空间解析几何与向量代数综合复习(共26页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上空间解析几何与向量代数一、向量代数（）有关空间直角坐标系下点坐标的问题。1（4¢）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A) (B) (C) (D) 解：（A） （B） （C） （D）2（6¢）若，则中点坐标为， 5 .3.（7¢）求点关于（1）各坐标面（2）各坐标轴（3）坐标原点的对称点坐标。 解：（1）（2）（3）4（4¢）若点的坐标为，则向径用坐标可表示为或.5（8¢）一边长为的立方体放置在面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在轴和轴上，求它各顶点的坐标。解：6（7¢）已知，且，求（1）；

2、（2）线段的中点坐标。解：（）有关向量概念及向量线性运算的坐标表示。7（8¢）设已知两点和，计算的模、方向余弦、方向角及单位向量。解：（1）模2，（2）（3）8（6¢）若为向量的方向角，则 1 ； 2 .9.（6¢）设，和，求向量在轴上的投影及在轴上的分向量。解：（1）13， （2） ( 10（6¢）已知点的向径为单位向量，且与轴的夹角为，另外两个方向角相等，求点的坐标。解：11.（6¢）已知向量与各坐标轴成相等的锐角，若，求的坐标。解：因为，所以 同理，故（）向量的数量积与向量积及其坐标运算。12（4¢）下列关系式错误的是-（ D

3、）(A) (B) (C) (D) 13（7¢）设，求与解： ， 14.（7¢）设，求解：（）用向量的坐标来判断向量间的特殊位置关系，会求一向量在另一向量上的投影。15确定下列各组向量间的位置关系：（1）（4¢）与 （2）（4¢）与 16（7¢）求向量在向量上的投影。 解：（）用向量积来计算有关平行四边形和三角形的面积问题。17（7¢）已知：，求的面积。 解：18（7¢）三顶点在平面直角坐标系中的坐标分别为，则如何用向量积的方法来求出的面积？ 解：19（7¢）试找出一个与同时垂直的向量。 解：=、综合应用题型：（）涉

4、及到代数向量（即用坐标表达式表示的具体向量）的综合计算问题。20（10¢）已知三点，（1）求；（2）求与同时垂直的单位向量。 解：（1） ， 故 （2）21（8¢）已知，试在轴上求一点，使的面积最小。解：设， 二、平面方程（）三点式平面方程的求法，根据一般式方程指出平面的特殊位置。26（7¢）求过三点的平面方程。若不共线，你能给出过此三点的平面方程吗？解： 因为平面的法向量为 故 27指出下列平面方程的位置特点，并作示意图：（1）（5¢）； （2）（5¢）； （3）（5¢）解：（1）过点且平行于坐标面的平面。 过轴且垂直于坐标面的平面

5、。 （3）截距分别为的平面。（）二平面垂直与平行的判定。28判定下列两平面之间的位置关系：（1）（4¢）与 （2）（4¢）与解 （1）平行； （2）垂直 （）二平面夹角的计算（夹角规定为0,）。29（4¢）求两平面和的夹角。解：， 故 （）点到平面距离的计算。30（4¢）点到平面的距离31（7¢）求与之间的距离。解： 在上取一点，由点到平面的距离公式得 （）用点法式方程建立与已知平面有关的未知平面方程32求满足下列条件的平面方程：（1）（7¢）平行轴，且过点和解： 设所求平面为 ，将代入得 故所求平面为 （2）（7¢）过点且

6、平行于平面解： ，即 （3）（7¢）过点和且垂直于平面解：所求平面为，于是有 ， 解得， 即三、直线方程（）两点式直线方程的计算。33（4¢）过点的直线方程为 （）一般式方程转化为对称式方程。34（7¢）用对称式方程及参数式方程表示直线解：，取 得 故直线的对称式方程为 直线参数式方程为 （）两直平行或垂直的判定。35. 判别下列各直线之间的位置关系：（1）（4¢）与解：， 所以 （2）（4¢）与解：， 所以 （）点到直线距离的计算36（7¢）求原点到的距离。解：方法（1）化为参数方程 点（0，0，0）到直线上任意点的距离为（参数为的

