线性代数期末复习课件超全学习教案

1、会计学1第一页，共553页。推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零则此行列式为零.性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式对应的元素上去，行列式不变不变计算行列式常用方法：利用运算把行列计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值值jikrr 第1页/共552页第二页，共55

2、3页。定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素(yun (yun s)s)与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即11221=,niiiiininikikkDa Aa Aa Aa A行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开(zhn ki)法则法则(Laplace 定理定理) ni, 2 , 1 性质性质 奇数阶反对称行列式等于零奇数阶反对称行列式等于零性质性质 范德蒙行列式的结构特点和结果范德蒙行列式的结构特点和结果第2页/共552页第三页，共553页。证明证明, 022 EAA由由 EEAA2 得得EEAA 2.,2,:, 022

3、并求它们的逆矩阵并求它们的逆矩阵都可逆都可逆证明证明满足方程满足方程设方阵设方阵EAAEAAA 例例.可可逆逆故故A1 A11.2AAE且 .,1 ABEBAEAB则则或或若若矩阵矩阵(j zhn)的逆的逆第3页/共552页第四页，共553页。)0( ,11时AAAEAAA)0( ,111时AAAAAAAnn)0( ,)()(111时AAAAAA性质性质(xngzh),EAAAAA.1AAA 112111222212nnijijnnnnAAAAAAAAaAAA其中，是对应的代数余子式第4页/共552页第五页，共553页。，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对

4、调两行或两列、)1( 1101111011),(jiEi第 行j第行第5页/共552页第六页，共553页。 0)2(乘某行或某列、以数k).()(0 kiEkriki矩阵矩阵，得初等，得初等行行乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第以数以数 1111)(kkiE行行第第 i第6页/共552页第七页，共553页。上去列加到另一行列乘某行、以数)()(0)3(k，列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(,(kkjiE行行第第i行行第第j第7页/共552页第八页，共553页。 定理定理 设设 是一个是一个

5、矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA第8页/共552页第九页，共553页。 ijrr变 换的 逆 变 换 是 其 本 身 ，1iirkrk变换的逆变换为()ijijrkrrk r 变换的逆变换为，1( ,)( ,) E i jE i j11( ( )( ( );E i kE ik1(, ( )(, () .E i j kE i jk性质(xngzh)：第9

6、页/共552页第十页，共553页。()AE性质：经过(jnggu)同样的行初等变换，,AE1EA同时，从而(cng r)，12,lP PP经变换1()EA用矩阵乘法表示21()lPP P AE2121()llPP PAPP PE1()EA求矩阵逆的方法11112112()llAPP PP PP同时，求矩阵的初等分解方法第10页/共552页第十一页，共553页。(2) ( )( )r Ar An 有无穷多解，定理(dngl)线性方程组有解 ( )r Ar A，且(1) ( )( )r Ar An，即列满秩有唯一解；自由(zyu)未知量个数为n r0,b 时( )r An唯一零解( )r An 无

7、穷多解，非零解0Ax即齐次线性方程组第11页/共552页第十二页，共553页。A若 为方阵，推论(tuln) 若,m nAmn，且0Ax 则一定有非零解；有唯一的解bAxA 00Ax 有唯一的零解00AAx 有无穷多解，或有非零解推论(tuln) 若,m nAAm，且秩( )=Axb则一定有无穷多解第12页/共552页第十三页，共553页。12121122:, 0mmmmA 给定向量组如果存在不全为零的实数,使定义定义(dngy(dngy) )则称向量组则称向量组 是是线性相关线性相关的，否则称它线性无关的，否则称它线性无关A(1)只有只有(zhyu) 时时, （1）式）式成立成立120m线性

8、无关的等价说法：线性无关的等价说法：或者（1）式成立时，必有）式成立时，必有120m123410010 ,1 ,0 ,20011 例如，第13页/共552页第十四页，共553页。例 含有(hn yu)零向量的向量组必线性相关.性质 若向量组的一个部分(b fen)组线性相关，则整个向量组也线性相关性质 若向量组线性无关，则其任意部分组也线性无关例 一个零向量形成的向量组是线性相关的，一个非零向量 是线性无关的.0a第14页/共552页第十五页，共553页。根据定义(dngy)，列出齐次线性方程组，由解的情况进行判断: 有唯一(wi y)零解 线性无关； 有非零解 线性相关；n12,s 推论 n

9、个 维向量12,n线性相关0A线性无关0A推论 1n 个 维向量n必线性相关推论 设n 维向量组，若12,s,sn则 线性相关第15页/共552页第十六页，共553页。121 :,:,.nnABbbA 设向量组线性无关 而向量组线性相关 则向量 必能由向量组线性表示 且表示式定是唯一的理第16页/共552页第十七页，共553页。1212,(1),(2)miiira aaaaa定义给定向量组 如果它的一个部分组满足如下条件： （I）向量组（2）线性无关； （II）向量组（1）中每个向量都可由向量组（2）线性表示. (即再添加(tin ji)任何一个向量都线性相关)则称向量组（2）为（1）的一个极

