2019年一轮北师大版(理)数学教案：第6章第5节综合法与分析法、反证法Word版含解析

1、第五节综合法与分析法、反证法考纲彳真1.了解直接证明的两种基本方法 一一分析法和综合法；了解分 析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法 一一反证法；了 解反证法的思考过程、特点.抓基础自主学习|理教材.双基目主测评知识梳理*1 .综合法从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一 步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法.2 .分析法从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充父条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这样的思维方法称为 分析法.3 .反证法(1)定义：在证明数学命题时，先假定

2、命题结论的反面成立，在这个前提下、 若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与 假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立、由此断定命题的结论成立.这 种证明方法叫作反证法.4 2)反证法的证明步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论.学情自测1 .(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“，”，错误的打"X” )(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾.()（4）在解决问题时，常常用分析法寻

3、找解题的思路与方法，再用综合法展现 解决问题的过程.（）答案 ，（2）X （3）X ，2 .要证明43+干<275,可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）A.综合法B.分析法C.反证法D.归纳法B 要证明J3 + g<2加成立，可采用分析法对不等式两边平方后再证明.3 .用反证法证明命题：”已知 a, b为实数，则方程x2 + ax+ b=0至少有 一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x2+ax+b = 0没有实根B.方程x2+ax+b = 0至多有一个实根C.方程x2+ax+b = 0至多有两个实根D.方程x2+ax+b = 0恰好有两个实根A “方程x2+ax+ b=0至

4、少有一个实根”的反面是“方程x2+ax+ b = 0 没有实根”，故选A.4 .已知a, b, x均为正数，且a>b,则b与口？的大小关系是.a a+x【导学号:57962310】b + x b. b+x b x（a b）a + x>a a+x a （a + xp>0，X >ba+x aJ5 .（教材改编）在ABC中，三个内角 A, B, C的对边分别为a, b, c,且 A, B, C成等差数列，a, b, c成等比数列，则4 ABC的形状为三角形.等边由题意2B = A+C,又 A+ B+C=兀，B o,又 b?=ac,3由余弦定理得 b2= a2 + c2 2ac

5、cos B = a2+c2 ac, a2+c2 2ac= 0, 即（a c）2=0,a = c,；A=C, ；A= B = C = '.ABC 为等边二角形.3明考向题型突破I析典例.探求规宿例1I考向11综合法已知正方体 ABCD-AiBiCiDi中,E, F分别为DiCi, C1B1的中点,ACABD = P, AiCiAEF = Q.求证:(1)D, B, F, E四点共面；若AiC交平面DBFE于R点，则P, Q, R三点共线.证明(1)如图所示，因为EF是DiBiCi的中位线，所以 EF/BiDi.2 分在正方体 ABCD-AiBiCiDi 中，BiDi/BD,所以 EF/B

6、D,4 分所以EF, BD确定一个平面，即D, B, F, E四点共面.5分在正方体 ABCD-AiBiCiDi中，设平面 AiACCi确定的平面为 %又设平面BDEF为0因为QC AiCi,所以QC a又QC EF,所以QC B,则Q是a与B的公共点.8分同理，P点也是a与B的公共点.9分所以aA片PQ.又AiCn片R,所以RC AiC,则RC a且RC &则RC PQ,故P, Q, R三点共线.i2分规律方法综合法是“由因导果”的证明方法，其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，常与分析法结合使用，用分析法探路，综合法书写，但要注意有 关定理、性质、结论题设条件的正确运用.变式训练 1

7、已知函数 f(x) = ln(1+x), g(x) = a+bx1x2+1x3,23与函数y= g(x)的图像在交点(0,0)处有公共切线.求a, b的值；(2)证明：f(x)<g(x).【导学号：解(1)f'x)= 士，g'x)=b x+ x2,1 I x由题意咔0二日解彳3a = 0, b= 1.(2)证明：令 h(x) = f(x) g(x)= ln(x+ 1)-1x3 + 1x2-x(x>- 1).32h&I= -V7-x2+x- 1 =言. x+1x+ 1所以h(x)在(1,0)上为增函数，在(0, +川上为减函数.h(x)max=h(0) = 0

8、, h(x)&h(0) = 0,即 f(x)&g(x).I一向2I分析法已知a>0,求证:a2+1a+-2.a证明要证/12 亚方a+9 2,只需要证a2+ ；12+2>a+ 1+ V2. 2因为 a>0,故只需要证 g1T + 2/>Ja+a+/2!：,即 a2 + +4、/a2+*4>a2 + 2 +J+z/Q + J )+2, a . " aaa函数y=f(x)57962311】2分5分8分12分2分8分从而只需要证2/a2+a12>艮+a)只需要证 4ja2 + a12,2b2+2+012 J,_ 2112分即a2 + ?&

9、gt;2,而上述不等式显然成立，故原不等式成立 a规律方法1.当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程 中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值 的等式或不等式，常考虑用分析法.2.分析法的特点和思路是“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件， 即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已 经证明成立的结论等，通常采用“欲证一只需证一已知”的格式，在表达中要注 意叙述形式的规范性.变式训练2已知 ABC的三个内角A, B, C成等差数列，A, B, C的对 边分别为a, b, c.求证:a+b b+ c a+b+c【导学号:5

10、7962312证明要证a+b+b+c a+b+c'即证a+ b+ c a+b +a+b+c_b+c3,也就是只需证 c(b+c) + a(a+ b) = (a+b)(b+c),需证 c2 + a2= ac+ b2,5 分又AABC三内角A, B, C成等差数列，故 B=60°,由余弦定理，得b2=c2+ a2 - 2accos 60 °10 分即 b2 = c2+a2ac, 故 c2 + a2=ac+ b2成立.于是原等式成立.12分"更3 反证法设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前n项和公式；(2)设qw1,证明数列an+1不是等比数列.解(1

11、)设an的前n项和为Sn,当 q= 1 时，Sn= a1 + a1 + + a1 = na1 ；当 qw 1 时，Sn=a1 + a1q + a1q2+ + a1qn-1,qSn = a1q + a1q2+ + a1qn,一得，(1 q)Sn = a1一a1q1/ n. ea1(1q )一 Sn=>1 qna1, q= 1,Sn= a a(1 _q'/I ：qr1-q一 一* 一 一 、一 » 一 、. *(2)证明：假设an+1是等比数列，则对任意的kCN2(ak+1 + 1) (ak+ 1)(ak+2+ 1),2ak+1 + 2ak+1 + 1 akak+2 + a

12、k+ ak+2+ 1,a2q2k+ 2aqk = aqk1 a1qk+1 + a1qk1 + aqk + 1.: a w 0, : 2qk=qk 1 + qk1.qw0, ； q22q+ 1 = 0, q= 1,这与已知矛盾.假设不成立，故an+1不是等比数列.12分规律方法用反证法证明问题的步骤：(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立;(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾，矛盾可以是与已知条件、定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然原命题结论的反面不成

13、立，从而肯定了原命题成立.(命题成立)变式训练3已知a>- 1,求证三个方程：x2 + 4ax 4a+3 = 0, x2+(a1)x+a2=0, x2 + 2ax-2a = 0中至少有一个方程有实根.【导学号：57962313】证明假设三个方程都没有实数根，则(4af-4(-4a+3<0, (a- 1 2-4a2<0, l(2af 4X(2a <031-2<a<2,a>3 或 a<-1,-2<a<0,3八2<a<1.10 分这与已知a>-1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立.12分名师微博思想与方法1 .综合法与分析法的关系：分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题， 常常先从结论进行分析，寻求结论与条件的关系，找到解题