2019年高等数学A-2考试题.doc

1、2019年高等数学A-2考试 题.doc高等数学A-2 (08级)、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,总计15分)()1、设 z 11n(1 x2 y2),则dZxi=( 2y 11(A)3(dx dy)(B) (dx dy)12(dx dy)2、设区域D：x2 y2 4,则积分)-1(C) (dx dy)3(D)f(x2 y2)d在极坐标下的累次积分为(A) 2 2 2(B) 0 d 0 f(r )dr(C)242(D) 0 d 0 f(r )dr3、设为球面x2/ 222、 /o(x y z )dS =()4 2d 0 f (r )rdr_2f (r )rdry2 z2 1,则对面积

2、的曲面积分 )(A)(D)44、设级数( )1 nun(A)-n 1 n(B)2(C)3Un收敛，则下列级数必收敛的为 n 1(B) U2(C) (Un Un1)(D)n 1n 1(u2n 1 U2n ) n 15、设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程y P(x)y Q(x)y f(x)的解)GC是任意常数,则该非齐次线性方程的通解是()(A) Gy1 C2y2 (1 Ci C2)y3(B)Gm +。2%+(i-G -。2)8(D)Cy+C2y2+y3(C) Clyi+C2y2-(Cl+C2)y3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1、曲面个+/_/ =1在点处的切平面方程为

3、2、设D :x2 +y2 < 2x 9 由二重积分的几何意义知JJ y/lx-x2 - y2 dxdy o3、设椭= I的周长为 JJ则曲线积分J(5xy-6x2 -0y2 )ds-4、当 时，级数E察条件收敛。5>若某三阶常系数线性齐次微分方程有解为yt =e ' 9 y2 =xe x 9 y3 = ex微 分则该三阶常系数线性齐次方 程 为三、解答下列各题（本大题共4小题，每题7分 ，总计28分,每题要有必要的解题步骤）1、设数量场 f(x,y,z) = x2 + 2y2 +3z2 - 4x-6y -8z + 5求:函数/在点（2,处的梯度。（2）函数/在点（2,1,2

4、）处方向导数笈的最大值。2、计算二次积分/加皿公。J * Jv-* X3、求微分方程座2-7的通解。4、计算积分i (ex sin x 3y cosy)dx (xsiny y4)dy , 其中L L是从点A( Q)沿曲线y sinx到点B( ,0)的弧段。四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分 ，总计28分，每题要有必要的解题步骤)1、设z f x2 y2, xy ,其中函数f具有二阶连续的偏 导数)试求二)二。x x y2、计算曲面积分 I2xz2dydz y z2 1 dzdx 9 z3 dxdy)其中为曲面z x2 y2 1 1 z 2 ,取下侧。3、求品级数上x2n的收敛域及和函数

5、，并求数n 1 2n 17n 1项级数 的和。n 1 2n 14、设f(x)是周期为2的周期函数，且f(x) x(x ),试将f(x)展开成傅立叶级数。五、解答题(本题8分)已知曲线过点1,1)曲线上任一点P(x,y)处的切线交y轴于点Q)以PQ为直径所作的圆均过点F(1,0),求 此曲线的方程。六、证明题(本题6分)已知正项级数an收敛，证明数列n 11 a1 1 a21 an 收敛。08级解答一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分,总计15分)1、(A)2、(C)3、(D)4、(C)5、（B）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）21 、x 3y z 4 02、-3、 3

6、0a4、 0 P 1 53'''y y y y 0:、解答下列各题（本大题共4小题，每题7分，总计28分，每题要有必要的解题步骤）1、设数量场 f（x, y,z） x2 2y2 3z2 4x 6y 8z 5求：（1）函数f在点2,1,2处的梯度。（2）函数f在点2,1,2处方向导数"的最大值。解： （1） gradf 2x 4,4y 6,6z 8； gradf （2,1,2）Q 2,4|gradf（2,i,2）2屈，故f在点2,1,2处方向导数戈的最大值为|2石。7分2、计算二次积分解 ：4分2 , sin x ,dy dx oy x2 . sinx .dy

7、dxy x,x sinx .dx dy0x=sin xdx =207分3、求微分方程y 2y 3y e3x的通解。特征方程r2 2r 3 0 口 " 3,对应齐次方程的通解为Y C1ex C2e3x（其中GG为任意常数）4分因 3是特征根，设特解为y* Axe;其中A为待定常数，代入原方程，A 1y*1xe3x446分从而得通解7分4、计算积分i (e x sin x 3y cosy)dxLx3x 1 3xy C1eC2e- xe4(xsin yy4)dy,其中 L是从点A( ,0)沿曲线y sinx到点B( ,0)的弧段解：这里P 由于上3 yx2e sinx 3y cosy, Q