10、大(j d)线性无关组.定义定义 一个向量组中，它的极大无关组所含向量个数称为向量组的秩.推论推论 两个等价的向量组有相同的秩.第17页/共552页第十八页，共553页。向量(xingling)组的秩与矩阵的秩之间的关系：nTmTTmnmmnnnmaaaaaaaaaA2121212222111211定义定义 矩阵矩阵 的行向量组的秩称为的行向量组的秩称为(chn wi) 的行秩；的行秩； 的列向量组的秩称为的列向量组的秩称为(chn wi) 的的列秩列秩.AAAA向量组的秩与矩阵的秩互相转化向量组与矩阵互相转化第18页/共552页第十九页，共553页。上述定理还提供(tgng)了求向量组的秩的

11、方法：（1）将所给向量组中的各个向量作为(zuwi)矩阵的行向量（或列向量）得到矩阵 ；（2）将矩阵 施行初等变换化为如（7）形式的的矩阵.A（3）观察（7）知 ，则 即为所求向量组的秩.)(AR)(AR性质 初等行（列）变换不改变矩阵的行秩，列秩以及矩阵的秩A第19页/共552页第二十页，共553页。定理定理 矩阵矩阵 经初等行变换得矩阵经初等行变换得矩阵 ，则，则 与与 的行向量的行向量(xingling)组等价组等价, 且且 与与 的列向量的列向量(xingling)组组具有相同的线性相关性具有相同的线性相关性.AAABBB21100170323303011110103300110001

12、100000000000A所以(suy)215321431313132线性组合系数也相同的矩阵的初等变换：线性表示，线性相关性，求矩阵、向量组的秩，求极大无关组，求线性表示系数，求线性方程组的解等等第20页/共552页第二十一页，共553页。(2) ()( )( )R ABR AR B(3),()( )P QR PAQR A若可逆，则推论推论(tuln)3 给定给定AmsBsn为矩阵， 为矩阵,则(1) ()min ( )( )R ABR AR B，第21页/共552页第二十二页，共553页。定义 为一个向量空间(kngjin)，向量 满足Vr,21r,21（1） 线性无关(wgun)； （2

13、） 中任意一个向量都可由向量组Vr,21线性表出.则向量组 称为向量空间 的一个基，r,21V 称为向量空间 的维数，也称 为 维向量空间.rVVrdim Vr记 为基的实质：向量组 的一个极大无关组V第22页/共552页第二十三页，共553页。01 2AxS若有解，设解集合为 ，由性质 ，可得121212.SSSkRkS、若 ，则；、若，则.SS集合 对向量的加法和数乘两种运算是封闭的，构成一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间如何求解空间的维数和一组基？ :0Sx Ax第23页/共552页第二十四页，共553页。,100,010,00121 nrrxxxArArA设 的秩为 ，并不妨设

14、的前 个列向量线性无关，于是 的行最简阶梯形为1111100100000000n rrrn rbbbbB， 111112211211,2,rn rnrn rnrrrrn rnxb xbxxb xbxxb xbx ,21222121211121 rrnrnrnrrrbbbbbbbbbxxx第24页/共552页第二十五页，共553页。1 122rrnn r 12n rS， ， ，就是解空间 的一个基11121121222121221100010001n rn rrrrrn rrrrrnbbbbbbbbb或者称为齐次方程组的一个基础解系第25页/共552页第二十六页，共553页。0nAx 元齐次线性

15、方程组定理的解空间： 0R AnAx当时，方程组有唯一零解， 0R ArnAx当时，方程组有无数多个解，此时，方程组的任一解可以表示为1 122,n rn rxkkk12,.n rk kk，任意实数通解的向量表示(biosh)形式0S解空间 为 维向量空间，无基础解系；12n rn r基础解系含有个向量 ， ，Snr即解空间 的维数为第26页/共552页第二十七页，共553页。.上面的证明过程提供求方程组基础解系的方法1234123412342430,35640,.45230.xxxxxxxxxxxx例 求齐次线性方程组 的基础解系和通解A解将 通过初等行变换化为行最简阶梯形， 0000561

16、07801325446533421A . 056, 078432431xxxxxx1343423487,.65xxxx xxxx 为自由未知量令令3410,01xx ， 57,6821xx第27页/共552页第二十八页，共553页。从从而而得得基基础础解解系系为为128765,1001，dim( )2S 故方程组的通解向量形式为1 12212,.xkkk k，为任意实数第28页/共552页第二十九页，共553页。0,可以表示成00AxbAx其中 为的一个特解， 为的一个解Axb的任意解nAxb元齐次线性方程组定理的解： R AR ArnAxb当时，有无数多个解，方程组的全部解为：01 122,

