2012年陕西专升本高数真题+解答

1、2021年陕西省普通高等教育专升本招生测试(样题)高等数学考前须知：全卷共10页,总分值150分.测试时间150分钟.其中试题3页,用钢笔或 圆珠笔直接答在做题纸上,答在试卷上的答案无效.一、选择题：本大题共5小题,每题5分,共25分.在每题给出的四 个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的,请将选好的答案填在做题纸上题号所 在的位置上.1.x 0是函数f(x)的1 2A.可去间断点B.跳跃间断点 C.振荡间断点D.连续点2.设函数f(x)x0(t 1)dt,那么 f(x)有A.1极大值-21B.极大值-23.设函数f(x)的导函数为sinx.A.1 si nxB. 1 sinx4.不定积分x

2、 xe(12dx x)1 2 * * 5C.极小值-2D.极小值那么f(x)有一个原函数为【AC. 1 cosxD. 1 cosx【A【D】xxB. C1 xC.D.xe(15.无穷级数1)n15pn1B.当p -时,为绝对收敛51D.当0 p -时,为发散的5、填空题：本大题共5个小题,每题5分,共25分.将答案填在做题纸上题号所在的位置6.设函数f(x)x2 x 2,1 x,那么 f(f(1)5.17.极限limox sin xsin x8.a 0 ,当x0时,eax ax 1与1 cosx是等价无穷小,那么常数a 1.d x 2239. f(t)dt3x2 f (x3 2).dx 时,f

3、 (x) 0 ;当 1 x 5 时,10. 微分方程y y 0的通解为y y C1 cosx C2 sinx三、计算题：本大题共10个小题,每题8分,共80分.计算题要有计算过程11求极限叽ln(1 sin 2x)ex2解:limln(1 sin 2x)ex2.2 sin x lim2x 0 x212.x设参数方程ya(ta(1sint)确定了函数cost)y(x),求 兽.dy解：由于史dta si ntsi ntdxdxa(1 cost)1 costdt(4分)d2yd(dy)1cost(1cost) sin2t1dx21dt()dxdx(12cost)a(1 cost)dt所以12a(1

4、 cost)(8分)13. 求函数f(x) (x 10)3 (x 5)2的单调区间和极值(3分)解：f (x) V(x 5)2 (x 10) 2(x 5) 3 53x 1)337 x 5f (x)0;当 x 5 时,f (x)0.所以(6分)f(x)的单调增区间为(,1,5,);单调减区间为1,5；2f(x)在x1处取得极大值f( 1) 9 6',在x 5处取得极小值f(5) 0 (8分)214. 求不定积分 (x31nx2)dx .1 x2解：(x31 n x)dx1 x4 1n xdx41x41nx41(1 -)dx 1 xx3dx x arctanxx4lnx x4 x arct

5、anx C41615.设函数zf( (xy),xy),其中f具有二阶连续偏导数(2分)(6分)(8分)二阶可导,求解：丄f1(xy) y f2 yx2z(f11(xy)x f12 x) (xy)y £ ( (xy)xy(xy)x y(f21(xy)x f22 x)y f2(4分)(8分)2z x16.求空间曲线在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程xyz 11解：曲线方程x t,y -3,z t2,t 1对应点为(1,1,1)由于dx 1 ； dy3t4 ；dz dt2tdtdt叫1 1%13%1 2所以dtdt；dt所求切线方程为x1 y1 z1132法平面方程为(x1) 3(

6、y 1)2(z1) 0即x 3y 2z 0(2分)(4分)(6分)(8分)17.计算二重积分I 3 x2 y2dxdy,其中积分区域D : x2 y2 9.D2解：法一 I 3 dxdy 0 dD23 23 三 3r3dr 23r3 |30 8法二：13x y2 dxdy 43 x2DD128303 38r312743923r3rdr0(4分)27 394(8分)3 2y dxdy 4 ：d or3rdr18.计算对坐标的曲线积分 ？(x2xy3)dx (y2 2xy)dy,其中L是四个顶点分别为(0,0) , (2,0) , (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界解：设 P(x, y)

7、 x xy , Q(x, y)y2 2xy, L所围区域为D,且0x2,由格林公式,得23?L(xxy )dx(y22xy)dyD(卫xP)dxdy y(4分)19.将函数f(x)解:f(x)2dx020(20( y22y 3xy )dyxy3)| 2dx0( 4 8x)dx 8(6分)(8分)x展开为麦克劳林级数x24(2分)(6分)(8分)它的特征方程为2r 5r 60特征根为ri 2 , r23 .于是所给方程对应的齐次方程的通解为(3分)设非齐次方程的特解为y x(ax b)e2x代入方程,得2 ax 2a b x1解得a 0, b 1所求特解为12xy x(尹 1)e2x从而所求非齐

8、次方程的通解为y(x)2x3x 122 xGeC2e(x 2x)e(5分)(6分)(8分)Y(x) Cie2x C2e3x四、证实题和应用题：本大题共 2个小题,每题10分,共20分.计算题 要有计算过程,证实题要有证实过程21. 设函数f(x)在a,b上的连续函数,且f(x) 0xx 1F(X) af(t)dt b 帀dt求证：F (x) 2 ; 方程F(x) 0在(a,b)内仅有一个实根1 12证实： F(x) f(x)(、. f(x) =)22(5 分)f(x)Jf(x) 由于F(x)在a,b上是单调增加函数所以方程F(x)0在(a,b)内最多只有一个根.F(a)'dt 0, F(b)b f (t)baf(t)dt 0(8分)根据零点定理,方程F(x) 0在(a,b)内至少有一个根综合以上可知,方程F(x)0在(a, b)内仅有一个实根(10 分)-x322. 求抛物线y x2 4x 3及其在点(0, 3)和(3,0)处的切线所围成的图形 的面积.解：由于y 2x 4(2分) 所以曲线在(0, 3)处切线方程为y 34(x 0)即y 4x 3曲线在(3,0)处切线方程为y 02(x 3)即y 2x 63由于两切线交点为(-,3)2所以,所求面积为3:(4x 3) ( x2 4x 3)dx；