第三章线性系统的时域分析法ppt课件

1、第三章第三章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 4 高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析1 线性系统时间呼应的性能目的线性系统时间呼应的性能目的2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析6 线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。 由于时域分析是直接在时间域中对系统进展分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。 系

2、统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传送函数得到。 在初值为零时，普通都利用传送函数进展研讨，用传送函数间接的评价系统的性能目的。详细是根据闭环系统传送函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的1、典型输入作用1阶跃函数000)(tAttxr，A=1时称为单位阶跃函数 )()()( 1)(tutxttxrr，或stLsXr1)( 1 )(线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的2斜坡函数A=1时称为单位斜坡函数时称为单位斜坡函数000)(tAttt

3、xr，21( )rXss线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的3抛物线函数当当A=1/2A=1/2时，称为单位抛物线函数时，称为单位抛物线函数 000)(2tAtttxr，31)(ssXr线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的4脉冲函数 0(0)( )0 0(0)rAtx ttt ，01( )lim1rXsL当当A=1A=1时，称为单位脉冲函数时，称为单位脉冲函数t t1)( dtt线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的5正弦函数 用正弦函数作输入信号，可以

4、求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态呼应，由此可以间接判别系统的性能。( )sin()f tAtA为正弦函数的振幅；2f线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的2.2.动态过程和稳态过程动态过程和稳态过程动态过程又称为过渡过程或瞬态过程，指系统在典型输入信号作用下，系统输出量从开场形状到最终形状的呼应过程。稳态过程指系统在典型输入信号作用下，当时间t处于无穷时，系统输出量的表现方式。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的3.3.动态性能与稳态性能动态性能与稳态性能 1 1动态性能动态性能 通常以阶跃呼应

5、来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过程的时域性能目的。 描画稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间t的变化情况的目的，称为动态性能目的。为了便于分析和比较，假定系统在单位阶跃输入信号作用前处于静止形状，而且输出量及其各阶导数等于零。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的)(ydt2)(y 延迟时间延迟时间 ：dt输出呼应第一次到达稳态值的50%所需的时间。 上升时间 ：rt输出呼应第一次到达稳态值y()所需的时间。或指由稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的

6、性能目的 最大超调量(简称超调量) ：%100)()(%maxyyy式中： 输出呼应的最大值； maxy)(lim)(tyyt稳态值；输出呼应超越稳态值到达第一个峰值ymax所需求的时间。 峰值时间 ：pt瞬态过程中输出呼应的最大值超越稳态值的百分数。)(ymaxy)(02. 0)(05. 0yy或ptst线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法系统时间呼应的性能目的系统时间呼应的性能目的 调理时间或过渡过程时间调理时间或过渡过程时间 ：st当 和 之间的误差到达规定的范围之内普通取 的5%或2%，称允许误差范围，用D表示且以后不再超出此范围的最小时间。即当 ，有：)(ty)(y)(ystt

7、)52(%)(|)()(|或yyty2稳态性能稳态误差是描画系统稳态性能的一种性能目的，通常在阶跃函数、斜坡函数或加速度函数作用下测定或计算。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析1.一阶系统的数学模型 由一阶微分方程描画的系统称为一阶系统。其传送函数的特征方程是 s的一次方程。 一阶系统的微分方程为：其闭环传送函数为：11111)()()(TssRsCsKSSKSK式中， ，称为时间常数。KT1典型的一阶系统的构造图如下图)()()(trtcdttdcT)(sC-sK)(sE)(sR线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析一阶系统的时域

8、分析ssRttr1)(),( 1)(,111)(sTssCTteTssLsTsLth1111111)(110t这是一条指数曲线， 处斜率最大，其值为1/T，假设系统坚持此变化速度，在 t=T 时，输出将到达稳态值。而实践系统只能到达稳态值的0.632, 经过3T或4T的时间系统输出呼应分加别到达稳态值的0.95或0.98。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析一阶系统呼应的特点：1 t=T时，输出到达稳态值的0.632 t= 0时， 输出为0 t=时，输出到达稳态值1 t=T时，输出到达稳态值的0.632 t=3T时，输出到达稳态值的0.95 t=4T时，

9、输出到达稳态值的0.982t0时，呼应曲线的切线斜率为1/T, 切线与稳态值的交 点处的t=T。t添加,c(t)斜率下降。632. 01)(1eTh98. 01)4(4eTh95. 01)3(3eTh01)0(0eh11)(eh线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3过渡过程时间 ts=3T95， ts=4T984延迟时间 td0.69T5上升时间 tr0.22T tr=2.3T-0.1T=2.2T6特征根S=1/T，T越小，动特性越好，稳态特性也越好。TtetcdTtd69. 05 . 01)(线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析一

