2018.4北京西城一模理科数学

1、2018.4北京西城一模理科数学西城区高三统一测试数学（理科）2018.4第4页共23页第I卷（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.若集合 A x R|3x 2 0, B x R|x2 2x 3 0 , 则 AD B(A) x R|x 1(B ) x R | 1 x-2(C) x R| | x 3(D)3.执行如图所示的程序框图, x R |x输出k值为(A) 2(B) 3(C) 43/辅至/(D) 5.已知圆的方程为x2 y2 2y 0.以原点为极点，x轴方程为(A ) 2sin(B ) 2sin(C ) 2co

2、s(D)2 cos4.正三棱柱的三视图如图所示,|T1 11正在。根寓忸(口视同该正三棱柱的表面积是( A(B)岁(C) 6 卡6 2 3(D)5 .已知0是正方形ABCD的中心,若DO AB AC,其中，R,贝1J (A) :(B) 2(C)在 (D)在6 .设函数f(x) x2 bx c .则"f有两个不同的零点”是“X0 R ,使 f(Xo)。”的(A)充分而不必要 (B)必要而不充分条件 条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件 27 .函数f(x)2x3x：:则y f(x)的图象上关于原点O对称的点共有(B) 1 对(A) 0 对(C) 2 对(D) 3 对8 .某

3、计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务.现有三项任务U, V, W,计算机系统执行这三项 任务的时间(单位：s)依次为a, b, c,其中 a b c . 一项任务的“相对等待时间”定义为 从开始执行第一项任务到完成该任务的时间 与计算机系统执行该任务的时间之比.下列 四种执行顺序中，使三项任务“相对等待时 间”之和最小的是(A)(B)(C)(D)U V W VWUWUV UWV第II卷(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9 .若复数(a + i)(3 + 4i) 的实部与虚部相等，则实数10 .设等差数列0的前项和为不若,则

4、q=；S“=第6页共23页211 .已知抛物线y2 8x的焦点与双曲线3 y2 i（a 0）的一 a个焦点重合，则a ； 双曲线的渐近线方程是12 .设0,若函数y cos2 x的最小正周期为3则13 .安排甲、乙、丙、丁 4人参加3个运动项目,每人只参加一个项目，每个项目都有人参加.若甲、乙2人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为.（用数字作答）第29页共23页14 .如图，在长方体ABCD A1B1C1D1 中 ,AA1AB 2 BC 1点P在侧面 A1ABB1上,若点P到直线AA1和CD的距离相等,则AP的最小值是.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应 "出必要

5、的文字说明、证明过程或演算步骤.15 .（本小题满分13分）在4 ABC 中,已知4asinC c加2A.（I ）求A的大小；（n）若a", b2曲）求 ABC的面积.16 .（本小题满分13分）某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、 E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精 确到1%）如下：冈位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%（口）从应聘E岗位的6人中随机选择2人.记x为 这2人中被录用的人数，求x的分布列和数 学期望；（田）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性 录用比例都接近（二者之差的绝对

6、值不大于 5%）,但男性的总录用比例却明显高于女性 的总录用比例.研究发现，若只考虑其中某 四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接 近，请写出这四种岗位.（只需写出结论）17 .（本小题满分14分）如图1,在 ABC中，D, E分别为AB, AC的中点， O为DE的中点，AB AC 2而，BC 4 ,将ADE沿DE折起到 ADE的位置，使得平面AiDE平面BCED ,如图2 .（I ）求证：AO BD '（n）求直线AC和平面ABD所成角的正弦值；（田）线段A1C上是否存在点F ,使得直线DF和BC所 成角的余弦值为4?若存在，求出第的值； 3A| C若不存在，说明理由.图1图218

7、.（本小题满分13分）已知函数f(x) ex (a - lnx),其中a R x(I )若曲线y f在x 1处的切线与直线y)垂直 e求a的值;(n)当a (0,ln2)时，证明：f(x)存在极小值.9.(本小题满分14分)是椭圆C的左已知圆O：x2 y2 4和椭圆C:x2 2y2 4)F隹点 八、八、 (I )求椭圆C的离心率和点F的坐标;(H)点P在椭圆C上，过P作x轴的垂线，交圆O于 点Q ( P,Q不重合)，是过点Q的圆0的切线.H F的圆心为点F,半径长为|PF|.试判断直线l 与圆F的位置关系，并证明你的结论.20.(本小题满分13分)数列A ： ai, a2,%(n封2)满足:a

8、k 1 (k 1,2,n),记A的前k项和为&)并规定& 0 .定义集合En k N* 5 kvn|& Sj)j 0,1，,k 1.(I )对数列 A：0.3)0.7)0.1)0.9)0.1)求集合 E5 ；(n)若集合En 匕*2,km (m 1)k1 k2 km),证明:414 1 (i 1,2,m 1)；(m)给定正整数C.对所有满足S C的数列An,求 集合En的元素个数的最小值.西城区高三统一测试数学(理科)参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.1 .D2.C4. D5.B6.C8. A二、填空题：本大题共 6小题，