17、n rn rxkkk12,.n rk kkR，通解的向量(xingling)形式120n rAx若 ， ， ，为的一个基础解系0Axb是的一个特解，则第29页/共552页第三十页，共553页。1234123412342431,35640,.45235.xxxxxxxxxxxx例 求 的所有解A解 将 通过初等行变换化为行最简阶梯形1243 11087535640016534523500000A，的的方方程程组组即即得得到到与与原原方方程程组组同同解解134234875,653.xxxxxx.653xxxx xxxx 自由未知量3400( 5,3,0,0)xx 令得一特

18、解：第30页/共552页第三十一页，共553页。令令3410,01xx ，1287,65xx得从从而而得得基基础础解解系系为为128765,1001，13423487,65xxxxxx 又导出组的一般解为于是所求方程组的全部解为：0112212,kkk kR，第31页/共552页第三十二页，共553页。(1) 写出系数矩阵(j zhn)及其增广矩阵(j zhn)；求解(qi ji)过程：(2) 初等行变换化增广矩阵为简化的阶梯型矩阵(4)写出对应的齐次导出组的基础解系;(3)写出原来的非齐次组的一个特解；(5)写出原来的非齐次组的一个通解。第32页/共552页第三十三页，共553页。第五章 特

19、征值特征向量矩阵特征值，特征向量的定义(dngy)及实质矩阵相似(xin s)的定义及相关性质相似对角化的条件，实对称矩阵特征值、特征向量的性质(3条)特征值，特征向量的具体求法实对称矩阵的正交相似对角化特征值的性质，与行列式、迹之间的关系第33页/共552页第三十四页，共553页。第六章 二次型二次型定义(dngy)，其与矩阵元素之间的关系矩阵的合同关系(gun x)，二次型的标准型，规范型复、实对称矩阵的合同（对角化）条件，正定矩阵的性质与判定定理：四条第34页/共552页第三十五页，共553页。OOOEr22212,rfzzz定理定理 复数域上任意一个二次型都可以经复数域上任意一个二次型

20、都可以经可逆线性替换转化成唯一可逆线性替换转化成唯一(wi y)的规范的规范形，即形，即定理定理 任意一个复对称矩阵任意一个复对称矩阵(j zhn)都合同于一个都合同于一个形式为形式为是原矩阵的秩。的对角矩阵，其中 r亦即推论推论 复对称矩阵彼此合同的充要条件是它们的秩相同第35页/共552页第三十六页，共553页。prp定理定理 实数实数(shsh)域上任意一个二次型都可经域上任意一个二次型都可经可逆替换转化成唯一的规范形。可逆替换转化成唯一的规范形。定义定义 二次型的规范形中，正平方二次型的规范形中，正平方(pngfng)项的个项的个数数 称之为二次型的正惯性指数；负平方称之为二次型的正惯

21、性指数；负平方(pngfng)项的个数项的个数 称之为二次型的负惯性指数，他们称之为二次型的负惯性指数，他们的差的差 称之为符号差称之为符号差rpprp2)(当然，正负惯性指数之和等于矩阵的秩或者二次型的秩。rp由秩 合正项个数 唯一决定推论推论 实对称矩阵彼此合同等价于它们的正负惯性指数是相同的第36页/共552页第三十七页，共553页。利用(lyng)向量空间 的思想120()sABB 1.若出现，则12,0sAx 将转化成的解 :0 x Ax *AAAA AA E2.条件中有 出现，考虑( )0)(_)f AAbEAbEE3.条件，求证(a可逆，则分解出(a的形式4. 条件要求确定参数的

22、取值，考虑(kol)是否有某行列式为零等等反之，向量组的求秩等运算也经常转化为矩阵之间的乘积运算第37页/共552页第三十八页，共553页。6.线性相关、线性无关的证明，多利用定义7.正定矩阵有关的证明，通常也是定义预先处理一下定义向量，则用若已知特征值或者特征A. 58.,ABBAABE涉及到的问题，考虑 即逆矩阵的定义第38页/共552页第三十九页，共553页。例例1.1. 设设(),(),ijm nijn tAaBb且且满足满足,ABO 证明：证明：()( ).r Ar Bn分析分析(fnx(fnx)：如果将矩阵如果将矩阵B看作列向量组，看作列向量组，即即12(,),tBB BB 那么那

23、么(n me)它的它的每一列每一列都是线性方程组都是线性方程组AxO 的解的解. 则则12( )(,)().tr Br B BBnr A第39页/共552页第四十页，共553页。证：证：将矩阵将矩阵B按列分块按列分块12(,),tn tBBBB 由由ABO 可知可知12(,)tABA B BB 12(,)tABABABO由此得到由此得到(1,2, ),iABO itiBAxO 是是方方程程的的解解, ,AxO 而而的的基础解系含有基础解系含有 个向量，所以个向量，所以()nr A ( )(),r Bnr A即即()( ).r Ar Bn第40页/共552页第四十一页，共553页。例例2.2.2