10、阶系统的时域分析TssRTssC11)(11)(TteTtctg1)()(单位脉冲呼应曲线也是一条指数曲线，在 时为 ；不难看出：单位脉冲呼应是单位阶跃呼应的导数，而单位阶跃呼应是单位脉冲呼应的积分。0T2T3T4Tt( )c t1T/1( )t Tc teT0tT1线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析3. 单位速度呼应单位速度呼应21)(ssRTsTsTssTssC/11111)(22TtTeTttc/)()(tr)(tct)(tr)(tcTess( )R s( )C sTs1系统输出：呼应曲线由两部分组成：稳态分量为t-T，它也是单位斜坡函数，但有时

11、间T的延迟，即稳态误差。瞬态分量为Te-t/T,以1/T的系数衰减到零。T越小，稳态误差也越小。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析4.一阶系统的单位加速度呼应31)(ssRTsTsTsTssTssC/11111)(233)1 (21)(/22TteTTtttc系统输出：因系统的跟踪误差为：2( )( )( )(1)tTe tr tc tTtTe上式阐明：跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析1.1.二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 以下图所示为规范方式的二阶系统的典型构造图

12、。开环传送函数为:sssGnn2)(22闭环传送函数为:2222)(1)()(nnnsssGsGs)2(2nnss)(sR)(sC- 称为典型二阶系统的传送函数，称为阻尼系数， 称为无阻尼振荡圆频率或自然频率。)(sn线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析122, 1nns特征根为： ，留意：当 不同时，极点有不同的方式，其阶跃呼应的方式也不同。它的阶跃呼应有振荡和非振荡两种情况。特征方程为： 当时当时 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无无)阻尼阻尼系统，系统的阶跃呼应为继续的等幅振荡。系统，系统的阶跃呼应为继续的等幅

13、振荡。0 当时当时 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称为欠阻尼系统，系统的阶跃呼应为衰减的振荡过程。为欠阻尼系统，系统的阶跃呼应为衰减的振荡过程。10 当当 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系统，系统的阶跃呼应为非振荡过程。统，系统的阶跃呼应为非振荡过程。10222nnss线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 当当 时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，时，特征方程有一对不等的实根，称为过阻尼系统，系统的阶跃呼应为非振荡过程。系统的阶跃呼应为非振荡过程

14、。12.2.二阶系统的单位阶跃呼应二阶系统的单位阶跃呼应1.闭环极点的分布二阶系统的特征方程为的取值不同,特征根不同。 1s21,2 nn 02s 22nns线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析s1s221nn位于平面的左半部1 欠阻尼有一对共轭复根10 s1s22 临界阻尼， ，两相等实根 s 1 1,2n21,21nnSj 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析s2s1s1 s2s2s13 过阻尼， ，两不等实根4 无阻尼， ，一对纯虚根5 ， 位于右半平面1s 1 21,2nnnj1,2s 0 1s 01- 2

15、1,2nnj线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃呼应如下表所示：单位阶跃呼应极点位置特征根阻尼系数单调上升两个互异负实根单调上升一对负实重根 衰减振荡一对共轭复根(左半平面 等幅周期振荡一对共轭虚根 无阻尼, 0njs2, 1欠阻尼, 1o22, 11nnjs临界阻尼，1)(2, 1重根ns过阻尼，1122, 1nns线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析可以看出：随着 的添加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有衰减

16、的正弦运动，当 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。可见 反映实践系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。1线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析21tgrdt一衰减振荡瞬态过程 ：) 10(0, )sin1(cos1)(2tttetcddtn 上升时间 ：根据定义，当 时， 。rtt rt1)(rtc1)sin1(cos1)(2rdrdtttetcrn0sin1cos2rdrdtt)1(121tgtdr线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析n21nj21njn 称为阻尼角，这是由于 。cos2211)(nntgdrt)1(

17、121tgtdr)1(21tg线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 峰值时间 ：当 时，ptptt 0)(ptc 0)cos(1)sin(1)(22pddtpdtntetetcpnpntgttgndpd21)(整理得：,.)2 , 1 , 0( ,nntpd0, )sin(11)(2ttetcdtn211tg其中0)cos()sin(pddpdntt00.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025tr tp由于 出如今第一次峰值时间，取n=1，有：dnpt21pt线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶

18、系统的时域分析 最大超调量 ：%100) 1)(%100)()()(%pptccctc故：%100%21emax)()(ctctcp得将峰值时间 代入21npt)sin1(cos1)(2maxpnpdtpttetccpn221211)sin1(cos1ee线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910102030405060708090100线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 调理时间 ：st可见，写出调理时间的表达式是困难的。由右图可知呼应曲线总