7、点） 方法（2）过点（0，0，0）与且直线垂直的平面方程为 将直线化为参数式方程为代入直线的垂面方程，得 所以（0，0，0）在直线上的垂足为 所求距离为四、平面与直线综合题（）直线与平面的交点计算。38（5¢）求直线与平面的交点。解：（1）令 代入平面得 ， 所求交点为 （）已知点在已知平面的投影计算。39（7¢）求点在平面上的投影。解：过且与垂直的直线方程为代入得，故在平面上的投影为（）直线与平面特殊位置关系的判定。40（4¢）设与，则-（ C ）（A） （B） （C） （D）与夹角为（）涉及线面关系的综合计算。41（7¢）求过点且与直线垂直的平面方程

8、。解：所求平面方程为 即42（7¢）求过点且与两平面和平行的直线方程。解：直线的方向向量为 故所直线方程为 43（7¢）求过点且通过的平面方程。解：在直线上取一点，所求平面方程为 即 44（7¢）已知直线，直线，求过且平行的平面方程。解： 在上任取一点，故所求平面方程为 即（）已知点在已知直线上的投影问题。45（7¢）求点关于直线的对称点。解：直线的参数方程为 .(*) 过点与且直线垂直的平面方程为 .(*) 将(*) 代入 (*) 即得垂足为， 由得（）已知直线在已知平面上投影直线方程的计算。46（7¢）求直线在平面上的投影直线方程.解： 过

9、直线的平面束方程为 即 由得 故直线在平面上的投影直线方程为第七章 测试题一、选择题1. 点关于轴的对称点坐标为-（ ）（A） （B） （C） （D）2. 下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角-（ ）（A） （B） （C） （D）3. 平面与面夹角为-（ ） （A） （B） （C） （D）4. 直线与平面的位置关系为-（ ）（A）平行 （B）垂直 （C）斜交 （D）在平面上二、填空题1. 过点且与坐标面平行的平面方程为 2. 若，则 3. 点到平面的距离为 三、计算题1. 设求解：3. 求点在平面上的投影。解：过点且与平面垂直的直线方程为：其参数方程为 代入平面方程得 故投影为4. 求的值，

10、使直线与直线相互垂直。 解： 令 得 四、（9分）求平面被三个坐标平面所截得的三角形面积（），并求该平面与三个坐标平面所围的立体体积。解：点到平面的距离为 五、求过点且与直线平行的直线方程。解：对于直线 令其方向向量 故所求直线方程为 。六、求证：直线包含在平面之内。解：直线的方向向量为 直线平行于平面可求得点在直线上，且在平面内，故直线包含在平面之内。七、求点关于直线的对称点坐标。解：过点且与直线垂直的平面方程为： 而直线的参数方程为 代入平面方程（）得： 故平面与直线的交点为 由中点坐标公式得：点关于直线的对称点坐标为 重积分（）涉及重积分性质的客观题。1（5¢）利用二重积分的估

11、值定理估计，其中解：因为 在内 ， 故 2（5¢）设是以点及为顶点的三角形区域，试比较与的大小。解：易知，当时，故 所以 3记忆以下二重积分奇偶对称性性质：（1）当积分域对称于轴时，令是关于轴某一侧的部分，为上的连续函数，则有（2）当积分域对称于轴时，令是关于轴某一侧部分，则有（3）当积分域关于原点对称时，若，则有4利用二重积分奇偶对称性性质解下列各题：（1）（4¢）设，则下列各式成立的是-（ A,D ）（A） （B）（C） （D）(2)（4¢）设，则 0 .（）涉及二重积分交换次序的客观题。5改变下列积分的积分次序：（每题6分）（1） （2）（3）（4）解：(1

12、) (2) (3) (4) （）直角坐标下简单的二重积分计算。8计算下列二重积分：（1）（7¢），其中是顶点分别为和的三角形闭区域。解：（2）（7¢），其中是由两条抛物线所围成的闭区域。解：（3）（7¢），其中是由直线及曲线所围成的闭区域。解：（4）（7¢），其中是由及所围成的闭区域。解： 因为 所以 、综合应用题型：（）换次序后的二重积分计算。9求下列二重积分：（1（7¢） 解： （2）（7¢）解：（）极坐标下简单的二重积分计算。10计算下列二重积分（用极坐标）：（1）（7¢），其中是由圆周所围成的闭区域。解： （2）（7