24、,nAAA若若 阶阶方方阵阵 满满足足证证明明: :()().r Ar AEn分析分析(fnx)(fnx)：利用利用(lyng)例例1的结果：的结果：2().AAA AEO由由得得 ()(),r Ar AEn再利用再利用(lyng)()()( ).r ABr Ar B证：证：22().AAAAOA AEO()().r Ar AEn因因此此有有第41页/共552页第四十二页，共553页。又因为又因为(),AEAE所以所以(suy)有：有：()()nr Er AEA()()r Ar EA即即()().r Ar AEn综上所述，综上所述，()().r Ar AEn 第42页/共552页第四十三页，共

25、553页。Ch1. 行列式行列式1. 排列排列(pili)的逆序数的逆序数 D=DT(23574)22. n阶行列式的定义阶行列式的定义(dngy)、余子式、代数余子式、余子式、代数余子式3. 行列式的性质行列式的性质(xngzh) 初等变换的三种变换对行列式值的影响初等变换的三种变换对行列式值的影响 行列式等于行列式等于0 0的判断条件的判断条件 行列式的加法行列式的加法第43页/共552页第四十四页，共553页。123123|,|,| 1223|,| 例例 设二维列向量设二维列向量(xingling)121212,(2,),A 12(,)B ，已知，已知|A|=6，求解，求解(qi ji)

26、|B|？ 展开展开(zhn ki)(zhn ki)定理定理 inknikikAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当ikikD0 , njnljljlAaAaAa2211 ），（当，（当）（当（当jljlD0 ,第44页/共552页第四十五页，共553页。4. 求解求解(qi ji)行列式行列式1112nnaaa 特殊特殊(tsh)行列式行列式11121222000nnnnaaaaaa112122112212000nnnnnnaaaa aaaaa n 21 .12121nnn 范德蒙行列式范德蒙行列式第45页/共552页第四十六页，共553页。 化三角形法（从上到下，从左到右）化三角形法

27、（从上到下，从左到右） 爪型行列式爪型行列式 展开定理展开定理(dngl)（针对含（针对含0较多的行列式）较多的行列式） 递推法、数学递推法、数学(shxu)归纳法归纳法第46页/共552页第四十七页，共553页。10220310020130120210310212123211)11D，求设BAAAAA,2,)232133解解312132,AAAA132cc B21cc 3213,AAA.63A3122132,AAAAAB其中第47页/共552页第四十八页，共553页。Ch2、3. 矩阵矩阵(j zhn)1. 矩阵矩阵(j zhn)的定义的定义一些特殊一些特殊(tsh)(tsh)的的矩阵：矩阵

28、：零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、对角阵、数量阵、单位阵对角阵、数量阵、单位阵第48页/共552页第四十九页，共553页。2. 矩阵矩阵(j zhn)的基本运算的基本运算矩阵矩阵(j (j zhn)zhn)相等相等: :同型矩阵同型矩阵(j zhn)(j zhn)：两个矩阵：两个矩阵(j zhn)(j zhn)的行数相等、列数也相等的行数相等、列数也相等两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元素相等矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵加（减）法、数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘：矩阵与矩阵相乘：乘法满足乘法满足);()(BCACAB );(),()()(为数为数其中

29、其中 BABAAB ;)(,)(CABAACBACABCBA 矩阵乘法不满足：矩阵乘法不满足：交换律、消去律交换律、消去律第49页/共552页第五十页，共553页。 A是是n 阶方阵，阶方阵， 个个kkAAAA 方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的幂：的幂：方阵方阵(fn zhn)的多项式：的多项式：0111)(axaxaxaxfkkkk 0111)(aAaAaAaAfkkkk Emkm kA AA kmmkAA 并且并且（m,k为正整数）为正整数）方阵方阵(fn zhn)(fn zhn)的的行列式：行列式：满足满足: : ;1AAT ;2AAn BAAB 3 04AABCB第50页/共

30、552页第五十一页，共553页。转置转置(zhun zh)(zhun zh)矩阵矩阵: :一些一些(yxi)特殊的矩阵特殊的矩阵: 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . . AAA满足满足(mnz)： ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 对称矩阵和反对称矩阵：对称矩阵和反对称矩阵：AAA ATTAA 是反对称矩阵是反对称矩阵是对称矩阵是对称矩阵幂等矩阵：幂等矩阵： 为为n阶方阵，且阶方阵，且A2AA 第51页/共552页第五十二页，共553页。伴随伴随(bn su)矩阵：矩

31、阵： nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111.EAAAAA |,.|AAA AAAA110(|).|(AAAAA 110| |.nAA1()()TTAA,()1,0,nr A 若若( );r An 若若( )1;r An若若( )1.r An第52页/共552页第五十三页，共553页。第53页/共552页第五十四页，共553页。3. 逆矩阵逆矩阵(j zhn)定义定义(dngy)：A为为n阶方阵，若存在阶方阵，若存在n阶方阵阶方阵,使得使得ABBAE则称矩阵则称矩阵A是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）是可逆的（非奇异的、非退化的、满秩的）矩阵矩阵B称为矩阵称为矩阵A的逆矩

