2018年数学选修2-2模拟题Ⅲ

1、2018年数学选修2-2模拟题田单选题(共5道)1、k (k>3, kCN*)棱柱有f (k)个对角面，则(k+1)棱柱的对角面个 数f (k+1)为Af (k) +k-1Bf (k) +k+1Cf (k) +kDf (k) +k-22、用数学归纳法证明不等式一+叶；>： (n>2)时的过程中，由n=k到nw k+1时，不等式的左边()A增加了一项许B增加了两项-+_D增加了一项衣土，又减少了一项占3、已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设 n=k (k>2,且k为 偶数)时等式成立，则还需利用归纳假设再证()An=k+1时等式成立Bn=k+2时等式成立Cn=2k

2、+2时等式成立Dn=2 (k+2)时等式成立4、用数学归纳法证明不等式 2n>n2时，第一步需要验证n0=()时,不等式成立A5B2和4C3D15、函数y=x2cosx的导数为Ay' =2xcosx x2sinxBy' =2xcosx+x2sinxCy' =x2cosx 2xsinxDy' =xcosx x2sinx简答题(共5道)6、设函数/*/+；凯,(1)若曲线r-八可与x轴相切于异于原点的一点，且函数 广 的极小值 为-孑，求明。的值；(2)若 4口 且一+仃 匚 ，J=L +2 JL( +1 X ，求证：求证：FGO在。D上存在极值点.7、已知数

3、列an中，=当 n>2 时，3an+1=4an-an-1(n C N*),(I)证明：an+1-an为等比数列;(H)求数列an的通项；(田)若对任意nCN*有 入ala2a3an1(入C N*)均成立，求 人的最小值。8、求证：32n+2-8n-9 (nCN*)能被 64 整除.9、设M是由满足下列条件的函数f (x)构成的集合：”方程f (x) -x=0 有实数根；函数f (x)的导数f' (x)满足0<f' (x) <1"(I)证明：函数f (x)号* (0<x<7)是集合M中的元素；(II )证明：函数f (x) =4(0&

4、;x<:)具有下面的性质：对于任意m, n ? 0 ,；),者B存在 xoC(m,n),使得等式 f (n) -f(nj)=(n-m)f'( xo)成立.(III )若集合M中的元素f (x)具有下面的性质：若f (x)的定义域为D, 则对于任意m, n?D,都存在xoC ( m, n),使得等式f (n) -f (nj) = (n-m) f' (xo)成立.试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f (x),方程f (x) -x=0只有一个实数根.10、用数学归纳法证明：12-22+32-42* + (-1 ) -1?n2= (-1) 41个普填空题(共5道)1/文，_t

5、011、已知a=”(ex+2x) dx(e为自然对数的底数)，函数f (x)=贝U f (a) +f (log2：) =.12、设函数 f (x) =/x2x (t-1 ) dt ,贝U f' (x) =.13、由曲线y4，直线y=-x+:所围成的封闭图形的面积为 14、由三条直线x=0, x=2, y=0和曲线y=x3所围成的图形的面积为 15、匕 |x+2|dx= .1-答案：A2-答案：tc解：当n=k时，左边的代数式为+/7+；1, 当n=k+1时，左边的代数式为工+石二，故由n=k到nwk+1时，不等式的左边增加了两项+ +丈+22A + I.1 , 又减少了一项 . 故选：

6、 C.23+ 1）A + 13-答案：tc解：若已假设n=k （k>2, k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所 以还需要证明n=k+2成立.故选：B.4-答案：tc解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合 本题，要验证n=1时，左=21=2,右=12=1, 2n>n2不成立，n=2时，左=22=4, 右=22=4, 2n>n2 不成立，n=3 时，左=23=8,右=32=9, 2n>n2 不成立，n=4 时， 左=24=16,右=42=16, 2n>n2 不成立，n=5 时，左=25=32,右=52=25, 2n>n2 成立，

7、因为n>5成立，所以2n>n2何成立.故选A.5-答案：Ai-答案：（i）Yw. 在陋i）上是存在极值点试题分析：分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数广邛有一个极大值0和一个极小值,有一个重根, 则对，但因式分解会得到完全平方式,即F3提取x的公因式后,剩下二次式的判 别盘=0,得到a,b之间的关系式，再根据极小值为 ，则求导求出极小值点,得 到关于a,b的另外一个等式，即可求出a,b的值.（2）对“邛求导，带入5言1） 与已知条件 卷鼻+1=3联立化简即可得到需要的不等式.求出，, 讨论a的取值范围，证明尸/口）/其中必有两

8、者异号，则根据零点存在定 理，即可证明，国有极值点.试题解析：（1）rm-f+去+马，依据题意得：ca2碎y,且备=手2分八得，一或“一- 如图，得八, .亨-。6'+，b=Aa,代入冷一得&T，门3.1一2。八1）=1 Y" .若。“4则/一" >0由知八tJxu ,所以八幻在%"”有零点，从而/（刈在色】）上存在极值点.10分若"，由知八/I"又丁r= 一*""，所以 / a）在77TI）有零点,从而在（仇1）上存在极值点.12分若口 <0,由知小；卢中下。，门117“二产仁：8二口,所以/（

9、刈在I .%，有零点，从而/（K）在1）上存 Ui + 2）X|7工）+7在极值点.综上知/（刈在陋1）上是存在极值点.14分2-答案：（I）证明：二.数列an中，弧二号代=4，当n>2时， 3an+1=4an-an-1（n C N*）, .当 n>2 时，3%* - 34 Moi -4.1 ,即+楠f）,所以，.% I是以叱7=等为首项,以;为公比的等比 数列。（H）解：由（I）知，口.11垢，卷（_I"）,故y 1 =卷（）*，,7=告（/）一中”矶+（+）*' 累力口, 得*7"+（+r, 所以，1一|-（。）:（田）解：若对任意nCN*有Xa1a