19、在一对包络线之内。包络线为1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne 根据调理时间的定义，当tts时 |c(t)-c()| c() %。%)1tgsin(1212tedtn211tnenst%)1ln(2当t=ts时，有：%12snte由于实践呼应曲线的收敛速度比包络线的收敛速度要快因此可用包络线替代实践呼应来估算调理时间。即以为呼应曲线的包络线进入误差带时，调整过程终了。1C(t)0tsts2111=5t211tne2111211tne线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析当 较小时，近似取： ，且1124912. 3)02. 0

20、ln(3996. 2)05. 0ln(时当时当52,3,4nnst所以0.10.20.30.40.50.60.70.80.91024681012141618202224=5的精确曲线=5的近似曲线 =2的近似曲线=2的精确曲线snt0.780.690.530.430.380.3040.230.19线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 振荡次数N：为阻尼振荡周期。式中df2t ,fsttN由分析知，在 之间，调理时间和超调量都较小。工程上常取 作为设计根据，称为最正确阻尼常数。 8

21、 . 04 . 0707. 021线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析q阻尼系数 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判别一个二阶系统的瞬态质量。在 的情况下瞬态特性为单调变化曲线，无超调和振荡，但 长。当 时，输出量作等幅振荡或发散振荡，系统不能稳定任务。1st0总结q在欠阻尼 情况下任务时，假设 过小，那么超调量大，振荡次数多，调理时间长，瞬态控制质量差。) 10(留意到 只与 有关，所以普通根据 来选择 。 %100%21e%q 越大， 当 一定时nnnst),3(4或stq为了限制超调量，并使 较小， 普通取0.40.8，那么超调量在25%1

22、.5%之间。st线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析阻尼系数、阻尼角与最大超调量的关系 =cos-1 % =cos-1 %0.184.2672.90.6950.278.4652.70.745. 574.60.372.5437.230.707454.30.466.4225.380.7820.56016.30.836.871.50.653.139.840.925.840.15线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析t1t2t3t4)(te )(tc )(tc)(te三、改善二阶系统呼应特性的措施二阶系统超调产生过程0,t1

23、误差信号为正，产生正向修正作用，以使误差减小，但因系统阻尼系数小，正向速度大，呵斥呼应出现正向超调。t1,t2误差信号为负，产生反向修正作用，但开场反向修正作用不够大，经过一段时间才使正向速度为零，此时输出到达最大值。t2,t3误差信号为负，此时反向修正作用，大，使输出前往过程中又穿过稳态值，出现反向超调。t3,t4误差信号为正，产生正向修正作用，但开场正向修正作用不够大，经过一段时间才使反向速度为零，此时输出到达反向最大值。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析t1t2t3t4)(te )(tc )(tc)(te二阶系统超调产生缘由0,t1 正向修正作用

24、太大，特别在接近t1 点。t1,t2 反向修正作用缺乏。减小二阶系统超调的思绪0,t1 减小正向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。t1,t2 加大反向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。 t2,t3减小反向修正作用。附加与原误差信号相反的信号。t3,t4 加大正向修正作用。附加与原误差信号同向的信号。 即在0,t2 内附加一个负信号，在t2,t4内附加一个正信号。减去输出的微分或加上误差的微分都具有这种效果。a. 输出量的速度反响控制)2(2nnsss-)(sR)(sC将输出量的速度信号c(t)采用负反响方式反响到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内反响回路。简称速度反响。)2(2

25、nnsss+-)(sR)(sCb. 误差的比例+微分控制以误差信号e(t)与误差信号的微分信号e(t)的和产生控制造用。简称PI控制。又称微分顺馈线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析为了改善系统性能而改动系统的构造、参数或附加具有一定功能的环节的方法称为对系统进展校正。附加环节称为校正环节。速度反响和速度顺馈是较常用的校正方法。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析一、典型三阶系统的瞬态呼应传送函数： ，当 时，极点分布如下： ) 1)(2(

26、)(222Tssssnnn10Tpjpjpnnnn1,1,1322211p2p3p021n21nn33222132232211)(2(1)()(psAssAsAsspssspsssCnnnnn式中： 与 实极点与共轭极点的位置关系有关。321,AAAnnp3,tpnntnteAteAteAtcnn3322222111sin1)1sin(1)(211tg式中：线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析分析：三阶系统的单位阶跃呼应由三部分组成：稳态项，共轭复极点构成的振荡分量，实极点构成的衰减指数项分量。影响瞬态特性的有两个要素：第一是 ，它表示 的相对位置。当