8、 xsin ysin y, sin y , 可见 xy4y oQx不成立。(1)n1n 1 2n 1I己 P e x sinx cosy,贝 U I Pdx Qdy 3ydx送 I1 I2, (I2 3ydx) oLLL则曲线积分Ii满足与路径无关的条件，选择与 L 起终点相同的直线段y 0,有Ii (ex2 sinx 1)dx 2) 而 I2 3ydx 3sin xdx 0L6分故所求 积 分 I 2 O7分四、解答下列各题(本大题共4小题，每题7分 ，总计28分，每题要有必要的解题步骤) 1、设z fx2 y2, xy)其中函数f具有二阶连续的偏 导数)试求卫)-ox x y解：2xf1y

9、f22 z, r c 2 c 2 rr r '4xyf11 2x 2y f12 xyf22f2x y7分2、计算曲面积分i2232xz dydz y z 1 dzdx 9 z dxdy其中为曲面z x2 y2 1 1 z 2 ,取下侧。解：取平面1： z 2,取上侧.则 与1构成封闭曲 面，取外侧.令 与1所围空间区域为，由Gauss 公式，得I 仁:11231 (z 1)dz 9 2 dxdy x2 y2 17分3、求品级数n 1:1Tx2n的收敛域及和函数，并数项n 1 2n 17解:(1尸n 1 2n 1(1)n1的和。an72n 1anan 11,x 1时原级数为(1)n1n

10、1 2n收敛故此品级数.2分的收敛域为1,1 O设 s(x)s(x)nxx0n 1(1)(1)n 1 2n-x2n 1n 11 2n 12、n(x )n 1(1 x上x2n 11),则2n 1)dx)x arctanx, ( 1x (0x ( x2) n 1x 1)dx)5分故7分4、设f(x)是周期为2的周期函数，且f(x) x(x ),试将f(x)展开成傅立叶级数。解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点x(x (2k 1)处不连续)因此)f(x)的傅立叶级数收敛于 2)0)在连续点x(x (2k 1)收敛于f(x) o 2分若不计x (2k 1),则f(x)是周期为2的奇函数 an0.(n

11、 0,1,2, ) 3 分bn2一0 f (x)sin nxdx(n1,2,3,)22(n 1)一 xsin nxdx ( 1) 0n5分上 sinnx ) n故 f (x) 2(sin x sin 2x -sin3x 23(x R,且x, 3 ,)五、解答题(本题8分)已知曲线过点1,1)曲线上任一点P(x,y)处的切线交y轴于点Q)以PQ为直径所作的圆均过点F(1,0)求 此曲线的方程。解：过点P(x,y)的切线方程Y y y'(X x)令 X 0得Y y xy; 即Q(0,y xy')2 分由题意)pf|2 Qf|2pq|2得(x 1)2 y2 1 (y xy)2 x2

12、(xy')2)化简2dy yx, 即乎 1y 3y1(Bernoulli 方dx xydx x x'程)4分令Z y2,得dz乙 组）,其通解为z 2x 1 cx2 dx x x故原方程通解为y2 2x 1 cx2 ,又y1,得c 0。所以该曲线的方程为y2 2x 1 o8分六、证明题（本题6分）已知正项级数an收敛，证明数列n 11 ai 1 a21 an 收敛。证明：t己 xn 1 a11a2 1 an因正项级数an收敛，故liman0,又lim则3Lnnnn 1an由正项级数比较审敛法的极限形式知级数ln（1an）也收敛并记其和为n 1s4分即 limln(1 ak) s

13、 . 于是limln xn s .lim xnesn>7n*nk 1故数列1 a1 1 a21 an收敛。分高等数学A-2 （09级）一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选 出一个正确答案，填在题末的括号中）（本大题共4小题，每小题3分，总计12分）1、函数z KM在点区加处的偏导数fx(Xo, yo), fy(Xo, yo) 均存在是函数z他在点(%,yo)存在全微分的( )(A)必要而非充分条件(B)充分而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件2、设为曲面x2 y2 R2上的0 z 1部分，则曲面积分 e'xdS：()(A) 0R(B) Re(C) 4 R

14、(D) 2 ReR3、若区域D为(x 1)2 y2成累次积分为()2 cos(A) 0 d 0 F(r, )dr1)则二重积分D(B) d2cos0F(r, )dr2 cos(C) 2 d F(r, )dr _022 cos(D)2 02 d 0 F(r, )dr其中F(r,)f (r cos , r sin ) r o4、设a为常数，则级数n-1)吟 (A)条件收敛(B)绝对收敛(C)收敛性与a有关(D)发散二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题 共4小题，每小题3分，总计12分)1、函数f(x,y) 2x2 ax xy2 2y在点(1, 1)处取得极值,则常数a =2、将：dx：xf(

15、x,y)dy交换积分次序得 3、f(x)是以2为周期的函数，且在(，上有表达式f(x) 0， x 0，5 S(x)是f(x)的傅立叶级数的 X, 0 X '和函数，则S( )=O4、已知某二阶常系数线性齐次微分方程的一个特解为yxe2x ；则该二阶常系数线性 齐 次 微 分 方 程 为O三、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)1、设 z ax3 bx2 y cxy2 dy3 , 求 dz o2、求曲面在点处的切平面和法线方程。3、计算二重积分y x2dxdy,其中D:0 x 1,0 y 1。D4、计算 l (2y y 3)dx (4x 3xy2)