10、2a3- an>1（入C N*）均成立，即3小二在nC N*时恒成立,故需求（l-y）*（i-y）（”*）在nCN*上的最小值，先证nCN*时有（|-马（1-春）一显然，左边每个因式都 是正数，先证明对每个nCN*,有（1-*）1号）一一（1号卜74号.和，用数 学归纳法证明上式，（i）n=1时，上式显然成立；（ii）假设n=k时，结论成立， 即 1 1二，一. .,则当n=k+1时，（'-y）”（1）1明）"n=k+1时，结论也成立；故对一切±T 一 / +-_L:y IT + +13 IT*N n当 r-前|-（+* AT）成立，所以，八-1）易知(

11、71;卜(1-/) 故&E(十用.4,二乱)，而芯上£在nCN*时恒成立且入CN*,所以，入的最小值为2。3-答案：(1)当n=1时，式子32n+2-8n-9=34-8-9=64能被64整除，命题成 立.2分(2)假设当n=k时，32k+2-8k-9能够被64整除.4分当n=k+1 时，32k+4-8 (k+1)-9=932k+2-8k-9+64k+64=932k+2-8k-9+64(k+1) 8分因 为 32k+2-8k-9 能够被 64 整除，丁. 932k+2-8k-9+64 (k+1)能够被 64 整 除.。分即当n=k+1时，命题也成立.由(1) (2)可知，32n

12、+2-8n-9 (nCN*)能被64整除.12分I14-答案：解：(I)证明：因为f' (x)=;+x2且0&x<E所以答(x) = +x2；f'3(x)1)满足条件0<f' (x) <1又因为当x=0时，飞(0) -0=0,所3 t rJ以方程飞(x) -x=0有实数根0.所以函数f (x) =y+(0<x<?)是集合M中的元素,、十 口口/、 r z x 3J fl J!_ 3(II )证明：.f (n) -f (m) ="-T、/、 ，43jt-ni 4. m,1 "Limp in- n?0, h C q+

13、mZ 1+n2).又f'存在x0 e(x0)；3133(x) =j+x2, .,当 0&m< x<n<7 时，f' (x) (1+mZ + +n2).fn)-( tn |(m n)使得 =f' (x0)也就是 f (n) - (mj) = (n-m) f'(III )假设方程f (x) -x=0存在两个实数根a , B ( a w B ),则f ( a )-a =0, f ( B ) - B =0不妨设a < B ,根据题意存在数cC ( a , B )使得等式f ( B ) -f ( a) = ( B - a) f '

14、(C)成立.因为 f(a)=a,f(B)=B 且 a w B ,所以f ' (c) =1与已知0<f ' (x) < 1矛盾，所以方程f (x) -x=0 只有一个实数根.(14分)解：(I)证明：因为 f' (x) W+x2 且 0Wx<1所以 f' (x) =+x2；f' 42R(x) 1)满足条件0<f' (x) <1又因为当x=0时，飞(0) -0=0,所以方程飞(x) -x=0有实数根0.所以函数f (x) =y+(0<x<)是集合M中的元素 一(II )证明：r (n) -f (的斗吁田+史3

15、»2.”匚3二1 43jj-fu 4+ +他？). . rI c rc 1 .八)一|"" JF/ + ZM + n/)3p .0,- m，n ? 0，P r=3£(1 +mZ i+n2)又 f3L33(x) =p+x2, .当 0& mK x<n<时，f' ( x) (j+mZ + +n2). .存在 x0 "TiBA"T1tFC (m,n)使得"二：)=f'(x0)也就是 f(n)-(m»= (n-m)f'(x0)；(III )假设方程f (x) -x=0存在两个实数

16、根a , B ( a W B ),则f ( a )-a =0, f ( B ) - B =0不妨设a < B ,根据题意存在数c ( a , B )使得等式 f ( B ) -f ( a) = ( B - a) f ' (C)成立.因为 f(a)=a,f(B)=B 且 a w B ,所以f ' (c) =1与已知0<f ' (x) <1矛盾，所以方程f (x) -x=0 只有一个实数根.(14分)5-答案：证明：用数学归纳法证明：12-22+32-42*-+ (-1 ) n-1?n2= (-1 )/JiXH I )n-1.(1)当n=1时，左边=1,右

17、边=(-1) 0" ； =1,故左边=右边，当n=1时，等式成立；(3分)(2)假设 n=k 时,等式成立，即 12-22+32-42+ - + (-1 ) k-1?k2= (-1)1 ：，_八一 _，、一 ，、k- 17-. (6分)那么 12-22+32-42+- + (-1 ) k- 1?k2+ (-1 ) k? (k+1) 2= (-1 )fr(A+ 1)k-1?+ (-1 ) k? (k+1) 2= (-1 )(-k+2k+2) = (-1 )(k+1) -1产当即当n=k+i时,等式也成立. (10分)根据(1)和(2)可知等式对任何nCN+tb.(12分)证明：用数学归

18、纳法证明：12-22+32-42+T (-1 ) n-1?n2=(-1 ) n-1"普.(1)当n=1时，左边=1,右边=(-1) 0中口=1,故左边二右边，当n=1时，等式成立；(3分)(2)假设 n=k 时，等式成立，即12-22+32-42*-+ (-1 ) k-1?k2= (-1)k- 1?2J2 争分)那么 12-22+32-42+- + (-1 ) k- 1?k2+ (-1 ) k? (k+1) 2= (-1 )kl I ik+k- 1L+ (-1 ) k? (k+1) 2= (-1 ) k(-k+2k+2) = (-1 )(k+1) J小什"即当n=k+1时,等式也成立. (