2019_2020学年高中数学综合测评新人教A版选修1_1

1、综合测评（时间：120分钟满分：150分）第1卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1.已知命题p：“a>b”是“2a>2b”的充要条件；q： ? xcR,ex0<lnx。，则（）A.（p） V q为真命题 pA q为真命题B.D.pA （q）为假命题pV q为真命题12解析：y=2x是增函数，a>b? 2a>2b,，p为真命题.,y=ex与y=ln x关于直线y = x对称，没有交点，不存在xc R,使ex（0<ln xc,q为假命题，pVq为真命题，故选 D.答案：

2、D2. （2019 全国卷n ）设a , 3为两个平面，则 a / B的充要条件是（）A. a内有无数条直线与 3平行B. a内有两条相交直线与3平行C. a , §平行于同一条直线D. a , §垂直于同一平面答案：B3. （2019 黄冈月考）若双曲线x2m2=1（门0）的焦点到渐近线的距离是4,则m的值是（）A.B.2D. 4解析：双曲线x2-y2= 1的一个焦点为（业+ m2, 0）,渐近线方程为y=mx m mm m w + m=4, rn= 4,故选 D.答案：D4. 已知函数f（x）的导函数为f ' （x）,且满足关系式f（x）=3xf ' （

3、2） +ln x,则f ' （1）的值等于（）B.D.解析：. f(x)=3xf' (2) + In x,. f (x) = 3f ' (2) +1, x1 f ' (2) =3f ' (2) +2,J，(2)=-1 f ' (1) =4,故选 A.答案：A25.已知双曲线 C：y2=1(a>0)的一条渐近线方程为x + 2y=0, Fi, F2分别是双曲线aC的左、右焦点，点 P在双曲线 C上，且|PF| =5,则|PE|=()A. 1B. 3C. 1 或 9D. 3 或 7“ 1一八、1解析：双曲线的渐近线万程为y=±ax，,

4、一 r 11由题息,得a=2' ; c?= a?+b?= 4+1 = 5,c= 55,即 2c=25,| PEL |PF| =4,，| PFd =1或| PFd =9,经检验，均满足题意，故选 C.答案：C22一6.椭圆x2+2=1(a>b>0)的离心率为 警,则双曲线a b22202 b2= 1( a>0, b>0)的离心率为5A.4B.2C.3D.2 解析：依题意得e2=，a2b22aK 3=1产 4b21 4+ ,产7故双曲线的离心率为e=a2+b22a故选B.答案：B7. (2019石家庄模拟)已知当 mj nC1,1时，sin Em- sin 2n&l

5、t;n3- m3,则以下判断正确的是()A. m>nB. | m|<| n|C. m<nD. m与n的大小关系不确定.,一兀 x °解析：令 f (x) = sin -2-+x , xC1,1,兀 兀 x 2.,、1- f (x) = -2cos-2-+ 3x >0 在 1,1上恒成立, .f（x）在-1,1上单调递增,兀 m % n 33sin 2_ sin -2-<n m,.兀m,3,兀n ,3,、 . sin 2+ m<sin -2"+ n ,即 f ( m)< f (n). f(x)在1,1上单调递增，m<n,故选C.

6、答案：C8.函数f(x)=xsin x + cos x的增区间是()A. (0,兀)B.三,苓C.(兀,2 兀)D. 3-, 52解析：f(x) =xsin x+cos x,，f' (x) = sin x+xcos x sin x = xcos x.经检验，当xC 2-号-时，f ' (x)>0 ,.f（x）的增区间为 3/，5/ .故选D.答案：D229. （2019 全国卷n ）设F为双曲线C： a2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+ y2= a2交于P, Q两点.若| PQ = | OF ,则C的离心率为（A.

7、2C. 2B. ：13D. ：5解析：设PQ与x轴的交点为D,连接OP如图所示,.|PQ=|OF, .PQ&为圆的直径，则 |PO = ¥c：.OPF等腰直角三角形，e=y2,故选 A.又|OP = a, | OF = c, ，2a2=c2,答案：AP处切线的倾斜角为a ,则角10.设点P是曲线丫=*经检验a=2或a= 2时是成立的.故选 B.答案：B12. (2019 罗源月考)函数g(x)是奇函数f(x)( xC R)的导函数，f (2) =0,当x>0时, x g(x) f(x)<0 ,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是()A. ( -oo, -

