第4章-连续体结构分析的有限元方法—平面问题有限元分析PPT

1、第第4章章 连续体结构分析的有限元方法连续体结构分析的有限元方法杆梁结构由于有自然的连接关系，可以将其进行自杆梁结构由于有自然的连接关系，可以将其进行自然的离散，而连续体则不同，它的内部没有自然的连然的离散，而连续体则不同，它的内部没有自然的连接节点，必须完全通过人工划分节点的方法进行离散，接节点，必须完全通过人工划分节点的方法进行离散，因此成为逼近性离散；有限元方法的真正意义或价值因此成为逼近性离散；有限元方法的真正意义或价值在于它成功地处理了连续体在于它成功地处理了连续体( (场场) )问题。人们公认的有问题。人们公认的有限元方法的开拓者之一限元方法的开拓者之一CourantCourant

2、，就是在，就是在19431943年处理连年处理连续体问题时使用了三角形区域的分片连续函数和最小续体问题时使用了三角形区域的分片连续函数和最小势能原理；而势能原理；而“有限单元有限单元”的名称，是的名称，是CloughClough于于19601960年在处理平面连续体问题时正式提出的。年在处理平面连续体问题时正式提出的。本章将就连续体问题的有限元方法进行全面的讨论本章将就连续体问题的有限元方法进行全面的讨论和研究和研究。124.1 连续体结构分析的基本力学原理连续体结构分析的基本力学原理p 连续体连续体问题的三大类变量问题的三大类变量 3p 连续体连续体问题的三大问题的三大类方程及边界条件类方程

3、及边界条件454.2 平面平面问题的问题的3节点三角形单元节点三角形单元 平面平面问题问题3节点单元具有几何特征简单、描节点单元具有几何特征简单、描述能力强的特点，是平面问题有限元分析中述能力强的特点，是平面问题有限元分析中最最基础基础的单元，也是的单元，也是最重要最重要的单元之一。的单元之一。 p 单元的几何和节点描述单元的几何和节点描述6 该该单元共有单元共有6个节点位移个节点位移自由度自由度(DOF)，将将所有节点上的位移组成一个列阵，记所有节点上的位移组成一个列阵，记作作qe；同样，同样，将所有节点上的各个力也组成一个列阵，记将所有节点上的各个力也组成一个列阵，记作作Pe，那么那么 利

4、用函数插值、几何方程、物理方程以及势能利用函数插值、几何方程、物理方程以及势能计算公式，可以将单元的所有力学参量计算公式，可以将单元的所有力学参量(u(x,y) ，(x, y) ， (x, y) 和和e)用节点位移列阵及相关的用节点位移列阵及相关的插值函数来插值函数来表示，下面进行具体推导。表示，下面进行具体推导。7p 单元位移场的表达单元位移场的表达 平面平面3节点三角形单元节点三角形单元，每，每一个节点有两一个节点有两个位移，因此共有个位移，因此共有6个节点位移，考虑到简单个节点位移，考虑到简单性、完备性、连续性及待定系数的唯一确定性性、完备性、连续性及待定系数的唯一确定性原则，分别选取单

5、元中各个方向的位移模式原则，分别选取单元中各个方向的位移模式为：为： 由节点条件，在由节点条件，在(x=xi，y=yi)处，有处，有 将上式代入可将上式代入可求解求解出其中出其中的待定系数，即的待定系数，即 89上式中，上式中，上式中的符号（上式中的符号（1，2，3）表示下标轮换，如）表示下标轮换，如12，23，31同时更换。同时更换。 10重写位移函数重写位移函数，以，以节点位移的节点位移的形式表示形式表示，有，有 1112p 单元应变场的表达单元应变场的表达 1314p 单元应力场的表达单元应力场的表达 15p 单元的势能的表达单元的势能的表达 1617p 单元的刚度方程单元的刚度方程 p

