第一讲函数的概念

1、1rxdtdx 应用数学系李芳138226284910758-2186602(办)办公地点：银信楼办公地点：银信楼1112 现代社会正经历着由现代社会正经历着由工业社会向信息工业社会向信息社会社会过渡的变革过渡的变革, ,信息社会有两个主要的信息社会有两个主要的特征特征: :课课 程程 简简 介介二是数学的应用范围急剧扩展二是数学的应用范围急剧扩展. .“计算机无处不在计算机无处不在, ,数学无处不在数学无处不在”.一是计算机技术的迅速发展与广泛一是计算机技术的迅速发展与广泛应用应用; ;社会生活中的每个领域都有数学的应用社会生活中的每个领域都有数学的应用. .几乎几乎简言之简言之：3 其中其

2、中数学对经济学数学对经济学的发展也起了很大的发展也起了很大作用作用. . 1969年至年至2010年间颁发的年间颁发的4141个个诺贝尔诺贝尔经济学奖经济学奖中中, ,有有三分之一以上三分之一以上的获奖工作是的获奖工作是相当数学化的相当数学化的. .现在不懂数学的经济学家现在不懂数学的经济学家, ,决不会成为杰出的经济学家决不会成为杰出的经济学家. .课课 程程 简简 介介41994年 约翰约翰福布斯福布斯纳什纳什（John F. Nash Jr.）美国人）美国人 (1928- ) 约翰约翰海萨尼海萨尼（John C. Harsanyi）美国人）美国人 (1920- ) 莱因哈德莱因哈德泽尔腾

3、泽尔腾（Reinhard Selten）德国人）德国人( 1930- ) 这三位数学家在这三位数学家在非合作博弈非合作博弈的均衡分析理论的均衡分析理论方面做出了开创性的贡献，对方面做出了开创性的贡献，对博弈论博弈论和和经济学经济学产产生了重大影响。生了重大影响。 纳什均衡纳什均衡“囚徒困境囚徒困境”课课 程程 简简 介介5“囚徒困境囚徒困境” “囚徒困境囚徒困境”是博弈论里最经典的例子之一。是博弈论里最经典的例子之一。它的模型是这样的：它的模型是这样的： 两个嫌疑犯（两个嫌疑犯（A和和B）作案）作案后被警察抓住，隔离审讯；警方的政策是后被警察抓住，隔离审讯；警方的政策是坦白坦白从宽，抗拒从严从

4、宽，抗拒从严，如果两人都坦白则各判，如果两人都坦白则各判5年；年；如果一人坦白另一人不坦白，坦白的放出去，不如果一人坦白另一人不坦白，坦白的放出去，不坦白的判坦白的判10年；如果都不坦白则因证据不足各判年；如果都不坦白则因证据不足各判1年。年。 结果，两个人都选择了坦白，各判刑结果，两个人都选择了坦白，各判刑5年。年。课课 程程 简简 介介6 经济学的数学化经济学的数学化 中国经济学家以往多数著作中国经济学家以往多数著作只注重文字说明，缺乏数理分析，没有数量上的只注重文字说明，缺乏数理分析，没有数量上的论证。提出的主张也只有方向性意见，而没有具论证。提出的主张也只有方向性意见，而没有具体的体的

5、“剂量剂量”，可操作性不强。相比之下，获得，可操作性不强。相比之下，获得诺贝尔奖的经济学家中，三分之一以上在经济学诺贝尔奖的经济学家中，三分之一以上在经济学的数学化方面作出了重要贡献。中国经济学家应的数学化方面作出了重要贡献。中国经济学家应当重视运用当重视运用数学工具数学工具表述和论证经济理论，并注表述和论证经济理论，并注意把意把经济理论、数学和统计学经济理论、数学和统计学结合在一起以建立结合在一起以建立经济计量模型，解决实际经济问题。经济计量模型，解决实际经济问题。 课课 程程 简简 介介7课课 程程 简简 介介汤森路透预测汤森路透预测2011诺贝尔经济学奖得主诺贝尔经济学奖得主诺诺贝贝尔尔

