2019年高考数学(理)命题热点全覆盖专题08+含参数的导数问题解题规律

1、2019年高考数学（理）命题热点 全覆盖专题08玷参数的导数问 题解题规律专题08含参数的导数问题解题规律一.知识点基本初等函数的导数公式(1)常用函数的导数(C)=(C为常数)；(x)'=(x2)=1x®(x)=(2)初等函数的导数公式(xn):(cos x) =(ax) =(lOgax) =5.导数的运算法则(1)f(x)由(x) = _ (2)f(x) g(x) = _(sin x) = _(ex) '=(ln x)=f (x)(3)/ 、=- g (x)6.复合函数的导数(1)对于两个函数y=f(u)和u= g(x),如果通过变量u可以表示成x的函数，那么称这

2、两个函数(函数y=f(u)和u = g(x)的复合函数为y=f(g(x).（解法二）由2时*0得，二念2tn x% f x+lnx1-x- 21nx设式力丁二 丁，则W（x）=由于分3=1*单调递减且"1） = 0 ,所以（0 ,）时Q）单调递增，（L+句时g（”单调递减方程物-工二。在（。收）上有且只有一个解等价于 3=g0）。故吟.点睛：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用 函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性;从图象的走向9例2.(1)(2)当口 f 为两个不相等的正数

3、，证明:【答案】丑。时,在区间©+8）内为增函数;2 xx + x2口 时，fW趋势，分析函数的单调性、周期性等.（二）构造函数已知函数/V）=Jmj + 以 + 瓦口小 H .讨论的单调性；在区间件力内为增函数；f在区间卜卜8）内为减函数；（2）见解析.【解析】（1）求出,分两种种情况讨论口的范围，在定义域内,分别令: 。求得，的范围，可得函数f增区间,rw < o求得X的范围，可得函数的的减区间；（2）设4。，原不等式等价于则原不等式也等价于即4"3".设"利用导数可得3在区间，十内为增函数，A1从而可得结论.【详解】（1）函数代灯的定义域为8

4、, =上+珠="若G 3广仆=著 必则汽常）在区间0+s）内为墙函如若宏43令13二等=力得£=：。一则当片式。一习时，/住）3 /在区间（。,一习内为增国数；当，寸，r力力汽灯在区间（一：+金）内为减困数，（2）当*时，左）=皿”.不妨设与咨。，则原不等式等价于工11 J1 勺拘一2 了7 #1+ 1A令昌，则原不等式也等价于即2；L”.下面证明当小江1时，恒成立.4Lj % 14（辫1）*、r h（k）=缶工 + "2 I r M"）= -= j A °设 "1 ,贝U M心+厅，故h在区间（L+同内为增函数,.,/nJ 42 &

5、gt; 0四=0,艮 L,A-*)-/W 4-盯所以【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不 等式的证明，属于又t题.不等式证明问题是近年高考命题的 热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单 的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究 函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不 等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证 的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或 者进一步利用导数证明.练习1.已知函数"x)=，iY.(1)证明：f X有两个零点；门幻一一试比较与2X0(2)已知1,若Xo R,使得,的大小.【答案】(1)见解析；(

6、2)见解析.x-【解析】(1)"I在0,3上单调递减,递增，根据函数的最值情况确定零点个数;在3,上单调由3(ln?T 的cc6P 2(以一In - +a值+/zfr) = lnr-F -t > 1|t - ,1 +, 函数h t在1,上单调递增,ir以一尸<0k又“=1:在1,上是增函数，Xo3 x-3(1)据题知门幻sTN"。' 令 f x 0)有x 3 ；令 f x 0) 递减，在3,上单调递增， ，兀二=八3) = 3-必3。求导得:得0 x 3,所以f x在0,3上单调x1)有 f1 10；令 xe2.有川君”=-6。故f X在1,3和3,e各

7、有1个零点.,f X有两个零点./(«)尸j3(山力-1口的- Itp'' 3(lnj0lucr | I = 1:h r) = lnr + t比一户 仪+ Q CL U >1h' (z)=- 则-(,+1)-(1-叨 _("以£(1 十。|>0函数ht在1,上单调递增，故 响/二。<0又在1,上是增函数，xo(三)极值点偏移 例3.已知函数(其中e是自然对数的底数G R).讨论函数的单避性;当函数值力有两个零点七星时，证明：月+ *户-2.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数

