哈工大研究生课程-高等结构动力学-第二章

1、.自由振动自由振动-由初位移、初速度引起的由初位移、初速度引起的, ,在振动中无动荷载作用的振动。在振动中无动荷载作用的振动。一一. .运动方程及其解运动方程及其解0)()(2txtxn 0mxkxmkn22.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动.其通解为其通解为tctctxnnsincos)(21由初始条件由初始条件0)0(xx0)0(xx可得可得01xc nxc/02txtxtxnnnsincos)(00sin0Ax cos/0Axn)sin()(tAtxn22020nxxA00tanxxn.二二. .振动分析振动分析单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动单自由度体系不计阻

2、尼时的自由振动是简谐振动. .)2()2(sin)2sin()sin()(nnnnntxtAtAtAtxnT2自振周期自振周期21Tn自振圆频率自振圆频率( (自振频率自振频率) )与外界无关与外界无关, ,体系本身固有的特性体系本身固有的特性A 振幅振幅初相位角初相位角mkTf211固有频率(HZ)其通解为其通解为tctctxnnsincos)(21由初始条件由初始条件0)0(xx0)0(xx可得可得01xc nxc/02txtxtxnnnsincos)(00sin0Ax cos/0Axn)sin()(tAtxn22020nxxA00tanxxn.假设 分析位移、速度和加速度之间的关系0tA

3、txnsin)()2sin()(tAtxntAtxnnsin)(2 1.速度的相位比位移超前 ，加速度的相位比速度超前222. max)(0)(, 0)(txtxtx 时得3.加速度大小与位移成正比，但方向总是与位移相反，即始终指向平衡位置.2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算1.1.计算方法计算方法(1)(1)利用计算公式利用计算公式mkn2(2)(2)利用机械能守恒利用机械能守恒常数)()(tUtT)(cos21)(21)(2222tmAtxmtTnn)(sin21)(21)(222tAktkxtUnmaxmaxUT.(3)(3)利用振动规律利用振动规律)sin()(tAt

4、xn)sin()(2tAtxnn )sin()()(2tmAtxmtInn 位移与惯性力同频同步位移与惯性力同频同步. .2nmAAk1kEIl)(tx2nmAA幅值方程幅值方程mkn2.例一例一. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. .31127nEImml11211()23222ll lll l lllEI EImlTn127223EIlEIl=1=1ll/2l解解: :EIl31272.2固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算.23lEI例二例二. .质点重质点重W,求体系的频率和周期求体系的频率和周期. .3113lEIkk解解: :EIkl11k111kk

5、33lEIgWm/gWlEIkn33. 并联时弹簧的等效刚度并联时弹簧的等效刚度 在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式，组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式，分别如图分别如图（a）和和（b）所示。所示。 弹性元件的组合弹性元件的组合)(1211xxkFs)(1222xxkFs)()()(1212212121xxkxxkxxkFFFeqsss所以等效弹簧刚度为所以等效弹簧刚度为2.2固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算.1neqiikk 串串联时弹簧的等效刚度联时弹

6、簧的等效刚度在图在图（b b）所示的串联情况下，可以得到如下关系所示的串联情况下，可以得到如下关系)(101xxkFs)(022xxkFs将将x0 消掉，可得消掉，可得)(12xxkFeqs12111kkkeq如果有如果有n 个弹簧串联时，可以证明有以下结论个弹簧串联时，可以证明有以下结论2.2固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算111neqiikk. 例例三 如图如图所示 ，一个半径为，一个半径为R R的半圆形薄壳，在粗糙的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动为简谐振动，计算振

7、子的固有频率。并证明此壳体的运动为简谐振动，计算振子的固有频率。 2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算.ccIM（a） 分析分析: :本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。程。 设壳体倾斜角为设壳体倾斜角为（如图（如图2-6），设），设c c 为壳体与粗糙表面为壳体与粗糙表面的接触点，在无滑动的情况下，壳体瞬时在绕的接触点，在无滑动的情况下，壳体瞬时在绕c c 点作转动。对点作转动。对c c 点取矩，可得系统的运动微分方程

