2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列

1、v1.0可编辑可修改2019年高考数学真题分类汇编专题18:数列（综合题）1. （2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“ Mk数列”.（1）已知等比数列an n N 满足：a2a4 asa 4a2 4a4 0,求证：数歹!Jan为“Mk数列”； 一122 已知数列bn满足：b1 1, 丁广，其中S为数列bn的前n项和. Sn bn bn 1求数列bn的通项公式；一、.'-4，'设m为正整数，若存在“Mk数列” Cn n N ，对任意正整数k ,当I " J W fkwm时，都有Ck bk Ck1成立，求m的最大值.【答案】（1）解：设等比数列an的公比

2、为q ,所以a?0, q?0.由/ /二七，得 ,4/ -占H,解得尸、.q3n 旬=心/,/ .心用*功二6。?因此数列IV为“M卜数列”.（2）解：因为/二上一，所以卜c .国加编一'匕至口由白一工=加得L,则2= .r r ttj由上二上-，得品二吧J ,当,淡为bz曲时，由鼻:也一当一，得 b= 岫”加 ,整理得b+ b二次.所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列.因此，数列bn的通项公式为bn=n（冗乏死）.由知，bk=k , 卜鎏?而,描匕姓.因为数列Cn为“M-数列”，设公比为q ,所以C1=1, q>0.因为CkW bk<Ck+1 ,所以 卢匕在生产，其中

3、k=1, 2, 3,，m11v1.0可编辑可修改当k=1时，有q>1;当 k=2, 3,m时,有普生皿M?设f（X）=4行，则i-liu22令，得*=$.列表如下:f W = 0Xe(e, +°°)L 3+0一f (x)极大值d因为与审勺答，所以人一若.取 "（月，当k=1, 2, 3, 4, 5时，即 掇物f血H ,经检验知 。&也成立. 产工<Jt因此所求m的最大值不小于5.若 m>6,分别取 k=3, 6,得 3wq3 , 且 q26,从而 q15>243,且 q15w216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于6.综上，所求

4、m的最大值为5.【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关 系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“ W数列”的定义证出数列an为"Mk数列''。（2）利用与g的关系式结合已知条件得出数列IM 为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列 饵，的通项 公式。由知，bk=k , 4斐如"加/1 .因为数列cn为“M-数列”，设公 比为q ,所以c=1, q>0,因为Ck< bkWCk+1 ,所以 -»,其中k=1, v1.0可编辑可修改2, 3,，m ,再利用分类讨论的方法结合求导的方

5、法判断函数的单调性， 从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。2. (2019?上海)已知等差数列an的公差d 0,数列0满足bn sin 4 , 集合 S x|x bn，n N* .2(1)若ai 0,d -,求集合S;3(2)若ai求d使得集合S恰好有两个元素；(3)若集合S恰好有三个元素：bnT bn, T是不超过7的正整数，求T的所有 可能的值.【答案】(1)解：等差数列|/点的公差数列I饵/满足fL W U.njb门二SE&J ,集合5二国工二/靠巨jv*.当 一 ' n j W理*3集合5 =一件2当解：，数列四/满足,集合尸卬工一恰好有两个元素

6、，如图：根据三角函数线，等差数列 询/的终边落在d轴的正负半轴上时，集合1$恰 好有两个元素，此时卜二鹿，用终边落在"上，要使得集合6恰好有两个元素，可以使龙，列的终 边关于/轴对称，如图|侬，|宛，33v1.0可编辑可修改（3）解：当:&时，与, ，集合5 - Ibf,松”，符合题意.当二M时，坛;句 , $in/见）=sina ,或者1 + 短=t + 2JE方十嫉/二左艇-M ,等差数列国"的公差”E向，故 白，叱，又 * =工工d 二（口,可 + 4d = 4 + 2kxu 7-当#一时满足条件，此时3 m n .当=5时，坛一二当 ,4门手勿切士力向，或者

7、0 4- 5d = an + Ikic方十%二左世一,，因为.更（可，故k二九2 .当R = 丁时， -.满足题意.£ =酶、1,一如。当 1 = 6 时，, 占二播,sin / dM = sin外 ,所以 上或者3一削=%钾-盘，才匚m-1 ，故土二72d.4 + &4 = 5 + 2的'if 6 （O.ffJ '当* = 时，5二月工孝，满足题意.当|二，时，匕”二也 写in/加二§由为所以，或者七+/（！=&+ 2KTL方十/二左艇”，打01f八口闾，口，故# =1/，当*二f时，因为&,对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着