13、¢），其中是圆环形闭区域 解：（3）（7¢），其中是位于第一象限由圆周，与轴所围成的扇形闭区域。解：=测试题一、选择题1. 令，则-（ B ）（A） （B） （C） （D）2. ，则-（ C ）（A） （B） （C） （D）大小无法比较3. 设，则有（ C ）（A） （B）（C） （D）4. 设由轴，直线及曲线围成，则=-（ C ）（A） （B）（C） （D）5. 以二重积分为极坐标下的二次积分，由及围成，正确的是-（ C ）（A） （B）（C） （D）二、填空题1. 若，则用估值定理，可估计出的取值范围为 2. 改换次序的正确形式为 三、计算题1. 求，由及与x轴所围。解

14、：（舍去） =2. 求，其中解：3. 改变的积分次序并求值。解： = 无穷级数一、常数项级数（）无穷级数基本性质的客观题。1是非题：（每题4分）（1）收敛，则，反之亦然。（ ）（2）收敛，发散，则必发散。（ ）（）涉及等比级数和级数敛散性的客观题。2（4¢）下列级数收敛的是-（ C ）(A) (B) (C) (D) 3（4¢）下列级数收敛的是-（ D ）（A） （B） （C） （D）（）运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。4判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1） （2） （3） （4）解：（1）解： 发散 发散。（2）解： 收敛 收敛 。（3）解： 发散

15、发散。（4）解： 收敛 收敛 。（）运用比值审敛法判别正项级数敛散性的题型。5判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1） （2）（3） （4）（5）,你能求吗？（1）解： 收敛 。（2）解： 发散 。（3）解： 收敛 。（4）解： 收敛 。（5）解： 收敛 =0（）运用莱布尼兹定理判别交错级数敛散性的题型。6判别下列级数的敛散性。若收敛，请指明是绝对收敛还是条件收敛？（每题7分）（1） （2）（3）解：（1） 绝对收敛 。 （2）条件收敛。 （3）条件收敛。（二、幂级数（）幂级数收敛半径、收敛区间、收敛域的求法。13（4¢）设幂级数在处收敛，在处发散，则该幂级数的收敛域为 14求下列幂

16、级数收敛半径、收敛区间及收敛域：（每题7分）（1） （2） （3） （4） 15求下列幂级数收敛半径、收敛区间及收敛域：（每题7分）（1） （2） （3） （4） （）利用的麦克劳林展开式将一些简单的函数用初等方法展开成幂级数。16填空题：（1）（4¢） 的麦克劳林展开式为 .（2）（4¢） 的麦克劳林展开式为 .17将下列函数展开为的幂级数，并指出展开式成立的区间：（每题7分）（1） （2）（3） （4）解：（1）= （2）=（3）= （4）= = = = 18将下列函数在指定点处展开成的幂级数，并指出展开式成立的区间：（1）（7¢）， （2）（7¢）

17、，解：（1）=（2）=、综合题型：（）求幂级数的收敛域，并利用逐项求导，逐项积分或初等方法求幂级数的和函数，并由此确定某些常数项级数的和。19（7¢）求幂级数的收敛域，并求其和函数，并计算解：幂级数的收敛域为 当时，= = 故20（7¢）求幂级数的收敛域，并求其和函数，并计算解：幂级数的收敛域为（）= =21（7¢）求幂级数的收敛域，并求其和函数，并计算解：幂级数的收敛域为= =测试题一、选择题1. 是数项级数收敛的-（ B ）（A）充分但非必要条件 （B）必要但非充分条件（C）充分且必要条件 （D）既不充分也不必要条件2. 级数收敛的条件是-（ D ）（A） （B） （C） （D） 3. 下列级数中收敛的是-（ C ）（A） （B） （C） （D） 4. 当时，级数是-（ A ）（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）敛散性与值有关5. 若