32、阵。的逆矩阵。唯一性：唯一性： 若若A是可逆矩阵是可逆矩阵(j zhn)，则，则A的逆矩阵的逆矩阵(j zhn)是唯一的是唯一的.判定定理判定定理:n阶方阵阶方阵A可逆可逆0A11AAA 且且推论：推论：设设A、B为同阶方阵，若为同阶方阵，若,ABE 则则A、B都可逆，且都可逆，且11ABBA，第54页/共552页第五十五页，共553页。111111111, (0)()(), ()()TTAAAAAAAA 满足满足(mnz)规律：规律：逆矩阵逆矩阵(j zhn)求法：求法：（1）待定系数）待定系数(xsh)法法（2）伴随矩阵法）伴随矩阵法（3）初等变换法）初等变换法分块矩阵的运算规则与普通矩阵

33、的运算规则相类似分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似4. 分块矩阵分块矩阵第55页/共552页第五十六页，共553页。5. 5. 初等变换初等变换对换对换(du hun)(du hun)变换、倍乘变换、倍加变换变换、倍乘变换、倍加变换三种三种(sn zhn)(sn zhn)初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换初等变换矩阵矩阵(j zhn)的等价：的等价：如果矩阵如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵就称矩阵A与矩阵与矩阵B等价。记作等价。记作AB初等矩阵：初等矩阵： 由单位矩阵由单位矩阵E E经

34、过一次初等变换得到的方阵经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵称为初等矩阵. . 与矩阵的相似、合同相互比较与矩阵的相似、合同相互比较阶阶初初等等矩矩阵阵。乘乘一一个个相相应应的的的的右右边边相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换，对对阶阶初初等等矩矩阵阵；的的左左边边乘乘一一个个相相应应的的相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等行行变变换换，矩矩阵阵，对对是是设设nAAmAAnmA 定理：定理：第56页/共552页第五十七页，共553页。AXB 解矩阵解矩阵(j zhn)方程的初等变换法方程的初等变换法(A、B可逆可逆)(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换BAX1 矩阵

35、矩阵(j zhn)方程方程解解BAX1 BAX1 BCAX11 BAX BXA CAXB 第57页/共552页第五十八页，共553页。、秩（、秩（A）：）：A的不等于的不等于(dngy)0的子式的最高阶数。的子式的最高阶数。、秩的基本、秩的基本(jbn)关系式：关系式：BAABAAAAnmATnm秩秩秩秩秩秩秩,min3002;,min1、关于、关于(guny)秩的重要结论秩的重要结论： PAQAQPAAnmAnmQP秩秩秩秩则矩阵是阶可逆矩阵，阶、分别是、设矩阵的秩；矩阵的初等变换不改变21第58页/共552页第五十九页，共553页。、秩的求法：、秩的求法：1）初等）初等(chdng)变法：

36、变法：TA阶梯形2）若）若P可逆，则可逆，则 AAP秩秩 003AnAAAnAnA秩可逆阶方阵，则秩是设4 ),m nn pAB()( )( )r ABr Ar Bn当当 时，时，0AB ( )( )r Ar Bn0( )( )0Arr Ar BB5 )6) ()( )( )r ABr Ar B第59页/共552页第六十页，共553页。4) 矩阵矩阵(j zhn)秩的等式的证明秩的等式的证明（1）证）证( )( ).r Ar B 思路思路( )( )( )( )r Ar Br Br A （2）证）证( )( ).r Ar Bn思路思路0, ( )( ), ( )( )ABr Ar BnABkE

37、r Ar Bn 则则则则3) A有有r阶子式不为阶子式不为0所有所有r+1阶子式全为阶子式全为0 ( )r Ar第60页/共552页第六十一页，共553页。例如：例如：设设 为为 阶矩阵，阶矩阵，,A Bn1,ABAB E为为 阶单位矩阵。阶单位矩阵。n证明：证明：()()r EABr EABn证：证：()()EABEABEABABAB AB()EABA B1EB B 0EE()()r EABr EABn()()EABEAB2E ()()r EABr EABn综上，综上，()()r EABr EABn第61页/共552页第六十二页，共553页。 设设 A A、B B 都是都是 n n 阶方阵阶

38、方阵(fn (fn zhn)zhn)，则，则 2222)(BABABAa e成立时当,BAAB ABBAn1成立时当,BAAB BAABBAAB ABBAb 1:, 1AthenAIfc )(22BABABAd BAABe第62页/共552页第六十三页，共553页。 BARBAAR求，若此时求、例,011101110876565434321,4000064204321A可逆，B 2ARBAR解：解：R(A)=2第63页/共552页第六十四页，共553页。第64页/共552页第六十五页，共553页。一一. 向量向量(xingling)组的线性相关性组的线性相关性1. 向量向量(xingling)

