八年级数学下册 怎样证明勾股定理素材 人教新课标版

1、证法1（梅文鼎证明）作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. D、E、F在一条直线上, 且RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90°， BED + GEF = 90°， BEG =180°90°= 90° 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC + CBE = 90° RtABC RtEBD, ABC = EBD. EBD

2、+ CBE = 90° 即 CBD= 90° 又 BDE = 90°，BCP = 90°， BC = BD = a. BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 a2+b2=c2      证法2（项明达证明）作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QPBC，交AC于点P. 过点B作BMPQ，垂足为M；再过点

3、 F作FNPQ，垂足为N. BCA = 90°，QPBC， MPC = 90°， BMPQ， BMP = 90°， BCPM是一个矩形，即MBC = 90°. QBM + MBA = QBA = 90°， ABC + MBA = MBC = 90°， QBM = ABC， 又 BMP = 90°，BCA = 90°，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证RtQNF RtAEF.即a2+b2=c2 证法3（赵浩杰证明）作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜

4、边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J在同一直线上， CJ=CF=a，CB=CD=c， CJB = CFD = 90°， RtCJB RtCFD ， 同理，RtABG RtADE， RtCJB RtCFD RtABG RtADE ABG = BCJ, BCJ +CBJ= 90°, ABG +CBJ= 90°, ABC= 90°, G,B,I,J在同一直线上， 所以a2+b2=c2 证法4（欧几里得证明）作三个边长

5、分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD. 过C作CLDE， 交AB于点M，交DE于点L. AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB的面积等于， GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 矩形ADLM的面积 =. 同理可证，矩形MLEB的面积 =. 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 即a的平方+b的平方=c的平方 证法5(欧几里得的证法)几何原本中的证明 在欧几里得的几何原本一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划

6、一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。 在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下： 如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。 其证明如下： 设ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAG

7、F和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 CAB和BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 CBD和FBA皆为直角，所以ABD等于FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以ABD 必须相等于FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB2。 同理可证，四边形 CKLE 必须

8、有相同的面积 ACIH = AC2。 把这两个结果相加， AB2+ AC2; = BD×BK + KL×KC 。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2 + AC2= BC2。 此证明是于欧几里得几何原本一书第1.47节所提出的 证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法） 如图1，RtABC中，ABC=90°，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下： 1）（BD）2;=AD·DC， （2）（AB）2;=AD·AC ， （3）（BC）2;=CD