Radon变换与CT扫描技术

1、12021-12-22第二章 现代数学的应用RadonRadon变换与CTCT扫描技术2021-12-222 一 、背景2021-12-223二、 CT扫描技术的基本原理：如下0 ,0 ,.xyfxyxy 01df x,y d u0Lexpf x,y du 2021-12-224,cossin,sincosyxuyxscossin ,sincos ,x suy su或 2沿方向IILduyxfyxgg0ln),(),( 接收信号为 2021-12-225 Radon变换：R-Radon算子（或称投影算子）s,.0 ,)exp()(),(sduiiusfRfsg 0 ,)sincos(),(sd

2、xdysyxyxf;0 ,)cossin,sincos(sduususf( , )g sRf( , )g sRf02021-12-226Radon反变换：,sincos),()21(),(),(021dsdsyxssgRyxfsg dsdsrsrrfrfsg 02)cos(),()21()sin,cos(),(2021-12-227 Radon反变换的具体实现有两种不同方法:卷积反投影方法和滤波反投影方法. Radon反变换揭示了CT技术中图象重建的基本方法,即在CT投影数据的基础上依次进行滤波操作和反投影操作,方便地重建出原始数据的图象.2021-12-228 三、 Radon变换特性:1.

3、线性. 如果 的Radon变换分别为 ),(),(21yxfyxf),(),(21yxgyxg,那么, 的 ),(),(2211yxfayxfaRadon变换是 . ),(),(2211yxgayxga2021-12-2292.带线性 , 2/, 2/, 0),(DyDxyxf如果2/2, 0),(*Dssg则3.对称性即),(),(sgxg2021-12-22104.周期性.),2,(),(为整数ksgxg5.位移性),(sg如果f(x,y)的Radon变换为 ,那么变换为的Radon ),(00yyxxf),sincos(00yxsg2021-12-22116.伸缩性),(),(xgRad

4、onyxf变换为的如果.1），（变换为）的，（那么asgaRadonayaxf2021-12-2212四、Radon变换及其反变换的精髓变换及其反变换的精髓 2021-12-22132021-12-2214 2021-12-2215最新研究最新研究2021-12-2216一、波动方程反问题一、波动方程反问题的求解的求解2021-12-2217 2021-12-22182021-12-2219 2021-12-22202021-12-2221二、反源及反势问题二、反源及反势问题2021-12-2222 二维椭圆型偏微分方程的反源问题讨论方程:),(),(yxfyx如何利用边界上的可测值来反演源函

5、数f(x,y)的分布(2.1)2021-12-2223 二维椭圆型偏微分方程ff(x,y)的Radon变换式实质上是某个特定函数 在左右边界上的差值,通过计算可方便求出.),(),(,(00yxzxyxyx中源函数2021-12-2224v 势和势函数成功的应用于诸如量子力学、电磁学、流体动力学和弹性力学等领域v 势函数的反问题，即反势问题，大都局限于某个具体的物理现象和方程。v采用的方法：迭代法、最小二乘法和有限元法等。2021-12-2225.2021-12-2226 v 思想： Radon变换及其反变换应用于二维椭圆型偏微分方程反势问题的求解，无须深入物体内部，只利用边界上物理量的测量值即可很好的反演出势函数。2021-12-2227三、图像定位2021-12-22282021-12-22292021-12-2230二、 CT扫描技术的基本原理：如下0 ,0 ,.xyfxyxy 01df x,y d u0Lexpf x,y du 2021-12-2231四、Radon变换及其反变换的精髓变换及其反变换的精髓 2021-12-22322021-12-2233最新研究最新研究2021-12-2234v 势和势函数成功的应用于诸如量