39、间的线性运算：加法、数乘。间的线性运算：加法、数乘。2. 线性组合、线性表示线性组合、线性表示(biosh)(1) 判断向量判断向量 可由向量组可由向量组 线性表示的常用方法线性表示的常用方法 12,m 方法方法1：112210mmmkkkk 只要证出只要证出10,mk 就可得出就可得出1212111mmmmmkkkkkk ch4. 向量组的线性相关性向量组的线性相关性第65页/共552页第六十六页，共553页。(2) 在判断或证明中，常用在判断或证明中，常用(chn yn)到的两个重要结论到的两个重要结论结论结论(jiln)1：向量向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示 12,m 12

40、12(,)(,)mmrr 结论结论(jiln)2：若向量组若向量组12,m 线性无关，线性无关，而向量组而向量组12,m 线性相关，线性相关，则向量则向量 必能由向量组必能由向量组 线性表示，线性表示， 12,m 且表示式唯一。且表示式唯一。方法方法2： 证下列非奇次线性方程组有解证下列非奇次线性方程组有解AX 方法方法3：利用矩阵的初等行变换利用矩阵的初等行变换12(,)m 行最简形矩阵行最简形矩阵第66页/共552页第六十七页，共553页。(2) 利用利用(lyng)常用结论：常用结论：1个零向量线性相关；一个个零向量线性相关；一个(y )非零向量线性无关。非零向量线性无关。2个非零向量线

41、性相关个非零向量线性相关对应分量成比例对应分量成比例n1个个n维向量维向量(xingling)线性相关。线性相关。部分相关部分相关 整体相关；整体无关整体相关；整体无关 部分无关。部分无关。3. 线性相关性的判别方法线性相关性的判别方法(1) 一般方法：设数一般方法：设数12,mk kk使得使得11220mmkkk成立成立转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关；原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。 第

42、67页/共552页第六十八页，共553页。(3) 利用向量利用向量(xingling)组的秩判断：组的秩判断：设向量组设向量组12,m 的秩为的秩为r当当 时，时， 线性无关。线性无关。rm 12,m 当当 时，时， 线性相关；线性相关；rm 12,m 4. 极大极大(j d)无关组的选取或证明无关组的选取或证明(1) 初等变换法（最常用初等变换法（最常用(chn yn)）将列向量组写成矩阵将列向量组写成矩阵初等行变换初等行变换行阶梯或行最简形矩阵行阶梯或行最简形矩阵的一个极大无关组，的一个极大无关组，例如：例如：求向量组求向量组12345(1, 1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7

43、,14),(1, 1,2,0),(2,1,5,6)并把其余向量用该极大无关组线性表示。并把其余向量用该极大无关组线性表示。第68页/共552页第六十九页，共553页。解：解：124, 是一个极大无关组是一个极大无关组并且并且31251243111考虑：还有那些极大考虑：还有那些极大(j d)无关组？无关组？125134135, 初等行变换初等行变换10312103011301101101217250001142140600000A 一定要化成一定要化成(hu chn)最简型最简型不能用列变换不能用列变换第69页/共552页第七十页，共553页。(2) 极大无关极大无关(wgun)组的证明组的证

44、明方法方法1：利用：利用(lyng)定义定义12,r 线性无关；线性无关； 其它向量都可由其它向量都可由12,r 线性表示。线性表示。（即向量组中任意（即向量组中任意r+1个向量都线性相关）个向量都线性相关）方法方法2：已知已知12,r 是向量组是向量组A的一个极大无关组，的一个极大无关组，又又A中部分组中部分组12,rlll与与12,r 等价，等价，则则12,rlll也是也是A的一个极大无关组。的一个极大无关组。例如：例如：设设123, 是向量组是向量组A的极大无关组，且的极大无关组，且112321233123,2,23.证明证明 也是也是A的极大无关组。的极大无关组。123, 第70页/共

45、552页第七十一页，共553页。证明证明： （即证（即证 与与 等价）等价）123, 123, 112321233123, 2, 23.向量组向量组 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。123, 123, 11232123312, 2, 又又向量组向量组 可由向量组可由向量组 线性表示。线性表示。123, 123, 两个向量组等价两个向量组等价123, 也是极大无关组。也是极大无关组。第71页/共552页第七十二页，共553页。二二. 矩阵矩阵(j zhn)的秩、向量组的秩的求法的秩、向量组的秩的求法初等变换后，看非零行的行数。初等变换后，看非零行的行数。三三. 关于向量组的秩、矩阵关于

46、向量组的秩、矩阵(j zhn)的秩的证明的秩的证明关于向量组的秩的几个关于向量组的秩的几个(j )重要定理：重要定理：（1）若向量组）若向量组可以由向量组可以由向量组12,t 线性表示，则线性表示，则12,s 1212(,)(,)strr (2)(2)(三秩相等三秩相等) ) 矩阵矩阵A的秩的秩A的行秩的行秩A的列秩。的列秩。第72页/共552页第七十三页，共553页。第73页/共552页第七十四页，共553页。向量空间的概念：向量空间的概念： 向量的集合对加法向量的集合对加法(jif)及数乘两种运算封闭；及数乘两种运算封闭； 由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间子空间子空间(kngj