6、奖奖颁颁奖奖现现场场Douglas W. Diamond美国伊利诺州芝加哥市芝加哥大学美国伊利诺州芝加哥市芝加哥大学(University of Chicago, Chicago)商学研究所商学研究所Merton H. Miller杰出教授杰出教授获奖成就：对金融中介与监督之分析获奖成就：对金融中介与监督之分析(英文原文：英文原文：For his analysis of financial intermediation and monitoring)Anne O. Krueger美国华盛顿约翰霍普金斯大学美国华盛顿约翰霍普金斯大学(Johns Hopkins University)Paul H

7、. Nitze高级国际研究学院国际经济学教授高级国际研究学院国际经济学教授Gordon Tullock美国维吉尼亚州阿灵顿乔治马森大学法学院美国维吉尼亚州阿灵顿乔治马森大学法学院(George Mason University School of Law)法律与经济荣誉教授法律与经济荣誉教授获奖成就：他们对于寻租行为及其意义的阐述获奖成就：他们对于寻租行为及其意义的阐述(英文原文：英文原文：For their description of rent-seeking behavior and its implications)Jerry A. Hausman美国麻州剑桥麻省理工学院美国麻州剑桥麻

8、省理工学院(Massachusetts Institute of Technology)经济学系经济学系John and Jennie S. MacDonald教授教授Halbert L. White, Jr美国加州拉荷亚加州大学圣地牙哥分校美国加州拉荷亚加州大学圣地牙哥分校(University of California San Diego, La Jolla)经济系经济系Chancellors Associates杰出经济学教授杰出经济学教授获奖成就：他们对获奖成就：他们对计量经济学计量经济学的贡献，尤其是郝斯蒙模型设定检定法的贡献，尤其是郝斯蒙模型设定检定法(Hausman speci

9、fication test)及及White standard errors test汤森路透预测汤森路透预测2011诺贝尔经济学奖得主诺贝尔经济学奖得主9 数学不仅是一门科学，而且还是一数学不仅是一门科学，而且还是一门技术，已经成为人们终身受益的文化力门技术，已经成为人们终身受益的文化力量。数学教育能在以下两方面使学生受益：量。数学教育能在以下两方面使学生受益：一、提高修养，提高文化精神层面，一、提高修养，提高文化精神层面，增加增加理性思维理性思维的力量；的力量； 二、获得一种工具，利用数学为自二、获得一种工具，利用数学为自已的已的生存与发展生存与发展服务，为社会服务服务，为社会服务。课课 程

10、程 简简 介介10v高等数学的设课目的是什么？高等数学的设课目的是什么？v高等数学研究的基本问题与方法是什么？高等数学研究的基本问题与方法是什么？v高等数学与初等数学有何联系与区别？高等数学与初等数学有何联系与区别？v如何学习高等数学？如何学习高等数学？课课 程程 简简 介介11高等数学与初等数学的比较高等数学与初等数学的比较初等数学初等数学高等数学高等数学教教学学内内容容以常量为主，量的特征为以常量为主，量的特征为静止、均匀、有限静止、均匀、有限基本初等函数基本初等函数及基本特性及基本特性以变量为主，量的特征为以变量为主，量的特征为运动、非均匀、无限运动、非均匀、无限初等函数初等函数及一般特

11、性及一般特性教教学学方方法法教师带领下学生被动学习教师带领下学生被动学习教学内容少、学时多、速教学内容少、学时多、速度慢，注重内容学习度慢，注重内容学习教师启发下学生主动学习教师启发下学生主动学习教学内容多、学时少、速教学内容多、学时少、速度快，注重能力培养度快，注重能力培养课课 程程 简简 介介12如何学习高等数学如何学习高等数学？抓概念抓概念：把握内涵，理清脉络，抓住联系：把握内涵，理清脉络，抓住联系.抓理论抓理论：把握本质，深化理解，注重应用：把握本质，深化理解，注重应用.抓方法抓方法：把握步骤，掌握类型，注意条件：把握步骤，掌握类型，注意条件.抓题型抓题型：把握特征，注意要点，明确过程