6、 常用的等效节点外载列常用的等效节点外载列阵阵 （平面平面3节点三角形单元）节点三角形单元） 单元单元在承受非节点载荷时，如在边线上承受一个分在承受非节点载荷时，如在边线上承受一个分布载荷，这时应根据外力功的计算公式来获得节点载荷布载荷，这时应根据外力功的计算公式来获得节点载荷的等效值，常见的平面问题的等效值，常见的平面问题3节点三角形单元的节点等节点三角形单元的节点等效外载荷列阵效外载荷列阵如下表所如下表所示。示。 1819p 平面平面3节点三角形单元的位移坐标变换问题节点三角形单元的位移坐标变换问题 由于由于该单元的节点位移是以整体坐标系该单元的节点位移是以整体坐标系中的中的x方向位移方向

7、位移u和和y方向方向位移方向方向位移v来定义的，来定义的，所以没有坐标变换问题。所以没有坐标变换问题。 20p 平面平面3节点三角形单元的常系数应变和应力节点三角形单元的常系数应变和应力 由于由于该单元的位移场为线性关系该单元的位移场为线性关系式，且系式，且系数数ai ， bi ， ci只只与三个节点的坐标位置（与三个节点的坐标位置（xi，yi）相关，是常系数，因而求出的相关，是常系数，因而求出的单元的单元的B(x, y) 和和S(x, y) 都都为常系数矩阵，不随为常系数矩阵，不随x、y变化，变化，由相应由相应公式可知公式可知，单元内任意一点的应变和应力都为，单元内任意一点的应变和应力都为常

8、数，因此，常数，因此，3节点三角形单元称为常应变节点三角形单元称为常应变(应应力力)CST单元单元(constant strain triangle)。在实际使。在实际使用过程中，对于应变梯度较大（也即应力梯度用过程中，对于应变梯度较大（也即应力梯度比较大）的区域，单元划分应适当加密，否则比较大）的区域，单元划分应适当加密，否则将不能反映应变将不能反映应变(应力应力)的真实变化情况，从而导的真实变化情况，从而导致较大的误差。致较大的误差。 214.3 平面平面问题问题的的4节点矩形单元节点矩形单元p 单元的几何和节点描述单元的几何和节点描述2223p 单元位移场的表达单元位移场的表达 2425

9、26p 单元应变场的表达单元应变场的表达 27p 单元应力场的表达单元应力场的表达 28p 单元势能的表达单元势能的表达 293031p 4节点矩形单元的线性应变和应力节点矩形单元的线性应变和应力 由由单元的位移单元的位移表达式可知表达式可知，4节点矩形单元的位节点矩形单元的位移在移在x，y方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因为在单元的边界正因为在单元的边界x=a和和y=b上，位移是按线性上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，变化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，

10、可保证两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的位移模式是完备这种单元的位移模式是完备(completeness)和协调和协调(compatibility)的，的，它的应变和应力为一次线性变化，它的应变和应力为一次线性变化，因而比因而比3节点常应变单元精度高。节点常应变单元精度高。 324.4 三角形单元与矩形单元计算精度的比较三角形单元与矩形单元计算精度的比较33343536373839404142 从从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单

11、元内均为常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势能越小，则整体计算精度越高能越小，则整体计算精度越高，比较，比较两种单元计算得到的两种单元计算得到的系统势能，可以看出，系统势能，可以看出，在相同的节点自由度情况下，在相同的节点自由度情况下，矩形矩形单元的计算精度要比三角形单元高单元的计算精度要比三角形单元高。43例例1：用平面：用平面3节点三角形节点三角形单元进行分析单元进行分析 如图所如图所示为一矩形薄平板，在右端部受示为一矩形薄平板，在右端部受集中集中力力F=100000N作用作用，材料常数为：，材料常数为：弹性模量弹性模量E=1107Pa、泊松比、泊松比=1/3，板的厚度板的厚度为为t=0.1m，试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。 44454647484950例例2：用平面：用平面4节点矩形单元进行分析节点矩形单元进行分析 如图所如图所示为一矩形薄平板，在右端部受示为一矩形薄