3 3、 已知两点已知两点1M)1,2,4(和和)2,0,3(2M, ,则向量则向量 21MM_ ，21MM=_=_，方向，方向 余弦余弦 cos=_=_； cos= =_； cos= =_； 方向方向 角角_ ,_ , _ ,_ , _；4 4 、 已知向量已知向量kjia , ,kjib532 及及 kjic22 , , 0a则则_； 0b= =_ _ _ _ _ _ _

34、_ _ _ _； 0c= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；5 5、一一向向量量与与zoxyozxoy,三三个个坐坐标标平平面面的的夹夹角角 , 满满足足 2cos+ + 2cos+ + 2cos= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二 、一一向向量量的的终终点点在在点点)7,1,2( B，它它在在轴轴X，轴轴Y 和和轴轴Z上上的的投投影影依依次次为为74,4和和 ，求求这这向向量量的的 起起点点的的坐坐标标A . .三三 、求求平平行行于于向向量量 6,7,6 a的的单单位位向向量量 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、2 2； 2 2、

35、 4 , 4 , 2,2, 2, 1 ； 3 3、 ;3,43,32,21,22,21, 2 ,1 , 2, 1 4 4、 32,31,32,385,383,382,31,31,31； 5 5、2 2. .二、二、 A(-2,3,0)(-2,3,0) . .三、三、 116,117,116116,117,116或或 . .第四节第四节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积三、向量的混合积三、向量的混合积四、小结四、小结 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位

36、位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 数量积也称为数量积也称为“点积、点积、“内积内积.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的

37、方向上的投影的乘积乘积. .关于数量积的阐明：关于数量积的阐明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 证证证证 ,2 ,2 数量积符合以下运算规律：数量积符合以下运算规律：1 1交换律：交换律：;abba 2 2分配律：分配律：;)(cbcacba 3 3假设假设 为为数：数： ),()()(bababa 假设假设 、 为数：为数： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbj

38、bibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222

39、222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 例例 2 2 证明向量证明向量c与向量与向量acbbca)()( 垂直垂直.证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()( 设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点，有有一一力力F作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处力力F与与OP的的夹夹角角为为 ，力力F对对支支点点O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的方向垂直于的方向垂直于OP与与F所决所决定的平面定的平面,

40、指向符合右手系指向符合右手系.实例实例二、两向量的向量积LFPQO 向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .关于向量积的阐明：关于向量积的阐明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积、叉积、“外积外积.向量积符合以下运算规律：向量积符合以下运算规律：1.abba 2分配律：分配律：.)(cbcacba 3假设假设 为为数：数： ).()()(bababa )(, 0 ba,

41、 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaa补充补充|ba

42、 表示以表示以a和和b为邻边为邻边的平行四边形的面积的平行四边形的面积.xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，abbac 例例 3 3 求求与与kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的单单位位向向量量.解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj例例 4 4 在在顶顶点点为为)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC边边上上的的高高BD.ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三

43、角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD例例 5 5 设向量设向量pnm,两两垂直，符合右手规则，且两两垂直，符合右手规则，且4| m，2| n，3| p，计算，计算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，定义定义 设已知三个向量设已知三个向量a、b、c，数量，数量cba )(称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba. .cbac

44、ba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积1向量混合积的几何意义：向量混合积的几何意义： 向量的混合积向量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的阐明：关于混合积的阐明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba 已已知知2 cba， 计计算算)()()(accbba

45、 .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例6例例 7 7 已知空间内不在一平面上的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面体的体积求四面体的体积.解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量AB、AC、AD为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB

46、,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正负号的选择必需和行列式的符号一致式中正负号的选择必需和行列式的符号一致.向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积结果是一个数量结果是一个数量结果是一个向量结果是一个向量结果是一个数量结果是一个数量留意共线、共面的条件留意共线、共面的条件四、小结思索题思索题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .思索题解答思索题解答)(sin|,2222bababa )(cos1 |,222baba 2

47、2|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 一一、 填填空空题题：1 1、 已已知知a= =3 3，b= =2 26 6，ba = =7 72 2, ,则则ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 已已知知（ba,）= =32 ，且且a= =1 1，b= =2 2，则则 2)(ba = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、ba 的的几几何何意意义义是是以以ba,为为其其邻邻边边的的_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 三三向向 量量cba,的的 混混 合合 积积 cba 的的 几几 何何 意意 义义 是是_

48、 _ _ _ _ _ _；5 5、 两两向向量量的的的的内内积积为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少其其中中有有 一一个个向向量量为为_ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它们们互互相相 _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 两两向向量量的的外外积积为为零零的的充充分分必必要要条条件件是是至至少少其其中中有有一一 个个向向量量为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，或或它它们们互互相相_ _ _ _ _ _ _；练练 习习 题题7 7、设、设kjia23 ，kjib 2 , , 则则ba = _ = _， ba = _ = _ _ , , ba3)2(

49、= _ = _, , ba2 = _ = _，),cos(ba = = _ _ ；8 8、设、设a= =kji 32, ,kjib3 和和,2jic 则则 bcacba)()( =_ =_ ,_ , )()(cbba _ _ ,_ , cba )( = _ = _ ._ .二二、 已已 知知cba,为为 单单 位位 向向 量量 ， 且且 满满 足足0 cba，计计算算accbba . .三三、设设质质量量为为 1 10 00 0 千千克克的的物物体体从从点点)8,1,3(1M沿沿直直线线移移动动到到点点)2,4,1(2M计计算算重重力力所所作作的的功功（长长度度单单位位为为米米，重重力力方方向