8、3个点,必然有 _7 , r . ,= 行），不符合条件.已m一41 = 2*卮=上=巴E- 7145v1.0可编辑可修改当*二2时，因为口 ，对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点, 八f必然有个，用门不是整数，不符合条件.一 5 = 2*d= =m-n -ff当* = 3时，因为k ,对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点， &工If f必然有_或者d蛆,或者，此时，曲"均fl-n 1 Cl =r =#7T_ L7F fJFm n立=二(f =wtn 7ETt *7不是整数，不符合题意.综上，¥ 二 3, 4 5 6 .【考点】元素与集合关系的判

9、断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列， 等差数列的通项公式【解析】【分析】(1) 等差数列/的公差“如】，数列饵/满足 如二学in值，集合，一 力,利用元素和集合间的关系求出结合等差5 = r|y =匕忙靠巨N 数列|自7的通项公式和正弦值的求解方法求出数列 饵/的通项公式，从而求出当 时的集合S.21 = 0*d =(2)当等差数列首项 知一时，利用数列/V满足与,用等差数列国/ 丹产金的通项公式和正弦值的求解方法求出数列例/的通项公式，再利用数列饱，的通项 公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 S恰好有两个元 素的d的值。(3)利用元素和集合间的关系结合已知条件集合

10、 |s恰好有三个元素，用分类 讨论的方法结合已知条件 "二瓦，用等差数列/%/的通项公式和正弦值的求解方 法求出数列 例/的通项公式， 再利用是不超过7的正整数，从而求出满足要求 的T的所有可能的值.3. (2019?浙江)设等差数列an的前n项和为S , a3=S ,数列bn满足： 对每个n6N* , S+bn , Sn+1 + bn、S+2+bn成等比数列56v1.0可编辑可修改（1）求数列a n , b n的通项公式；（2）记。=匡,n6N* ,证明：G+G+G<2 /，n N* ., 2bn【答案】（1）设数列 M 的公差为d ,由题意得中 2d = 4.期 + 3d

11、=初 + 3d ,从而% 二 2九一 2n N*67由5户子以 S疗一# % S？十乩成等比数列得4ft - (S + bj (Sff * 义 +.解得如"沁SA.i?n = n2jrnrn w iV7”我们用数学归纳法证明.所以当n=1时，c=0<2,不等式成立；假设iGg时不等式成立，即沙语那么，当门二* 一时,“4% + + % + %+1 < 2瓜*+ JT< &*飞二闵#十?以“子、切二；V#十' 即当门二a，时不等式也成立.根据（1）和（2）,不等式 上工上后对任意3H*成立.J + £泉+4J <内轨【考点】等差数列的通

12、项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；v1.0可编辑可修改(2)采用数学归纳法，现在n=1时式子成立，假设n=k时式子成立，再证n=k+1 时式子也成立即可.4. (2019?天津)设an是等差数列，4是等比数列，公比大于0,已知a1 b1 3,b2 a3,b2 4a2 3.(I )求an和bn的通项公式;(n )设数列 Cn 满足求 aq a2c2 ? a2nGn n N ._ L比为奇教 J =Em为碘【答案】 解：(I)解：设等差数列IM 的公差为d,等比数列 施/的公比 为q依题意，得3q二”2d

13、 ,解得,=3 ,故"I：'/'3胸:.所以,M的通项公式为用”沏，/V的通项公式为伉=377(H)解:(口 1+as+ -"ba3n-i)+a6&3+ = 7iX34-X6 + (6X 3X + 12X32 +18X31 + 4 护)=3讹1 + 6(1 X 31+ 2 X 3s + » + n X 3H)7； =1X3J +2K3a + - + nx 3"-得,37； = 1X3=-2X3B +-. + rex 33 '=2TL = -3 - 333+71 X3n+1 =-空三=所以,n1-3201G + 0+ + 0

14、3fle% = 3n3 + fit = 3立+ 3 k(nej¥*)【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和v1.0可编辑可修改【解析】【分析】(I)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出， 设纭/的,根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和1，进而可得、I/M的通项公式;(II )数列 M的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前K项和品.5. (2019?天津)设an是等差数列，bn是等比数列.已知a1 4,b1 6也 2a2 2,b3 2a3 4.(I )求an和bn的通项公式;、，411,2k(H )设数列Cn满足G 1，Cnbk,