9、每小题530分.9710.11 .百）x 73y 012 .214 .3注：第10, 11题第一空3分，第二空2分三、解答题：本大题共6小题，共80分. 确解答过程，请参照评分标准给分.15 .（本小题满分13分）3.B7. C分，共6 , n2 n13 . 30其他正解：（I）因为 V3a sin C c sin 2A）33 a sin C 2sin A cos A c正弦定片 sin A . 0J3 sin Csin C2sin Acos A .coJt6（n）ABC中，由余弦定理得a2 b2bccosA8分所以近）2 （2石）2 c2 2（2插c 3）整理得c2 6c 5 0 )9分解得

10、c 1,或c 5,均适合题'、息.分11c 1一 “S -bcsinA2当c 1时) ABC的面积为32 ,12分c 1一 “S - bcsinA2当c 5时，5.3ABC的面积为13分16.(本小题满分13分)(I)因为 表中所有应聘人员总数为533 4671000被该企业录用的人数为264 169 433)所以 从表中所有应聘人员中随机选择 1 人，此人被录用的概率约为p器.3分(n ) X 可能的取值为0,1,24分因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，5分所以P(X 0)P(X 2)c4c6的分布列为:所以（田）这四种岗位是:B、C、D、E.13分X012P

11、r 18215155X182 4E(X) 012 -15 155 310 分17.（本小题满分14分）解：（I ）因为在 ABC中）D）E分别为AB）AC的中占I 八、,所以 DE / BC,AD AE .所以AD AE）又0为口£的中点,O DEO BD(n)因为平面AiDE 平面BCED ,且AO4分AO取BC的中点G ,连接OG所以AO OE ) AOOG平面A1DEBCEDOEOGA如图建立空间直角由题意得 ) A(0,0,2)B(2, 2,0)C(2,2,0)D(0, 1,0)所以 AB (2, 2,2)AD (0, 1,2)AC (2,2, 2).n (1,2, 1).设

12、平面ABD的法向量为n （x,y,z）贝n AB 0, 即 2x 2y 2z 0,、y 2z 0.n A1D 0,'令x 1,则 y 2)z7分1,所以3设直线 A1C和平面AiBD所成的角为贝U sin |cos n,A1C |n AC| 2 23 |n|A1C|为等.(n)线段”上存在点F适合题意.所以直线AiC和平面AiBD所成角的正弦值9分10 分设AF AC）其中设F（xy” 乙）贝有（为，W,乙 2） （2 ,2 , 2 ）所以R 2 ,y1 2 ,4 2 2 )从而 F(2 , 2 , 2 2 )所以 DF (2 ,21,2 2 )又 BC (0,4,0)所以4|21|c

13、os DF,BC | |DF BC|,|DF |BC| 4，（2 ） （21） （2 2 ）12 分|21|（2一）2（21）2（22一）2整理得13 分解得 3,舍去2.所以 线段堂上存在点F适合题意，且8.(本小题满分13分)解：(I)f(x)的导函数为f (x)14 分1x 11（a ln x） e （2）xx xx 21e （a In x）.x x依题意f (1) e (a 1) e )4分（口）由f (x)同号.6分5分lnx)及 ex 0知)f(x)与 a,、21,g( x)a - 2ln xx x2x 2xg (x) 3x-22 (x 1)-3x8分所以对任意g(Xo) 0 .因

14、为a (0,ln 2)ln x(0,) ) 有g(x) 0 , 故 g(x)在(0,所以 g(1) a 1 0,g(1) a ln-10Xo( ,1)11f(x)与f(x)在区间(2,1)上的情况如下:X(2，x0)Xo(X0,1)f (x)0+f(x)极小 值/所以f(x)在区间(；,%)上单调递减，在区间 31)上单调递增.所以 f(x)存在极小值f(X0).13 分19.(本小题满分14分)解：(I)由题意，椭圆c的标准方程、式为 1分/乐所以a2 4 , b2 2 ,从而,22,2c a b 2因此a 2, c点.椭圆 C 的离心率3分椭圆C的左焦点F的坐标为 (夜,0).4分(H)直

15、线1与圆F相切.证明如下： 5分设 P(Xo,yo)其中 2 X0 2)则 X2 2y2 4) 6分依题意可设Q(%，yi) 则x2 y2 4.7分直线i的方程为y yiXo(x Xo)yi,整理为X0X y1y 4 0.9分所以圆F的圆心F到直线1的距离 d 4tH4| |£ 2|.11 分,X0 yi2因为|PF|2(%物2y2(飞扬2；(4X2)；X22&X。4. 13 分所以 |PF|2 d2 )直线l与圆F相14 分解：（I ）因为2分0.（本小题满分13分）S)0,S 0.3 , S20.4,S30.3,S4 1.2 , S51.3E 2,4,53分0 a.（n）由集合巳的定义知品1 s且k是使得 成立的最小的k,所以&i11y.5分又因为ak,11)a- Ski11 a-6分所以0i1 0i 1.8分(田)因为sn s),所以匚非空.设集合En K