50、向为为Z轴轴负负方方向向）. .四、四、 设设 4,1,2,2,5,3 ba，问，问 与与怎样的关系怎样的关系能使行能使行zba与与 轴垂直轴垂直 . .五、五、 应用向量证明：应用向量证明：1 1、 三角形的余弦定理；三角形的余弦定理；2 2、 直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角 . .六、六、 已知已知cba,两两垂直，且两两垂直，且 cbascba 求求,3,2,1的长度的长度 与它和与它和cba,的夹角的夹角 . .七、七、 计算以向量计算以向量212eep 和和212eeq 为边的三角为边的三角形的面积，其中形的面积，其中1e和和2e是相互垂直的单位向量是相互垂直的单位向量

51、 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、30 ； 2 2、3 3； 3 3、平行四边形的面积；、平行四边形的面积； 4 4、以、以cba,为邻边的平行六面体的体积；为邻边的平行六面体的体积； 5 5、零向量、零向量, ,垂直；垂直； 6 6、零向量、零向量, ,平行；平行； 7 7、3,3,2123,14210,18,75kjikji ； 8 8、2 ,248kjkj . .二、二、23 . . 三、三、58805880 焦耳焦耳. . 四、四、 2 . .六、六、141arccos),( ,14 ass, ,141arccos),( bs, , ),(cs143arccos. . 七、七

52、、25. .第五节第五节 曲面及其方程曲面及其方程一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面三、柱面三、柱面四、小结四、小结水桶的外表、台灯的罩子面等水桶的外表、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的定义：曲面方程的定义：如如果果曲曲面面S与与三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述关关系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一点点的的坐坐标标都都满满足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的点点的的坐坐标标都都不不满满足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方

53、程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的图图形形曲面的实例：曲面的实例：一、曲面方程的概念以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在点点),(0000zyxM、半半径径为为R的的球球面面方方程程.解解设设),(zyxM是是球球面面上上任任一一点点，RMM |0根据题意有根据题意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为2222Rzyx 例例 2 2 求与原点求与原点O及及)4 , 3 , 2(0M的距离之比为的距离之比为2:1的的点的全体所组成的曲面方程点的全

54、体所组成的曲面方程.解解设设),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一点点，,21|0 MMMO根据题意有根据题意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程为所求方程为例例 3 3 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求线线段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解zxyo例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是怎样的？1)2()1

55、(22 yxz根据题意有根据题意有1 z用用平平面面cz 去去截截图图形形得得圆圆：)1(1)2()1(22 ccyx 当当平平面面cz 上上下下移移动动时时，得得到到一一系系列列圆圆圆心在圆心在), 2 , 1(c，半径为，半径为c 1半径随半径随c的增大而增大的增大而增大.图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解c以上几例阐明研讨空间曲面有两个根本问题：以上几例阐明研讨空间曲面有两个根本问题：2 2知坐标间的关系式，研讨曲面外形知坐标间的关系式，研讨曲面外形讨论旋转曲面讨论旋转曲面讨论柱面、二次曲面讨论柱面、二次曲面1 1知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程

56、二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的轴曲面的轴播放播放xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz （2）点点M到到z轴轴的的距距离离|122yyxd 旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxfyoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕

57、绕z轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程.得方程得方程同理：同理：yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 . 0,22 zxyf例例 5 5 直线直线L绕另一条与绕另一条与L相交的直线旋转一周，相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫所得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫圆锥面的两直线的交点叫圆锥面的顶点顶点，两直线的夹角，两直线的夹角 20叫圆锥面的叫圆锥面的半顶半顶角角试建立顶点在坐标原点，旋转轴为试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶轴，半顶角为角为 的圆锥面方程的圆锥面方程xozy解解 yoz面面上

58、上直直线线方方程程为为 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz oxzy 例例6 6 将以下各曲线绕对应的轴旋转一周，将以下各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程求生成的旋转曲面的方程（1）双双曲曲线线12222 czax分分别别绕绕x轴轴和和z轴轴；绕绕x轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czyax122222 czayx旋转双曲面旋转双曲面（2）椭椭圆圆 012222xczay绕绕y轴轴和和z轴轴；绕绕y轴轴旋旋转转绕绕z轴旋转轴旋转122222 czxay122222 czayx旋转椭球面旋转椭球面（3）抛抛物物线线

59、022xpzy绕绕z轴轴；pzyx222 旋转抛物面旋转抛物面播放播放定义定义三、柱面三、柱面察看柱面的构察看柱面的构成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 挪动的直线挪动的直线 所构成的曲面称为柱面所构成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的准线叫柱面的准线，动直线，动直线 叫叫柱面的母线柱面的母线.CL柱面举例柱面举例xozyxozyxy22 抛物柱面抛物柱面xy 平面平面从柱面方程看柱面的特征：从柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空间间直直角角坐坐标标系系中中表表示示母母线线平平行行于于z轴轴的的柱柱面

60、面，其其准准线线为为xoy面面上上曲曲线线C.其他类推其他类推实实 例例12222 czby椭圆柱面椭圆柱面 / 轴轴x12222 byax双曲柱面双曲柱面 / 轴轴zpzx22 抛物柱面抛物柱面 / 轴轴y曲面方程的概念曲面方程的概念旋转曲面的概念及求法旋转曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母线、准线母线、准线). 0),( zyxF四、小结思索题思索题 指出以下方程在平面解析几何中和空指出以下方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？间解析几何中分别表示什么图形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思索题解答思索题解答平面解析几何中平面解析几何中空间解