2018人教A版数学必修二4.1.1节《圆的标准方程》教学过程设计

1、第四章圆与方程第4.1.1节 圆的标准方程(一)自主学习1 .圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程为(x a)2 + (y b)2 = r2 ；特别地，圆心在原点，半径为r的圆的标准方程为 x2 y2 =r2.2 .已知点 Mo(xo, yo),圆 A： (xa)2 十(yb)2 = r2,点 M 0在圆 A 内 y (x0 -a)2 +(y0 -b)2 < r2 ；点 M0在圆 A上u (x0a)2+(y0b)2 = r2;点 M0在圆 A外=(x0a)2+(y0b)2 ar2.(二)典型例题 【例11(1)求以点 A(1,2)为圆心，并且和 x轴相切的圆的方程；(2)已知两点

2、 P(4,9) , Q(6,3),求以线段PQ为直径的圆的方程.【分析】(1)已知与圆心坐标和该圆与x轴相切即可求出半径.(2)根据PQ为直径可以得到相应的圆心与半径.【解析】(1 )因为圆与 x轴相切，所以该圆的半径即为圆心A(1,2)到x轴的距离2；所以圆的标准方程为：(x1)2 +(y-2)2 =4.(2)因为PQ为直径，所以PQ的中点M ,为该圆的圆心即 M (5,6),又因为 | PQ | = J(6 4)2 +(39)2 = J4+36 = 2710 ,| PQ |所以 r = 1 = -10,2所以圆的标准方程为：(x5)2+(y6)2 =10.动动手：填表，填出圆的圆心和半径：

3、方程圆心半径(x-2)2 +(y-3)2=7(2,3)用(x+5)2 +(y + 4)2 =18(-5, -4)3&22x2 +(y+1)2 =3(0,-1)也2 .2.x +y =144(0,0)12(x -4)2 + y2 = 4(4,0)2【例2】AABC的三个顶点的坐 标为A(5,1)、B(7, 3)、C(2, 8),求它的外接圆的标准 方程.【分析】可设圆的标准方程为(x - a)2 + (y-b)2 =r2,求出圆心和半径；也可以根据三角 形外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点求出圆心.【解析】方法一：设圆的方程为(x a)2+(y b)2 =r2因为A(5,1)、B(7,

4、 _3)、C(2, _8)在圆上，所以有<222(5 -a) +(1b) =r(7 -a)2 +(-3-b)2 =r2 ,(2 -a)2 +(-8 -b)2 =r2解得 a=2, b=-3, r=5,所以，所求圆的方程为.(x2)2+(y+3)2 =25.方法二：线段AB的中点为(6,1),直线AB的斜率为k =二3二！ = _2,7 -5所以线段AB的垂直平分线的方程为 y+1 = _2(X_6),即2x + y11=0线段BC的中点为(9,-11),直线BC的斜率为k2=或三3=1, '2222 -7所以线段BC的垂直平分线的方程为y+111 = x 2 ,即xy10 = 0

5、解得 x=2, y = 与，即圆心的坐标为(2,3), r = J(2 -5)2 +(_3-1)2 =5,所以，所求圆的方程为(x2)2+(y+3)2 =25.【例4】已知隧道的截面是半径为 4 m的圆的半圆，车辆只 能在道路中心线的一侧行驶， 车辆宽度为3m ,高为3.5m的 货车能不能驶入这个隧道？【分析】建立直角坐标系，由图象可以分析，关键在于写出半圆的方程，对应求出当x = 3时的值，比较得出结论.【解析】以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示，那么半圆的方程为：x2 y2 =16(y -0)将x =3代入得y=J1632 =77<7

6、9 = 3<3.5,即离中心线3m处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道.动动手：假设货车的最大的宽度为 am,那么货车要驶入高隧道，限高为多少？【解析】将x = a代入得y = J16-a2 ,即限高为J16-a2 m.(三)、总结提升：1 .圆的标准方程：方程(xa)2+(y b)2 = r2 (r >0)表示圆心为 A(a,b),半径长为r的圆.2 .求圆的标准方程的常用方法：(1)几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；(2)待定系数法：先根据条件列出关于a、仄r的方程组，然后解出 a、仄r,再代入标准方程.(四)、反馈练习：1 .圆(x

7、2)2+(y+3)2 =2的圆心和半径分别是(D )A (-2,3) , 1 B . (2, 3), 3C. (-2,3) , 22D . (2, -3),近2 .过点 A(1,1)、B(1,1)且圆心在直线 x + y 2 = 0上的圆的方程是(C )一一 22一 22A. (x-3) (y 1) =4 B. (x 3) (y-1) =4C. (x1)2 (y 一1)2 =4 D.(x1)2 (y 1)2=43 .写出下列圆的标准方程(1)圆心在C(_3,4),半径长为 J5的圆的标准方程(x + 3)2+(y_4)2 =5.(2)圆心在C(8, -3),且过点M (5,1)的圆的标准方程(x8)2+(y + 3)2 =25.2224 .点M (a,a)与圆(x + a) +(y+a) =2a的位置关系是点 M在圆 夕卜.*5.圆C： (x+5)2+(y4)2 =6关于直线x + y=0对称的圆的方程是(x 4)2 (y -5)2 = 6.6.求过两点 A(0,4), B(4,6),且圆心在直线 x2y2 = 0上的圆的标准方程. 【解析】设圆心坐标为(a, b),圆半径为r,则圆方程为(x a)2十(yb)2 = r2 , 因