16、dy, 其中L是沿曲线y二从点A。，。)到Bi。)的圆弧。四、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分，每题要有必要的解题步骤)21、设z f(x y,xy)具有连续的二阶偏导数，求 二,一 x x yo2、设曲线积分L yf(x)dx 2xf(x) x2dy在右半平面(x 0)内与路径无关，其中f(x)可导，且f(1) 1，求f(x)。3、计算：(y2 z2)dydz x2ydzdx y2 zdxdy,其中是曲面 z、一及平面z 1所围成的空间区域的整个边界 曲面的外侧。4、设f(x)是周期为2的周期函数，且f(x) x (x ),试将f(x)展开成傅立叶级数。五、解答下列各题(本

17、大题共2小题，每题7分 ,总计14分，每题要有必要的解题步骤)1、求品级数nxn的收敛域及和函数，并计算极 n 1限1233n、/ 八hm (- ) (a 1)。na a aa2、设y y(x)满足方程y 3y 2y 2ex)且其图形在点(0,1)与曲线y x2 x 1相切)求函数y(x) o六、证明题(本题6分)、八n设正项数列 )单调减少,且(1) an发散,证明 n 1/ n级数(1)收敛。n 1 an 109级解答一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选 出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题共4小题，每小题3分，总计12分)1、(A)2、(D)3、(C)4、(B)二、填空题(将

18、正确答案填在横线上)(本大题 共4小题，每小题3分，总计12分)1、a = _-5_2、 ody ey f(x, y)dx 3、s( ) 34、 y" 4y' 4y 0三、解答下列各题(本大题共4小题，每题4分，总计28分，每题要有必要的解题步骤1、z ax3 bx2yZ 223ax 2bxy cy , xcxy2 dy3 , 求 dz 0Z .22bx 2cxy 3dy y222dz (3ax 2bxy cy )dx (bx2、.2cxy 3dy )dy7分2、求曲面在点处的切平面和法线方程对应的切平面法向量3分切平面方程，或法线方程7分22n 2e ,2e , 2e22e

19、 2 1,1, 13、计算二重积分dxdy,其中 D : 0 x 1,0y x2dxdyD1 x212dx (x y)dy dx 0001x2(y x2)dy1 1 41 102xdx0(2xx4)dx 112304、计算L(2y y3)dx (4x 3xy2)dy)其中L是沿曲线y TT之从 点A(1,0)到B(0,1)的圆弧。_ _3_ 2_2_ 2P 2y y3Q 4x 3xy2 , Py 2 3y2,Qx 4 3y2Qx Py 22 分为了利用格林公式)补加BO OA)使L BO OA成为闭 曲线，且为所围区域D的边界曲线的正向。一 3. . 一 2 .(2y y )dx (4x 3x

20、y )dyL L BO OA BO OA '5分012d 1 ydy 0 xdx -D27分四、解答下列各题（本大题共4小题，总计28分，每题要有必要的解题步骤）21、设z f（x y，xy）具有连续的二阶偏导数，求 二,一x x y一fiyf2x3分2z z -rf1yf2x y y x y""f11xf12""y(f2ixf22)"""fii(x y)fi2xyf222、设曲线积分L yf(x)dx 2xf(x) x2dy在右半平面(x 0) 内与路径无关)其中f(x)可导)且f(1) 1，求f(x)。由题意，一

21、yf(x) 一2xf(x) x2yx化简得f (x) 2xf'(x) 2x3分12 3令 y f(x)即 包上y 1) y f(x) r(x c) dx 2x x 33又 因 为 f(1) 1,得c鼻，故f(x)=7(炉-)=-X3x 3333, x7分3、计算(y2 z2)dydz x2ydzdx y2zdxdy,其中是曲面z 及平面z i所围成的空间区域的整个边界 曲面的外侧。Py2z2,Qx2y Ry2z.且PxQyRzx2y2利用高斯公式，得/2222.,22、 (y z )dydz x ydzdx y zdxdy (x y )dxdydz211cd rdr r dz 一00r

22、104、设f(x)是周期为2的周期函数，且f(x) x (x ),试将f(x)展开成傅立叶级数。首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点x(x (2k 1)处不连续)因此)f(x)的傅立叶级数收敛于一尸 0)在连续点x(x (2k 1)收敛于f(x)o 2分若不计x (2k 1),则f(x)是周期为2的奇函数 an0. (n 0,1,2, ) 3 分bn2一0 f (x)sin nxdx(n1,2,3,)22(n 1) xsin nxdx ( 1)0n5分故f(x)的傅立叶级数展开式为11( 1)(n 1)f(x) 2(sin x -sin2xsin 3x sin nx )23n(x R,且x , 3