12、：把握特征，注意要点，明确过程.抓总结抓总结：把握结构，总结规律，突出重点：把握结构，总结规律，突出重点.课课 程程 简简 介介13 高等数学高等数学是高等学校经济类各专是高等学校经济类各专业的重要基础课，该课程由三大部分组业的重要基础课，该课程由三大部分组成，分别是成，分别是微积分微积分、线性代数线性代数和和概率论与数理统计概率论与数理统计，这三课程也，这三课程也是我国几乎所有专业硕士研究生入学考是我国几乎所有专业硕士研究生入学考试必考的课程。试必考的课程。课课 程程 简简 介介14 其中，第其中，第1 1、2 2、4 4问题导致了微分概念的产生，问题导致了微分概念的产生，第第3 3问题导致

13、了积分概念的产生。问题导致了积分概念的产生。 微积分产生的背景问题：微积分产生的背景问题：问题问题1 1：运动中速度和路程的互求问题：运动中速度和路程的互求问题问题问题2 2：一般曲线求切线的问题：一般曲线求切线的问题问题问题3 3：求长度、面积、体积及重心问题：求长度、面积、体积及重心问题问题问题4 4：求极大、极小值问题：求极大、极小值问题 由英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别在由英国的牛顿和德国的莱布尼兹分别在16691669年和年和16841684年独立创立。年独立创立。15 美国著名的数学史学家克莱茵（美国著名的数学史学家克莱茵（M.KlineM.Kline）说说:“:“数学从微积分开始

14、数学从微积分开始, ,而不是以之结束而不是以之结束”. .反应反应出微积分的发明对数学历史发展过程具有无与伦出微积分的发明对数学历史发展过程具有无与伦比的巨大作用。比的巨大作用。 微积分的出现是整个人类划时代的一件大事，微积分的出现是整个人类划时代的一件大事，被恩格斯称作人类精神的最高胜利。被称为改变被恩格斯称作人类精神的最高胜利。被称为改变人类世界的人类世界的1111项重大发明之一。项重大发明之一。 微积分的发明是现代数学最重要的成就，从来微积分的发明是现代数学最重要的成就，从来没有一门数学分支有如此广泛有效的应用，它已没有一门数学分支有如此广泛有效的应用，它已成为科学的种子，大多数现代数学

15、理论由它生长成为科学的种子，大多数现代数学理论由它生长繁育而来。它又是工具，没有它，在它之后的大繁育而来。它又是工具，没有它，在它之后的大多数现代科学的进步就不可能实现。多数现代科学的进步就不可能实现。课课 程程 简简 介介16微分法和积分法是互逆的两种运算。微积分研究的主微分法和积分法是互逆的两种运算。微积分研究的主要对象是函数，即变量与变量之间的依赖关系，微积要对象是函数，即变量与变量之间的依赖关系，微积分是在变化中处理变量之间的关系的，它将所讨论的分是在变化中处理变量之间的关系的，它将所讨论的对象分成极其微小的部分，这种极其微小的部分，也对象分成极其微小的部分，这种极其微小的部分，也叫无

16、穷小量，因此，微积分又叫叫无穷小量，因此，微积分又叫无穷小分析无穷小分析。 学科特点学科特点：期末总评成绩%70%20%10 期期末末成成绩绩期期中中成成绩绩平平时时成成绩绩本门课程是一门必修课，占本门课程是一门必修课，占3学分学分。微积分（法）包括微分学（法）和积分学（法）。微积分（法）包括微分学（法）和积分学（法）。作业作业课课 程程 简简 介介17参考书目：2 2、高等数学辅导高等数学辅导（同济六版）（同济六版）同济大学同济大学 马志敏主编，中山大学出版社马志敏主编，中山大学出版社3 3、微积分辅导及习题精解微积分辅导及习题精解（与人大修订本教材配套）（与人大修订本教材配套）张天德主编，