8、证 明不等式的问题。（1）求导数后，根据导函数的符号判断 出函数的单调性。（2）根据题意将证明4+-2的问题转化为证明4f =，口 即证皿2斗7）,构造函数利用函数词的单调性证明即可。试题解析：（1）解：./（*）=* /（力=产-上 O当加时，令正）=o,解得“一1 +加a,当砥-后可询时,八"）0, /单调递减；当X-l+岫+8）时，八力0, /单调递增。当卜时,八仙产"0恒成立，函数/出在R上单调递增.综上，当上。时,/在（-8，-】+萩）上单调递减，在（-1 +，成,+8）上 单调递增。当人。时，八月在R上单调递增.（2）证明：当收。时，由（1）知函数/单调递增，不

9、存 在两个零点。所以2。设函数八行的两个零点为国户”内 ,E " T =3+4a+ = H%如为小3 +3 A 口二三一里 则W）J|4 2感十2(t + 1)加工:设所以 要证2)只需证等Rc-5 短):Q+W2(E-D/=liU+；(f+D-2 = * + ；T 设 设吁始理T幅=” 缶单调递增, 所以 W）*D =。所以翦在区间。，2上单调递增，所以练习1 .已知函数/=-x + a/nxx(1)讨论，）的单调性;(2)已知f存在两个极值点 见地军二吧/目优）+加小） 工（如+不）,求4的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）”一）.【解析】（1）对函数进行求导，讨论导数的正负

10、，求得单 调区间.+0但）（2）将白斗力力刊巧+引变形为二利用韦达将其转化为关于a的函数，求得最值，即可得到&的取值范围.19/口口 耳? 一 03T + CT【详解】（1）仆了一3=（i ）当小思0）即时）工。）/在 +同上单调递减;Q -、/ -痴）±对单调递减;（ii）当-4"o）即口0或口4时）令r=0）得"2_|或因为a4,所以依唯V。,所以迨!在4,十上单调递减，则Ma）h（4,即h（a）Vfn4-2 ./+或用因为前叫式小8同 抬+切，即' A + xz ,所以9t4-3|, 即?的取值范围为mi）.【点睛】本题考查了导数和函数的单调

11、性，极值，最值的 关系，以及函数的能成立的问题，培养学生的转化能力， 运算能力，属于难题.（四）多变量问题例4.已知函数小卜缶石（0 x ）, 3）=f2例r）（I ）求f X的单调区间；（n）求证：1是g x的唯一极小值点；（田）若存在a, b 0，,满足小人幽，求m的取值范围.（只需写出结论）【答案】（1）单调递增区间为。弓，fx的单调递减区间3为3r见解析（3） m eT【解析】试题分析：（I）求出f,x, f ' X 0求得X的范围，可得函数fx增区间，fx 0求得x的范围，可得函数f x g*（r） =的减区间；（n）先求得工（x 0）,可得g,i。，又第（工）=lux- +

12、1可证明 工在定义域内递增，即可证明1是g（x）的唯一极小值点；（田）令两函数的值域有交集即可 试题解析：（I） 因为尸凶网=2/sin j x + «因为0 x ，所以x 34当x变化时，f' x , f x的变化情况如下:x0343434 ，f ' x0f x/极大 值故f x的单调递增区间为0，? , f x的单调递减区间为3 ,4（IJ ）证明：-J g工I =11 口H十制- 5 I=ltir+ 1 x设月（乂）=葭（工）二小一 1+1,贝U A,（X）= -+->0 工J x X*故才（刈在e什阴是单调递增国数又工二0 ,故方程SX）二o只有唯一卖根

13、X=1当x变化时,g' xg x的变化情况如下:x0.111,g' x0g x极小值/故g x在x 1时取得极小值g 1 m,即1是g x的唯一极小值点.3(III) me，(五)与三角函数有关的函数问题例5.已知函数/"5X0业建0).(1)若a 1,求函数f x的极大值；(2)若x 0,2时，恒有f x 0成立，求实数a的取值范围.【答案】(1) 2k 1 ； (2) 1,【解析】(1)当a 1时，但二而分皿,对其求导尸3皿, 判断导数与0的关系，故而可得其极值；(2)对f x求导， /= (aT+m小四，当a 1时，函数单调递增，不等式成立；f' x单,