47、in)的概念的概念向量向量(xingling)空间的基，维数和坐标；空间的基，维数和坐标；求向量求向量(xingling)空间基和维数的方法；空间基和维数的方法； 求向量求向量(xingling)在给定基底下的坐标。在给定基底下的坐标。四四. 向量空间向量空间第74页/共552页第七十五页，共553页。五五. 正交化与正交矩阵正交化与正交矩阵(j zhn)1. 正交化、单位正交化、单位(dnwi)化化2. 正交矩阵正交矩阵ATA AE 1TAA A的的n个列（行）向量组为单位正交向量组个列（行）向量组为单位正交向量组1A TA也是正交矩阵也是正交矩阵是正交矩阵，则是正交矩阵，则 也是正交矩阵也

48、是正交矩阵,A BAB 第75页/共552页第七十六页，共553页。定理(dngl)1 设有非齐次线性方程组(1)0,XAnm 有解；则如果1,2ArAr 无解；则如果1,1ArAr 有惟一解；则有解时，如果1, nAr 有无穷多解；则如果1, nAr定理(dngl)2 设有齐次线性方程组（2）0XAnm设r(A)=r,则 仅有零解；则如果2,1nr 必有非零解；则如果2,2nr 必有非零解；则如果2,3nm 线性方程组的解法(ji f)与解的结构第76页/共552页第七十七页，共553页。定理(dngl)1 设有齐次线性方程组（2）0XAnm 必有非零解；方程组 21 则设, nrAr个解向

49、量；基础解系中含rn2可构成基础解系。个线性无关的解向量均任意rn3 的通解为：则的基础解系是设2,2,421rnRkkkkkkXrnrnrn,212211定理(dngl)2 设有非齐次线性方程组（1）0,XAnm 则如果设,nrArArrAr必有无穷多解；方程组AX1的通解为：则的基础解系是设的一个特解是设AXAXAXrn,0,221RkkkkkkXrnrnrn,212211第77页/共552页第七十八页，共553页。0XAnm0,XAnm ;02;01121的解向量也是的解向量也是AXkAX（2）（1）性质(xngzh)1 性质(xngzh)2 的解向量也是时，满足当的解向量是的解向量是A

50、XkkkkAXAX221121121,3;2;01121kk则：的解向量，是设,0,21RkAX则：的解向量，是的解向量设,0,2121RkkAXAX第78页/共552页第七十九页，共553页。第79页/共552页第八十页，共553页。1 1、特征值的求法、特征值的求法个特征值的就是，的根nAEAn2102 2、特征向量的求法、特征向量的求法riiXEA, 0,1得基础解系解对特征值所对应的特征向量为i不全为零rrrkkkk,111特征值和特征向量特征值和特征向量3、对角化、对角化(jio hu)看清看清(kn qn)要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。要求的是可逆矩阵还是正交矩阵。方阵方阵 与对角

51、矩阵与对角矩阵 相似的条件相似的条件: :A充要条件充要条件: :充分条件充分条件(chn (chn fn tio fn tio jin):jin):有有n 个个不同特征值不同特征值; ;或或 A为实对称矩阵为实对称矩阵第80页/共552页第八十一页，共553页。二次型二次型1、利用、利用(lyng)正交变换化为标准形的过程；正交变换化为标准形的过程；2、正定矩阵、正定矩阵(j zhn)的判别方法：的判别方法： 定义法；定义法； 利用特征值全大于零；利用特征值全大于零； 顺序主子式全大于零。顺序主子式全大于零。二次型化为标准二次型化为标准(biozhn)(biozhn)形形的矩阵的矩阵 与对角

52、矩阵与对角矩阵 合同合同. .Af求正交变换求正交变换PYX 化二次型为标准形化二次型为标准形找正交矩阵找正交矩阵, ,使使APPAPPT1),(21ndiag2222211nnyyyf第81页/共552页第八十二页，共553页。第82页/共552页第八十三页，共553页。第83页/共552页第八十四页，共553页。第84页/共552页第八十五页，共553页。上页下页结束返回首页线线 性性 代代 数数 复复 习习 课课 一、内一、内 容容 提提 要要 二、典二、典 型型 例例 题题 第85页/共552页第八十六页，共553页。上页下页结束返回首页一、内一、内 容容 提提 要要 v行列式的性质行

53、列式的性质(xngzh)性质性质2 行列式中某一行的所有行列式中某一行的所有(suyu)元素的公因子可以提到元素的公因子可以提到行列式记号的外面行列式记号的外面.性质性质1 行列式与它的转置行列式与它的转置(zhun zh)行列式相等行列式相等.性质性质4 对换两行对换两行, 行列式值反号行列式值反号. 性质性质3 若行列式某一行的元素都是两数之和若行列式某一行的元素都是两数之和, 则该行拆开则该行拆开, 原原行列式可以表为相应的两个行列式之和行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质性质6 把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去对应的