17、新华出版社张天德主编，新华出版社1 1、微积分学习辅导与习题选解微积分学习辅导与习题选解吴传生主偏，高等教育出版社吴传生主偏，高等教育出版社课课 程程 简简 介介网络辅助教学课程BlackBoard平台18 函数是现代数学的函数是现代数学的基本概念之一，是高等基本概念之一，是高等数学的主要研究对象。数学的主要研究对象。第一章第一章 函数函数19第一节 集合第二节 映射与函数第三节 复合函数与反函数 初等函数第四节 函数关系的建立第五节 经济学中的常用函数主要内容：vvv第一章第一章 函数函数v20目的要求目的要求: :一、理解函数的概念一、理解函数的概念二、理解复合函数、分段函数及初等函数的概

18、念二、理解复合函数、分段函数及初等函数的概念重点重点：函数、复合函数、初等函数及经济函数的概念函数、复合函数、初等函数及经济函数的概念三、掌握常用的经济函数三、掌握常用的经济函数第一章第一章 函数函数21由由4产生了产生了概率论概率论变量之间的关系有下列四种类型：变量之间的关系有下列四种类型：1、完全不相关、完全不相关2、变量、变量y由变量组由变量组x1，x2，xn决定决定3、变量、变量y由变量由变量x决定决定4、不确定的关系、不确定的关系由由1推动了各种推动了各种“独立性独立性”的数学的数学由由2产生了产生了多元微积分多元微积分由由3产生了产生了一元微积分一元微积分第一章第一章 函数函数22

19、 以以x0为中心，长度等于为中心，长度等于2d d的的开区开区间间(x0 - -d d, x0 d d)称为点称为点x0的的d d 邻域，记作邻域，记作U(x0, d d)，即即xO x0 -d x0 d x0以点以点x0为中心的任何开区间称为点为中心的任何开区间称为点x0的邻域，的邻域，记作记作U(x0)。区间与邻域区间与邻域邻域邻域 ：1、点、点x0 的的d d邻域邻域：其中点其中点x0称为邻域的称为邻域的中心中心，d d 称为邻域的称为邻域的半径半径。 0,),(000 - - d dd dd dxxxxU第一节第一节 集合集合232、点、点x0的去心邻域的去心邻域：xOx0 -d x0

20、 d x03、左邻域、左邻域：右邻域右邻域： ),(),(0),(0000000d dd dd dd d - - - - xxxxxxxxU),(00d dxU ),(0000 xxxxxd dd d- - - - ),(0000d dd d - - xxxxx第一节第一节 集合集合24).100101,10099(1001点点x=1的的邻域为邻域为点点x=1的的1001空心邻域为空心邻域为例：例：).100101,1()1 ,10099(第一节第一节 集合集合定义定义1设设 A , B 是两个是两个非空集合非空集合, 若存在一个对应规若存在一个对应规则则 f ,使得使得,Ax 有唯一确定的有

21、唯一确定的By 与之对应与之对应, 则称则称 f为从为从 A 到到 B 的的映射映射, 记作记作.:BAf元素元素 y 称为元素称为元素 x 在映射在映射 f 下的下的像像, 记作记作).(xfy 元素元素 x 称为元素称为元素 y 在映射在映射 f 下的下的原像（或逆像）原像（或逆像） . 集合集合 A 称为映射称为映射 f 的的定义域定义域，记作记作B的子集的子集 )(AfRf Axxf )(称为称为 f 的的 值域值域 . ABfxy一、映射的概念一、映射的概念第二节第二节 映射与函数映射与函数;Df某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号按一定规则查号某班学生

22、的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座按一定规则入座例例1 注意注意: 1) 映射的二要素映射的二要素 定义域定义域 , 对应规则对应规则. 2) 元素元素 x 的像的像 y 是唯一的是唯一的, 但但 y 的原像不一定唯一的原像不一定唯一. .)(BAf 且且ff第二节第二节 映射与函数映射与函数例例2 设设 A=1，2，3 ，B=4，5，6，7 ，则，则，ADf 是一个映射，是一个映射，BRf 6 , 5 , 46)3(,5)2(,4)1( fffBAf ：第二节第二节 映射与函数映射与函数例例3 设设 A=1，2，3 ，B=4，5，6，则，则3 xyxBAf