27、时，表示 离虚轴远， 离虚轴近，系统的瞬态特性主要由 决议，呈二阶系统的特性。反之，当 时，表示 离虚轴近， 离虚轴远，系统的瞬态特性主要由 决议，呈一阶系统的特性。第二个要素是阻尼系数 ，同前。如以下图所示： np3213, ppp和13p21, pp 21, pp 13p21, pp 3p10tn)(tc1 . 02图中， 表示无 极点，由图可见，参与极点 后，当 不变时，超调量下降了，但调理时间添加了。3p3p线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析012345678910111200.20.40.60.811.21.4线性系统的时域分析法线性系统的时

28、域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析二、高阶系统分析高阶系统的传送函数为：nmasasabsbsbsnnnnmmmm,.)(011011写成零极点方式：nmnnnsspszsksnjnlnlnlljmiig,2,)2()()()(211122112其单位阶跃呼应函数为：2112221021)(1)()(nlnlnlllnllnlllnjjjssspsasasssC线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析teteeaatclnltnlllnltnllnjtpjnllnllj2121101sin1cos)(221可见，c(t)不仅与 闭环极点有关，而且与

29、系数 有关这些系数都与闭环零、极点有关。所以，高阶系统的单位阶跃呼应取决于闭环系统的零、极点分布。nlljp,llja,q 对于闭环极点全部位于s左半平面的高阶系统否那么系统不稳定，极点为实数指数衰减项和共轭复数衰减正弦项的衰减快慢取决于极点离虚轴的间隔。远，衰减的快；近，衰减的慢。所以，近极点对瞬态呼应影响大。定性分析：线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析假设极点远离原点，那么系数小；极点接近一个零点，远离其他极点和零点，系数小；极点远离零点，又接近原点或其他极点，系数大。衰减慢且系数大的项在瞬态过程中起主导作用。q 系数 取决于零、极点分布。有以下几

30、种情况： llja, 存在一对离虚轴最近的共轭极点； 附近无零点； 其他极点距虚轴的间隔是它的5倍以上。主导极点：满足以下条件的极点称为主导极点。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析例如： 为某高阶系统的主导极点，那么单位阶跃呼应近似为：dnnjjp211112, 11)sincos()(110tteatcddt利用主导极点的概念可以对高阶系统的特性做近似的估计分析。q 在近似前后，确保输出稳态值不变；q 在近似前后，瞬态过程根本相差不大。 主导极点在c(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能目的主要由它决议。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶

31、系统。高阶系统近似简化原那么：线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析例如：)(2()()(222pssszssnnnzpndjdj假设：55nnpz以及那么：)2()(222nnnsspzspzpssszsssnnns)(2()(1lim2220pzpsszssnnns)2(1lim2220而阐明：假设输入为单位阶跃函数，那么化简前后的稳态值如下线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法高阶系统的时域分析高阶系统的时域分析线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析一、稳定的根本概念和线性系统稳定的充要条件 稳定是控制系统

32、的重要性能，也是系统可以正常运转的首要条件。控制系统在实践运转过程中，总会遭到外界和内部一些要素的扰动，例如负载和能源的动摇、系统参数的变化、环境条件的改动等。假设系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原来的平衡形状，并随时间的推移而发散。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制实际的根本义务之一。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析q 稳定的根本概念：q 设系统处于某一同始的平衡形状。在外作用的影响下，分开了该平衡形状。当外作用消逝后，假设经过足够长的时间它能回复到原来的起始平衡形状，那么称这样的系统为稳定的系统 。否那么

33、为不稳定的系统。q 线性系统稳定的充要条件：q 系统特征方程的根即传送函数的极点全为负实数或具有负实部的共轭复根。或者说，特征方程的根应全部位于s平面的左半部。 假设特征方程中有一个正实根，它所对应的指数项将随时间单调增长； 假设特征方程中有一对实部为正的共轭复根，它的对应项是发散的周期振荡。 上述两种情况下系统是不稳定的。 假设特征方程中有一个零根，它所对应于一个常数项，系统可在任何形状下平衡，称为随遇平衡形状； 假设特征方程中有一对共轭虚根，它的对应于等幅的周期振荡，称为临界平衡形状或临界稳定形状。 从控制工程的角度以为临界稳定形状和随遇平衡形状属于不稳定。线性系统的时域分析法线性系统的时