54、元素上去, 行列式的值不变行列式的值不变.性质性质5 若有两行元素对应成比例若有两行元素对应成比例, 则行列式值为零则行列式值为零. 设设 A, B 为为 n 阶矩阵阶矩阵, 则有则有 | AB | | A | | B | . 第86页/共552页第八十七页，共553页。上页下页结束返回首页一、内一、内 容容 提提 要要 vLaplace 按行列按行列(hng li)展开展开定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)的元素与其对应的元素与其对应(duyng)的代数余的代数余子式乘积之和子式乘积之和. 即即 1122|, (1,2, )iiiiininAa Aa Aa Ain1122|,

55、 (1,2, )jjjjnjnjAa AaAa Ajn 设设 A = (aij)为为 n 阶方阵阶方阵(fn zhn), 则有则有111,11,111,1,11jjnnn jn jnnnaaaaaaabba1212jjjnnAbAAbb第87页/共552页第八十八页，共553页。上页下页结束返回首页一、内一、内 容容 提提 要要 v伴随伴随(bn su)阵阵 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵(fn zhn), Aij 为为(i, j)元的代数余子式元的代数余子式, 记记112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA 称称 A 为方阵为方阵(fn zhn) A 的的转置转置伴随阵伴随阵

56、.v伴随阵的性质伴随阵的性质(1)|;nAAA AA E1(2)|.nAA 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵 A 的伴随阵的伴随阵, 则有则有第88页/共552页第八十九页，共553页。上页下页结束返回首页 如果如果(rgu) | A | 0, 那么那么, 称方阵称方阵 A 为非奇异矩阵为非奇异矩阵.v逆阵计算公式逆阵计算公式 非奇异非奇异(qy)矩阵矩阵 A 的逆阵为的逆阵为11|AAA v逆矩阵逆矩阵(j zhn) 如果存在矩阵如果存在矩阵 B, 使使 AB BA E那么那么, 称方阵称方阵 A 为为可逆的可逆的, 并称并称 B 为为 A 的逆矩阵的逆矩阵.v定理定理 设设 A, B 为为

57、 n 阶方阵阶方阵, 若若 AB E, 则则 A, B 可逆可逆, 且有且有11,.ABBA一、内一、内 容容 提提 要要 第89页/共552页第九十页，共553页。上页下页结束返回首页v逆矩阵逆矩阵(j zhn)的性质的性质 设 A, B 为 n 阶可逆矩阵(j zhn), 则有11(1)|;|AA 11(2)();AA 111(3)()(0);kAkAk111(4)();ABBA T11 T(5)()() ;AA 111(6)()().|AAAA 一、内一、内 容容 提提 要要 第90页/共552页第九十一页，共553页。上页下页结束返回首页v分块对角分块对角(du jio)阵的性质阵的性

58、质1diag(,).sAAA 1(1)|;sAAA (3) A 可逆的充分可逆的充分(chngfn)必要条件是必要条件是 Ai(i=1,s)都可逆都可逆, 且有且有1111diag(,)sAAA 一、内一、内 容容 提提 要要 1(2)diag(,);nsAAA 设设 Ai(i=1,s)都是方阵都是方阵(fn zhn), 设设 A, B 都是方阵都是方阵, 则有则有| |AAOABOBB 第91页/共552页第九十二页，共553页。上页下页结束返回首页 矩阵矩阵 A 与与 B 行等价行等价(dngji)的充要条件是的充要条件是: 存在可逆存在可逆矩阵矩阵 P, 使使 B = PA. 矩阵矩阵

59、A 与与 B 列等价列等价(dngji)的充要条件是的充要条件是: 存在可逆矩存在可逆矩阵阵 Q, 使使 B = AQ. 具体具体(jt)地有地有( ,)(,),rPEPAAcQQAAE一、内一、内 容容 提提 要要 v等价矩阵等价矩阵 如果矩阵如果矩阵 A 经过有限次初等经过有限次初等(行行, 列列)变换变换, 化为矩化为矩阵阵 B, 就称矩阵就称矩阵 A 与与 B (行行, 列列)等价等价, 记为记为 AB.第92页/共552页第九十三页，共553页。上页下页结束返回首页v行最简形矩阵行最简形矩阵(j zhn) 1 2(0)ra aa v行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵(j zhn) 一、内一、内

60、 容容 提提 要要 12000000000000raaa000000000000012000000000000raaa00000000000001110000第93页/共552页第九十四页，共553页。上页下页结束返回首页v矩阵矩阵(j zhn)的秩的秩 一、内一、内 容容 提提 要要 如果矩阵如果矩阵 A 的等价的等价(dngji)标准形为标准形为 rEOFOO 那么称那么称 F 中单位中单位(dnwi)阵的阶数阵的阶数 r 为矩阵为矩阵 A 的秩的秩, 记为记为 R(A). 性质性质1 等价矩阵有相等的秩等价矩阵有相等的秩.性质性质2 性质性质4 ()min, .m nR Am n 性质性