23、 ：是一个映射，是一个映射，ADf BRf对映射对映射BAf:若若BAf )(, 则称则称 f 为为满射满射; ABf)(Af 若若,2121xxAxx 有有 )()(21xfxf则称则称 f 为为单射单射;若若 f 既是满射又是单射既是满射又是单射,则称则称 f 为为双射双射 或一一映射或一一映射. AB)(XffBAf )(第二节第二节 映射与函数映射与函数某校学生的集合某校学生的集合 学号的集合学号的集合 按一定规则查号按一定规则查号某班学生的集合某班学生的集合 某教室座位某教室座位 的集合的集合按一定规则入座按一定规则入座例例1 ff第二节第二节 映射与函数映射与函数满射且单射满射且单

24、射, 双射双射单射单射例例2 设设 A=1，2，3 ，B=4，5，6，7 ，则，则，ADf 是一个映射，是一个映射，BRf 6 , 5 , 46)3(,5)2(,4)1( fffBAf ：第二节第二节 映射与函数映射与函数例例3 设设 A=1，2，3 ，B=4，5，6，则，则3 xyxBAf ：单射单射满射且单射满射且单射,逆映射与复合映射逆映射与复合映射双射双射是一个映射，是一个映射，ADf BRf31 设设 x,y 是两个变量是两个变量, ,若对实数集若对实数集D中每一个值中每一个值 x, ,按照一定的对应法则（映射）按照一定的对应法则（映射） , ,总有确定的数值总有确定的数值y y与之

25、与之对应对应, ,则称则称 y是是 x的函数的函数; ;记作记作 y=(x).称称 x 为自变量为自变量, , y 为为因变量因变量; ; D 为定义域为定义域; ;集合集合Z(f)=y|y=f(x),xD为值域为值域. .确定法则确定法则f f Dx定义域定义域Zy 值域值域二二 、函数的概念、函数的概念1.定义定义RDfRD :，则则称称映映射射设设数数集集记为记为上的函数上的函数为定义在为定义在,D)(xfy 1.定义定义 注注:（1 1）函数的两要素：函数的两要素：定义域定义域D D和对应法则和对应法则f f（2 2）判断两个函数是否相同的方法）判断两个函数是否相同的方法若两函数的D和

26、f都相同，则相同若两函数的若两函数的D D和和f f之一不相同，则不相同之一不相同，则不相同例：判断各对函数是否相同例：判断各对函数是否相同不不同同同同3334221)(,)()3()(,)()2(lg2)(,lg)()1(- - - - xxxgxxxfxxgxxfxxgxxf(4) y=x(4) y=x2 2 , y=v , y=v2 2 (5) y=1, y=sin(5) y=1, y=sin2 2x+cosx+cos2 2x x（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）同同二二 、函数的概念、函数的概念不不 332、定义域的确定、定义域的确定 是使函数表达式是使函数表达式y=f(x)有意义有意义的

27、自变量的取值全体的自变量的取值全体.（b）负数不能开偶次方根；）负数不能开偶次方根；函数的定义域函数的定义域:确定方法确定方法:(1)实际问题实际问题,视其实际意义而定视其实际意义而定;(2)一般函数一般函数y=f(x)(自然定义域自然定义域)（a）分式的分母不等于）分式的分母不等于0； ; 0)(, )(2 xfnxfn要要求求为为正正整整数数34（c）零和负数没有对数；）零和负数没有对数；（d）反正弦、反余弦的绝对值不超过）反正弦、反余弦的绝对值不超过1。（f f）由若干项组成的函数，先求出每一）由若干项组成的函数，先求出每一项的定义域，再取公共部分（项的定义域，再取公共部分（交集交集）。

28、）。 （g g）分段函数，可将几个式子的定义域）分段函数，可将几个式子的定义域合并起来（合并起来（并集并集） ;0)(, 10),(log xfaaxfa且且要要求求 ; 1)(),(arccos),(arcsin xfxfxf要要求求 . 0)(,)()( xfxfyxg要要求求（e）幂指函数）幂指函数2、定义域的确定、定义域的确定35例例1求函数求函数 的定义域的定义域.所以函数的定义域为所以函数的定义域为 要使函数要使函数 y 有定义，应满足有定义，应满足解： 11111)(:. 2.xxfex 求求定定义义域域Solution. 011 x01111 x .21, 1, 0- - -