8、2) U (0,2)B, (0,2) U (2 , + oo)C. (8, 2)U( 2,0)D. (-2,0) U(2, +8)f x解析：令 h(x) = T，g(x)=f' (x).x3*+1上的任意一点，点5的取值范围是()A. 0,B.0,7t2 u2兀"1"7t兀C. 2D.713解析:tan.7 =3x2-斤-木, a ) 一 小,兀_2< <-5-或W a < Tt ,故选 B. 23答案:11.若不等式(x- a)2<1成立的充分不必要条件是132Vx<2,则实数a的取值范围是13A. 2<a<2B. a&

9、lt; -C. a<2或 a>21D. aw Q 或3 a>- a 2解析：不等式(x a) 2<1成立的充要条件是1<x- a<l,即 a- l<x<a+ 1.1a1w,132'由题意知 A= x 2vx<2是B= x|a 1<x<a+ 1的真子集，则a+1 >2,3< a< 一.2f(x)为奇函数，h(x)为偶函数, 一 x , g x f x当 x>0 时，h (x) =2<0,xf 2 .h( x)在(0, +8)上为减函数，h(2) = - =0,.当 x>2 时,h(x)&

10、lt;0 , .f(x)<0.,h(x)为偶函数，h(x)在(一00, 0)上为增函数，当一2<x<0 时，h(x)>0 , f (x)<0 ,，使f(x)<0成立的x的取值范围为(一2,0) U (2 , + 8),故选D.答案：D第H卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)x .13 . (2019 天津卷)曲线y=cos x-2在点(0,1)处的切线万程为 . .11解析：- y = sin x 2,y | x=c= 2,x1曲线 y=cos x _2在点(0,1)处的切线方程为 y-1 = -

11、(x-0),即 x + 2y-2 = 0.答案：x+2y-2=014 .已知命题p: | x1|< c(c>0);命题q: |x5|>2,且p是q的既不充分也不必要条 件，则c的取值范围是.解析：由|x1|<c,得 1 c<x<1 + c,，命题 p对应的集合 A= x|1 -c<x<1 + c, c>0,同理命题q对应的集合 B= x| x<3或x>7,若p是q的充分条件，则1 +13或1 27,c<2 或 c< 6,又 c>0,.0<c<2.如果p是q的既不充分也不必要条件，应有c>2.2

12、215.若椭圆2+y=1(m>0,m n答案：(2 , +8)y2= 8x的焦点,，一1-n>0)的离心率为金，一个焦点恰好是抛物线则椭圆的标准方程为.解析：由题意知，椭圆中半焦距 c=2,即有mi- n=4,又一=二，a=4,即m= 16,a 222答案：焉+ 12= 1x2 y2x2o 116.有下列命题：双曲线 25卷=1与椭圆35+y2=i有相同的焦点； 一5<x<0" 是“2x25x 3<0"的必要不充分条件； “若xy=0,则x, y中至少有一个为 0”的逆命 题是真命题；？ xC R, x2- 3x+ 3W0.其中是真命题的有（把

13、你认为正确的命题都填上）.解析：对于，双曲线与椭圆有相同的焦点（土取，0）,所以正确；对于，2x2 1 15x3<0的解集A= x 2<x<3 ，记B= x -2<x<0 ，显然B A,所以不正确； 对于，逆命题是：“若x, y中至少有一个为0,则xy=0”是真命题，所以正确；对于 ，A =（3）24X3= 3<0,所以 x23x+3w0,正确.答案：三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10 分）已知命题 p： “？ x 1,3 x2-ai> 0” ,命题 q： “？ xqC R,使 x0+2

14、axo+2 a=0"，若命题“p且q”是真命题，求实数 a的取值范围.解：.当 xC1,3时，1<x2< 9.又？ xC 1,3 x2-a>0,aw 1,由 q： “？xoCR,使 x0+2ax0+2a=0”，可知 A =（2 a）2-4（2 -a） >0,得 a w 2 或 a > 1.又p且q为真命题，p, q均为真命题，a< 1, . a = 1 或 aw 2.a w 2 或 a> 1 >实数a的取值范围是a| aw 2或a=1.18. （12分）已知p： x2-8x-20>0, q： x22x+1 a2>0.若p是q

15、的充分不必要条件， 求正实数a的取值范围.解：由 x28x 20>0,得 x<2 或 x>10, . . p： A= x| x<2 或 x>10.由 x2- 2x+ 1 a2>0（ a>0）,得 x<1 a 或 x>1 + a,1. q： B= x| x<1 a 或 x>1+a.p是q的充分不必要条件，A Ba>0, 1 -a>-2,. 0<aw3,经检验当a=3时是成立的.1 + a<10,，正实数a的取值范围是(0,3.2 .19. (12分)已知点P(2,0)，点Q在曲线C: y =2x上.(1)若