15、n2k 1n 2,*k 其中k N .2 ,(J)求数列a2n C2n1的通项公式;2n(ii )求 aG n ni 1.【答案】 解：(I)设等差数列M 的公差为廿，等比数列用/的公比为的二壮/如解得尸二金故 储二研 % £一 一. 一.所以,M的通项公式为a =3/1 + 1出的通项公式为珈 =溜7 .(h)所以,(i) - 1)= tz产(- 1)= (3x2n + 1)(3 X 2" - 1 = 9X4n-l .数列，包-切的通项公式为，.一7仃.口净(餐1 - 1 = y X 4 - 1(ii )£*四。二WL皿十口式白一切=£着/十屋%每一工

16、)= (2nx4 +玛;=(3 X 2 始7 + 5 X+ 9 3C 处二空土 4=27 X 2Jn-d + 5 K Z"-1 -21 - 1Z (猊后理)88v1.0可编辑可修改【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式。（I）由，根据等差数列、等比数列的通项七 口 比4匚 6 ,= ZrLj - 21Jj3 = 2aa + 4公式列出方程组，即可求 出M和 同 的通项公式；（n）由（i） /v的通项公式为_苜一门 的通项公式为 年二效好，art 一切 + L PjtI1 2yli 胪. 得出数

17、列 海依一川 的通项公式；（ii）将 一 ,=代值并化简即可求值。况内4（w e N |6. （2019?卷H）已知an是各项均为正数的等比数列，ai 2® 2a2 16.（1）求an的通项公式；设4 10g 2 an,求数列bn的前n项和。【答案】（1）解：设an的公比为q,由题设得2 J 二的 # 间，即 - 2q - 8 - G .解得I。= - 2 （舍去）或q=4.因此M的通项公式为'=2脑孝7 = * 7 . 由（1）得当 =，-= 20 7 ,因此数列bn的前n项和为 .【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前 n项和【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式

18、整理化简原式得出关于q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列bn的通项公式，再利用等差数列的前 n项和公式即可求出结果。7. （2019?北京）设an是等差数列，/=-10,且az+10, a3+8, a4+6成等比数列.（I ）求an的通项公式;100v1.0可编辑可修改（II）记an的前n项和为S ,求&的最小值.【答案】解：（I ）根据三者成等比数列，可知 03 + 8y=3?卡价）旨4十，）,故 f - F0 + 2"十刈，二r - M + f勿/-我沙切+巾,解得d=2,故时:一旧十24-"二力一以；（n）由（I）知，律驾

19、该二次函数开口向上，对称轴为 n二,故n=5或6时，品 取最小值-30.【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前 n项和【解析】【分析】（I ）根据等比中项，结合等差数列的通项公式，求出 d,即 可求出品；（H）由（1）,求出品，结合二次函数的性质，即可求出相应的 最小值.8. （2019?卷 H）已知数列an和bn满足 ai=1, bl=0, 4an 1 3an bn 4, 4bni 3bn an 4.（1）证明：an+bn是等比数列，an - bn是等差数列；（2）求an和bn的通项公式.【答案】（1）解：由题设得4的一 一一/ ,即+ bp a $ 二匕但球* bfj -又因为a1+b1

20、=l,所以由"是首项为1,公比为的等比数列.Jq由题设得 4相“-8" " = 4a- bj + B ,即 “ 7 - b心-二%一6+工,又因为a1 - b1=l ,所以/斯-曲是首项为1,公差为2的等差数列.1010v1.0可编辑可修改（2）由（1）知，人一，加一九二加一丁所以 M二十bj 十 a-6JJ=三 +八一1，匕升=fan+6, 一区一 b二.一门干!，【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】（1 ）整理已知的递推公式即可得出初，则 曲+35是首项为1,公比为4的等比数列，再结合已知条件可推出 小Lb.即可得出IJI是首项为1,公差为2的等差

21、数列.（2）结合（1）的结论把两个数列|况+%/、la, - M的通项公式相减， 即可得出两个数列an和bn的通项公式。9. （2019?北京）已知数列an,从中选取第i1项、第i2项一第i m项（i 1<i 2<- <i m）. 若an <ai2<-Yaim.则称新数列an , a i2 ,，am为an的长度为m的递增子 列.规定：数列an的任意一项都是an的长度为1的递增子列.（I）写出数列1, 8, 3, 7, 5, 6, 9的一个长度为4的递增子列；（II ）已知数列an的长度为P的递增子列的末项的最小值为amo ,长度为q 的递增子列的末项的最小值为 an。，若p<q,求证：amMan。；（III ）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若 an的长 度为s的递增子列末项的最小值为2s-1 ,