29、x0 x2)-lg(x 162 - - xy2 2、定义域的确定、定义域的确定 - - - -, 02, 0162xxSolution. - -, 2, 44xx即即 .4,2(ex3. 已知函数已知函数. 1,110,2)( xxxxxfy解解)(21f 及及. )(1tf写出写出 f (x) 的定义域及值域的定义域及值域, 并求并求f (x) 的定义域的定义域 ),0 D值域值域 ),0)( Df21212)( f2 )(1tf10 t,11t 1 t,2txyOxy 2 xy 112 2、定义域的确定、定义域的确定37 有些函数，对于其定义域内自变量有些函数，对于其定义域内自变量x的不同

30、的不同的值，不能用一个统一的数学表达式表示，而要的值，不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为“分段函数分段函数”。 当当x (- - , 0时，时，y=x； 当当x (0, + )时，时，y-x。oxy三、分段函数三、分段函数 这是定义在这是定义在(- - , , ) )上的分段函数。上的分段函数。 - - , 0, 0,xxxxxy例例1 1： 绝对值函数绝对值函数38例例2 符号函数符号函数值域值域1，0，1.的定义域的定义域(,+)，11oxy - - 0, 1, 0, 0, 0, 1sgnxxxxy三、分段函

31、数三、分段函数例例3 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过x的最大整数的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo例例4 (Dirichlet)狄利克雷函数狄利克雷函数 是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy01)(有理数点有理数点无理数点无理数点1xyo如，如，. 132, 2 2 16. 2- -, 3 3- - ., 1,Znnxnnx 即即.ZR，xy值值域域为为的的定定义义域域为为取取整整函函数数 值域值域0，1.定义域定义域(,+)，三、分段函数三、分段函数阶梯曲线阶梯曲线例例5 取最值函数取最值函数)

32、(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg例例6 整标函数整标函数)0( ,1 nny以自然数为自变量的函数以自然数为自变量的函数:图形为一些离散的点构成图形为一些离散的点构成. （数列）（数列） 三、分段函数三、分段函数41四、隐函数四、隐函数（1）显函数显函数：例如例如：（2）隐函数隐函数： 若因变量与自变量函数关系可直接若因变量与自变量函数关系可直接用用 表示出来，称为显函数。表示出来，称为显函数。 )(xfy .,sinxyxy 若因变量与自变量的对应关系隐含在若因变量与自变量的对应关系隐含在一个方程一个方程 中，称之为隐函数。中

33、，称之为隐函数。0),( yxF.02ln,2222 - - xxxyryx例如例如：42 在在函数函数y=(x)中，中，x 是自变量，是自变量，y是因变量是因变量. .然而在同一过程中存在着函数关系的两个变量，究竟哪一然而在同一过程中存在着函数关系的两个变量，究竟哪一个是自变量，哪一个是因变量，并不是绝对的，要视问题个是自变量，哪一个是因变量，并不是绝对的，要视问题的具体情况而定。的具体情况而定。 函数的自变量和因变量函数的自变量和因变量互换位置互换位置，就产生了反函数。，就产生了反函数。 若把若把 y y 看作自变量看作自变量, x , x 看作因变量看作因变量, ,则称函数则称函数x=

34、1(y)为函数为函数= =( (x x) ) 的反函数的反函数. .但由于习惯上把但由于习惯上把x x 看作自变量，看作自变量，y y 看作因变量，因而看作因变量，因而 记作记作 y= y= 1 1(x )(x ) . .五、反五、反 函函 数数反函数的求法：(1)一般先从方程一般先从方程y=f(x)中解出中解出x, 然后再将所得结然后再将所得结果中的果中的 x与与y互换位置即可互换位置即可;(2)对分段函数对分段函数,只要分段求出反函数便得只要分段求出反函数便得. 五、反五、反 函函 数数例例.1的的反反函函数数求求函函数数 xey),1()1ln(),1(11)1ln(11222 - -