16、点Q在第一象PM内，且| PQ=2,求点Q的坐标；(2)求| PQ的最小值.解：设 Qx, y)( x>0, y>0),则 y2 = 2x.(1)由已知条件，得 | PQ = M x-2 2+y2 =2,将y2=2x代入上式，并变形得，x2-2x= 0,解得x=0(舍去)或*= 2.当 x=2 时，y=2.所以点Q的坐标为(2,2).(2)由 得，|PQ= xj x-2 2+y2,其中 y2= 2x.所以 | PQ2= (x2)2+ 2x=x2-2x+4=(x-1)2+3(x> 0).所以当x = 1时，| PQ有最小值小.20. (12 分)(2019 全国卷 I )已知函

17、数 f(x)=2sin x xcos x-x, f' (x)为 f(x)的 导数.(1)证明：f' (x)在区间(0,兀)存在唯一零点；(2)若xC0,兀时，f(x) >ax,求a的取值范围.解：(1)证明：设 g(x)=f' (x),贝Ug(x) = cos x+ xsin x- 1, . g' (x) = xcos x,兀兀兀当 xC 0, 2时，g' (x)>0;当 xC ,兀时，g' (x)<0,所以 g(x)在 0,上单兀调递增，在 万，兀上单调递减.兀又 g(0) =0, g 5 >0, g(兀)=2,故g(x

18、)在(0 ,兀)存在唯一零点.所以f' (x)在(0,兀)存在唯一零点.(2)由题设知，f(兀)>aTt , f (兀)=0,可得a<0.由(1)知，f' (x)在(0 ,兀)只有一个零点，设为 x。，且当 xC(0, Xo)时，f' (x)>0;当xC(x°,兀)时，f' (x)<0,所以f(x)在(0, xo)上单调递增，在(X0,兀)上单调递减.又 f (0) =0, f (兀)=0,所以，当 xC 0 ,兀时，f(x) >0.又当 aw。，xC0,兀时，axw。，故 f（x）nax.x2 y23+1(a>b&

19、gt;0)的两个因此，a的取值范围是（一00 , 0.21. （12分）（2019 海口月考）已知Fi（ 1,0）和F2（1,0）是椭圆3焦点，且点P 1, 2在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l ： y=kx+mn>0）与椭圆C有且仅有一个公共点，且与 x轴和y轴分别交于点 M N,当OM湎积取最小值时，求此时直线l的方程.解:.F1( 1,0)和 F2(1,0)是椭圆2y，,一 八， 一，3=1（ a>b>0）的两个焦点，且点圆C上，依题意得，c= 1.232 3.又 2a= 1 + 1 + 20 +2=4,故 a=2.b2=a2-c2=3.故所求椭圆C的方程为

20、? + ?=1. 4322x_ + y_ 1(2)由43'得,(4k2+3)x2+8km刈 4m212=0.y = kx + e由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，A = 64k2n2- 4(4 k2+ 3)(4 m2- 12) = 0,整理得n2=4k2+3.由条件可得，kw0, Mm，0 , N0, nT11mM . som后 210M ioN=2im /=而.-2221 4k+3 1,3将 m=4k + 3 代入，得 &0M2 - k| =2 4| k| +pk|-.|k|>0, .&om141k|+房 >2<3,当且仅当|k|=(,即k=

21、7;乎 时等号成立, 所以及OMNf"最小值2），3.m=4k2+3,m2=6.又 m>0,解得 m=乖,故所求直线方程为y=*x + M6或y=乎x + m.22. (12 分)已知函数 f(x)=x2+i, g(x)=2aln x+i(aCR).(1)求函数h(x) = f (x) g(x)的极值;(2)当a=e时，是否存在实数 k, m使得不等式g(x)wkx+mc f(x)恒成立？若存在,请求实数k, m的值；若不存在，请说明理由.解：(1) .1 h( x) = f (x) - g( x) = x2- 2aln x(x>0), .h，(x) =2 x2- ax当aw。，h' (x)>0,此时h(x)在(0, +8)上单调递增，无极值；当 a>0时，由 h' (x)>0,即 x2-a>0,解得 x>ja或 x<,(舍去)， 由 h' (x)<0 ,即 x2-