34、域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 对于一阶系统， 只需 都大于零，系统是稳定的。, 01001aasasa10,aa 对于二阶系统，2022112, 1012224, 0aaaaasasasa只需 都大于零，系统才稳定。负实根或实部为负210,aaa 对于三阶或以上系统，求根是很烦琐的。于是就有了以下描画的代数稳定性判据。留意：稳定性是线性定常系统的一个属性，只与系统本身的构造参数有关，与输入输出信号无关，与初始条件无关；只与极点有关，与零点无关。二、 劳思判据设线性系统的特征方程为那么该系统稳定的

35、充要条件为： 特征方程的全部系数为正值； 由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。00111asasasannnn劳思阵的前两行由特征方程的系数组成。第一行为1，3，5，项系数组成，第二行为2，4，6，项系数组成。04321ssssssnnnnn132132132153142gdddcccbbbaaaaaannnnnn线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析04321ssssssnnnnn132132132153142gdddcccbbbaaaaaannnnnn以下各项的计算式为： 132113121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab15411

36、5142nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab176117163nnnnnnnnnnaaaaaaaaaab线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析04321ssssssnnnnn132132132153142gdddcccbbbaaaaaannnnnn11231121311bababbbbaacnnnn11351131512bababbbbaacnnnn11471141713bababbbbaacnnnn线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析141413131312121211ccbbcdccbbcdccbb

37、cd依次类推。可求得,.)2 , 1,.(,igfeiii线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析例：特征方程为： ，试判别稳定性。0012233asasasa解：劳斯阵为：0123ssss000203120213aaaaaaaaaa稳定的充要条件为：0123,aaaa00321aaaav 均大于零v且线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析特殊情况下劳斯阵列的列写及结论：q 用一个正数去乘或除某整行，不会改动系统的稳定性结论；q劳斯阵第一列一切系数均不为零，但也不全为正数，那么系统不稳定。表示s右半平面上有极点，

38、极点个数等于劳斯阵列第一列系数符号改动的次数。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析012345ssssss0050093205905 .15 .0532411-1 3 0 21 0 0 329劳斯阵第一列有负数，系统是不稳定的。其符号变化两次，表示有两个极点在s的右半平面。例：系统的特征方程为：054322345sssss线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析q 劳思阵某一行第一项系数为零，而其他系数不全为零。 处置方法：用很小的正数 替代零的那一项，然后据此计算出劳斯阵列中的其他项。假设第一次零即 与其上项

39、或下项的符号相反，计作一次符号变化。例：0122234ssss01234sssss001002201)(002211122令 那么 故第一列不全为正，系统不稳定，s右半平面有两个极点。122,2222 0线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析q 劳斯阵某行系数全为零的情况。阐明特征方程具有大小相等而位置径向相反的根。至少要下述几种情况之一出现，如：大小相等，符号相反的一对实根，或一对共轭虚根，或对称于虚轴的两对共轭复根。例如:502548242)2)(25)(4(2345221ssssssss)4(22s处置方法：可将不为零的最后一行的系数组成辅助方程

40、，对此辅助方程式对s求导所得方程的系数替代全零的行。大小相等，位置径向相反的根可以经过求解辅助方程得到。辅助方程应为偶次数的。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析例：0161620128223456ssssss0123456sssssss000800031008300000161220161221620811 6 81 6 81 3 03 8 0 从第一列都大于零可见，好象系统是稳定的。留意此时还要计算大小相等位置径向相反的根再来判稳。由辅助方程求得：辅助方程为： ，求导得： ，或 ，用1，3，0代替全零行即可。08624 ss01243ss033s

41、s线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析0)4)(2(22ss2,2,4, 32, 1jsjs 此时系统是临界稳定的。控制工程上以为是不稳定的。线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算系统误差：输出量的希望值 和实践值 之差。即)()()(0tctct)(0tc)(tc系统偏向：系统的输入 和主反响信号 之差。即)()()(tbtrte)(tr)(tb系统稳态误差：当t时的系统误差，用 表示。即)(limttssss系统稳态偏向：

42、当t时的系统偏向，用 表示。即)(limteetsssse一、误差及稳态误差的定义)(sR)(sN)(sC)(2sG)(1sG-+)(sE-)(s)(0sC)(sB线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法线性系统的稳态误差计算线性系统的稳态误差计算偏向和误差之间存在一定的关系：)()()()()()()()()(0ssHsCsHsCsHsBsRsE我们将偏向 替代误差进展研讨。除非特别阐明，以后所说的误差就是指偏向；稳态误差就是指稳态偏向。 )(sE)(sR)(sN)(sC)(2sG)(1sG-+)(1sE)(sH-)(s)(0sC)(1sH)(1sR)(sE这里 是基于控制系统在理想任务情况下 得到的