35、- - - - - -fxxDxyeyyxye反反函函数数为为，即即原原函函数数的的值值域域为为解解五、反五、反 函函 数数451、互为反函数、互为反函数2、定义域与值域互换定义域与值域互换3、图象关于直线图象关于直线y = x对称对称. .4、直接函数与反函数有相同的增减性直接函数与反函数有相同的增减性5、一个函数存在反函数的充要条件是自变量与因变一个函数存在反函数的充要条件是自变量与因变量是一一对应的量是一一对应的. . 注：直接函数与其反函数之间的关系：注：直接函数与其反函数之间的关系：(严格单调函数必存在反函数严格单调函数必存在反函数)五、反五、反 函函 数数46六函数的简单性质基本特

36、性定义基本特性定义几何特征几何特征有有界界性性设函数设函数F(x)在某区间在某区间I上有定义，若存上有定义，若存在正数在正数M，使得，使得|F(x)|M，则称，则称F(x)在在M上有界上有界 单单调调性性设设F(x)在区间上在区间上I有定义，对于有定义，对于I内任意内任意两点两点x1,x2当当x1x2时有时有F(x1)F(x2)则称则称F(x)在在I上单调减少上单调减少. 奇奇偶偶性性设函数设函数F(x)在某区间在某区间I上有定义，上有定义，I为关为关于原点对称的区间，若对于任意于原点对称的区间，若对于任意xI，都有都有F(-x)=F(x)，则称，则称F(x)为偶函数；为偶函数；若若F(-x)

37、=-F(x) ，则称，则称F(x)为奇函数为奇函数 周周期期性性设函数设函数F(x)在某区间在某区间I上有定义，若存上有定义，若存在不为零的数在不为零的数T,使得对于任意使得对于任意xI,都有都有F(x+T)=F(x)，则称，则称F(x)为周期函数，为周期函数，T称为最小正周期称为最小正周期 函数的有界性,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX .)(否则称无界否则称无界上有界上有界在在则称函数则称函数Xxf,)(, 0,11成成立立有有即即若若MxfXxMDX .)(上上无无界界在在则则称称函函数数Xxf通常函数的有界性与区间有关，通常函数的有界性与区间有关，,1 2xy 如如.)1

38、,101,)1 , 0(上上有有界界而而在在内内无无界界在在xysin 例例),( - - x,1sin x都有都有.),(内内是是有有界界的的在在其其定定义义域域 - - xytan 在定义域内无界在定义域内无界48(1) 常函数常函数 y = c （c为常数为常数）(3) 指数函数指数函数 (4) 对数函数对数函数 (5) 三角函数三角函数 第四节第四节 复合函数复合函数 初等函数初等函数(6) 反三角函数反三角函数 (2) 幂函数幂函数 xycos1 xysin1 一、基本初等函数一、基本初等函数xxeyaaay ),1, 0(xyaaayxln),1, 0(log ,tan,cos,s

39、inxyxyxy ,csc,sec,cotxyxyxy ,arctan,arccos,arcsinxyxyxy ?( ,xy 为常数为常数）491、在大量的函数关系中，以上这六种函数在大量的函数关系中，以上这六种函数关系是最常见的，把它们叫做基本初等函数关系是最常见的，把它们叫做基本初等函数. . 2 2、应熟练掌握其表达式、定义域、应熟练掌握其表达式、定义域、值域、几何特性、常见公式、图象及性质值域、几何特性、常见公式、图象及性质. .注：练习：P29 习题1 5, 6第四节第四节 复合函数与初等函数复合函数与初等函数50所谓复合函数就是把两个或两个以上的函所谓复合函数就是把两个或两个以上的

40、函数组合成一个新的函数数组合成一个新的函数. .设设 y = (u)是定义在是定义在U上的函数上的函数, , 而且而且 u=(x)是是定义在定义在 D上的函数上的函数, , 值域为值域为Z. . 二、复合函数二、复合函数复合而成的复合函数为复合而成的复合函数为21,xuuy- - .12xy- - 则称则称 y =(x)是函数是函数 y = (u)和和 u=(x)复合而复合而成的复合函数成的复合函数. . u叫叫作中间变量作中间变量. .直观定义直观定义例：定义定义如果如果对于任意对于任意xD, 对应的对应的 (x) U, ,UZ 即即, 51解：解： 的定义域为的定义域为 Df (0, )，