8、。点取矩，可得系统的运动微分方程。 解：解：2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算.2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b） 其中，其中，I IC C为绕点为绕点 C C的转动惯量，的转动惯量， M MC C为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，设壳体的长度为单位长度，由图设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对，对于给定的于给定的，对，对C C点的恢复力矩点的恢复力矩M MC C 有如下有如下形式：形式：ccIM（a）2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算.2222222sinsincos2sincM

9、RdwgRdgRgR （b）2222322sin(1 cos )21 cos2(2cos )cIRRdmRdR（c）壳体对壳体对C 点的转动惯量为点的转动惯量为: 其中其中， dw是给定角是给定角位置的微元体重量，位置的微元体重量，是壳体单位面积是壳体单位面积的质量。的质量。 2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算. 当壳体作当壳体作小幅振动小幅振动时，即时，即很小时，引入近似表达式很小时，引入近似表达式sin，cos1 ， 并将（并将（b）、（）、（c）两式代入（）两式代入（a）中，得到中，得到: :32222RgR （d）02gR（e）2ngR（f）整理可得整理可得: （e）

10、式表明，当）式表明，当 很小时，系统运动的确象很小时，系统运动的确象简谐振子简谐振子，其，其自然频率自然频率为为: : ccIM （a）2.2 固有圆频率和周期的计算固有圆频率和周期的计算.例四例四. .求图示体系的自振频率和周期求图示体系的自振频率和周期. .222222max29)2(21)(21)2(21nnnnmllmlmlmT解解: :mkn95lmEImlllkk)(t1.1.能量法能量法2222max25)2(21)(21kllklkUmaxmaxUT2.2.列幅值方程列幅值方程ml22ml22ml2lklk2A 0AM0222222222lklllmlmllkllmlnn059

11、222klmlnmkn95.阻尼元件阻尼元件通常称为通常称为阻尼器阻尼器，一般也假设为无质量。，一般也假设为无质量。 常见的阻尼模型三种形式常见的阻尼模型三种形式: (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。内摩擦所致的滞后阻尼。 粘滞阻尼是一种

12、最常见的阻尼模型。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动. 在本书中，如无特别说明，所说的阻尼均指在本书中，如无特别说明，所说的阻尼均指粘滞阻尼粘滞阻尼，其阻尼力，其阻尼力Fd 与阻尼器两端的相对速度成正比，比例系数与阻尼器两端的相对速度成正比，比例系数 c 称为称为粘性阻尼系数粘性阻尼系数，它的单位为牛顿，它的单位为牛顿-秒秒/米（米（N-s/m），），阻阻尼器尼器通常用通常用c 表示。表示。2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF .0 xkxcxm

13、220nnxxxmkC2 mkn2()02ckxxxmm.stex 2.3 2.3 有阻尼单自由度体系自由振动有阻尼单自由度体系自由振动ns)1(22, 1.crCC )sincos(21tCtCexddtdnxxCxC00201;21ndncrmmkC22njs)1(22, 1.不同阻尼比下的响应SDT1_1(z,w,x0,v0,tf) 也输出单自由度也输出单自由度系统有阻尼自由振动的自由响应曲线系统有阻尼自由振动的自由响应曲线（二者输入参数不同）；（二者输入参数不同）； z,w 是系统是系统的阻尼比和固有频率（的阻尼比和固有频率（rad/s）；）；x0 和和 v0 初始条件，初始条件，tf是响应时间；是响应时间； 应应用举例用举例2：z=0.02, w=2, x0=1, v0=0, tf=100.)sin(tAexdtn20020)(dnxxxA000tgxxxarcnd.it1itDTt)(tyiA1iA)sin()(ddttAety21ndddT2dndininTTttiieAeAeAA)(1dniiTAA1ln22dn1ln21iiAAniiAAnln21.kN4 .160276. 012ln421)/(