41、且且 Df F F，.)(,sin1)(,lg)(2是是不不是是复复合合函函数数问问设设xgfyxxguuufy 例：例：因为因为 的值域为的值域为 1, 2，)(xgu )(ufy 所以所以 是复合函数。是复合函数。)sin1lg()(2xxgfy 第四节第四节 复合函数与初等函数复合函数与初等函数52解：解： 的定义域的定义域 Df -1, 1， Df F F，第四节第四节 复合函数与初等函数复合函数与初等函数.)(,2)(,arcsin)(2是是不不是是复复合合函函数数问问设设xgfyxxguuufy 例：例：因为因为 的值域的值域G 2, )，)(xgu )(ufy 所以所以 不是复合

42、函数。不是复合函数。 )2arcsin()(2xxgfy 533、将几个将几个简单函数简单函数(基本初等函数基本初等函数或由基本初等或由基本初等函数的四则运算所得到的函数的四则运算所得到的多项式函数多项式函数)由里到外可由里到外可复合成一个复合函数复合成一个复合函数, ,注：注：1、并非任何两个函数都能复合成复合函数。、并非任何两个函数都能复合成复合函数。例如：上例例如：上例22、复合函数的中间变量可以不止一个或者可以有、复合函数的中间变量可以不止一个或者可以有更多的变量复合成复合函数。更多的变量复合成复合函数。)(),(),(xhvvguufy 例例)(xhgfy 则则到里的进行分解为几个简

43、单函数。到里的进行分解为几个简单函数。 另外也可对另外也可对复合函数复合函数由外由外第四节第四节 复合函数与初等函数复合函数与初等函数复合函数的求法：复合函数的求法：(1)对于非分段函数常用直接代入的方法；对于非分段函数常用直接代入的方法；(2)对于分段函数常用讨论的方法对于分段函数常用讨论的方法. 第四节第四节 复合函数与初等函数复合函数与初等函数例例3 求下列函数的复合函数求下列函数的复合函数的定义域为的定义域为值域为值域为复合函数为复合函数为 值域为值域为应满足应满足其复合函数为其复合函数为解解1,)2(ln,sin)1(- - xuuyxuuy (1)由于由于 的定义域为的定义域为uy

44、sin ),( - - 的定义域为的定义域为xuln ),0 ),( - - 所以所以 可以复合可以复合, xuuyln,sin .lnsinxy (2)由于由于 的定义域为的定义域为uy ),0 1- - xu),( - - ),( - - 所以使所以使 可以复合可以复合, 1-xu, uy, 1 x第四节第四节 复合函数与初等函数复合函数与初等函数).x(xy11-例例4 下列函数是由哪几个函数复合而成下列函数是由哪几个函数复合而成.所讨论的复合函数由下列函数复合而成所讨论的复合函数由下列函数复合而成复合函数的复合与分解关系复合函数的复合与分解关系函数由里到外函数由外到里解解函数复合函数复

45、合函数分解函数分解第四节第四节 复合函数与初等函数复合函数与初等函数)x(lnsiny)(ey)(xlnarccosy)(xsin13213xlnu,uarccosy)(1xv, vsinu,ey)(u2133xw,wlnv,vu,usiny)()x(u),u(fy)x( fy57 由基本初等函数经有限次四则运算和由基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合且只能用一个式子表示的函数，有限次复合且只能用一个式子表示的函数，统称为初等函数统称为初等函数. .三、初等函数三、初等函数3、即有四则运算又有复合、即有四则运算又有复合. 例例：y=x+sin x2定义定义：注：注： 初等函数一般有三种构成形式：初等函数一般有三种构成形式：1、只有四则运算、只有四则运算;例例：y=x+sinx2、只有复合、只有复合;例例：y=sin x258例例 下列函数中，哪些是基本初等函数？哪些下列函数中，哪些是基本初等函数？哪些是初等函数？是初等函数？ yx1，ye-x，ysin ax，y2x2，ysin2x，y|