14、进而可x 0不恒k N时,当a 1时，对其进行二次求导，可得f''x 0恒成立, 调递增，结合零点存在定理可得f'x有唯一零点” 得当x 0,X0时，fx单调递减，且小)5°)= °,即f 成立；试题解析：(1) a 1时当”件 f,x 0, fx单调递增，当381泗？十2加，卜N时，f,x 0, f x单调递减，所以，当9+1在时，f x取得极大值2k 1 ,k N(2)f ' x = (jco-sx-cosr + xzinx = i a-1 +xtaiirlcosx当a 1 0 ,即a 1时，f' x 0 ,所以f x单调递增，所

15、以，（力不（。）=0 .1时,尸 L = a - 1) sinx + dnx+xcosjr=(2 -si me + xco tx >0f兀1 其/t _ =_'> n所以f,x单调递增，尸初二，所以f,x有唯一零点，记为xo,当 ，"（。）=。,即 f x 是1,.练习1.已知函数的x0,xo时 f ' x 0 f x单调递减且zz0不恒成立；综上所述，a的取值范围小）=予图象在点即旧处的切线方程为y 5x .4（1）求a，b的值求函数fx在了万值域.【答案】（1） 3,1； （2）-速7五. +12 4【解析】（1）求得f x的导数，可得切线的斜率和切点

16、，由已知切线的方程可得a,b的方程组，解方程即可得到所求；（2）求得f x的导数，利用导数研究函数的单调性，利用单调性即可得到函数 fx在,值域4 2试题解析：（1）2x+ I =a-2smlp4为)，又 十工午的 一 =5,/ =aL 4汽元 *3江 + P=42444,解得 a 3,b 1.优 由（1）知/3="4+*厂门25函数f x在了2上递增，"7171J3花7T 7COS/T+一=H-1244函数fx在,上的值域为4 2笈1R -一.+ 12 4（六）构造函数求参数例 6,设函数一- - - - -一（1）当a 1时，求函数gx的极值；（2）设F刖小F出卜仪三）

17、< -1对任意知七侬邸画都有而一赴,求实数b的取值范围.（1）叫小无极大值；（2） b27T.【解析】（1）当a 1时，'3-'定义域为结合函数的单调性可得乳叽.小式2尸如二函数没有极大值.F（玷-F3）n0尸（不升网-|>）+句HQ由已知 6y*二贝,构造函数G x在0,2上单调递减，分类讨论可得:当x1,2 时,27当x 0,1时),b 0)综上，由得:27(1)当a 1时，且-T,定义域为0, 当x 0,2时,gQvQg单调递减， 当x 2,时，单调递增,g x的递减区间是0,2 ,递增区间是2,g'l =1一二=二小牛"”比2无极大值.F

18、-广 二° F«)十均-(2)由已知设G印二产M1+"贝Ug x在0,2上单调递减，当所以x 1,2 时，网”二百之0,6(x) =lnx+-Hr, Gr( x =-+ 1 <0 三十 ix (x+irXJ整理:h(.X)X2+3x+3+- r.设二则/j*-2X3- >0r、式在1,2上恒成立,所以hx在1,2上单调递增,当x 0,1时，/=鹏。，G(x) =-lax 一 心-+x,G1h)=所以一一力)二21所以hx最大值是2+1<0 (x+以+(x4/=_M +2V_1-1 整理：bw (x) =X 4-Jf-1 -W77 = 2x+1-F

19、 >0设、则/ 在0,1上恒成立, 所以mx在0,1上单调递增，所以m x最大值是小)=。力对， 综上，由得：b 27.练习1.已知函数自二-7在”1处的切线斜率为 F.(1)若函数而在“上单调，求实数B的最大值；(2)当时，若存在不等的wve+3)使得心尸3心小d , 求实数k的取值范围.【答案】(1) I；也+ 8).1【解析】(1)先根据切线的斜率求出再根据函数单调， 得到b“一#亘成立，求出b的最大值.(2)转化为存在不等的 3浮他+ 8),且。<飞使得但一印叼口工产皿玉足。进而得到 k>0.【详解】(1)函数七一更"一星在"1处的切线斜率为&qu

20、ot;然 _1 解得“二所以的故八-1因为函数/在?上单调故或&)=/*止。在吐恒成立.显然"i即°在R上不恒成立.所以叱T恒成立即可.因为心土丁1可知在二-吗。,：上单减，S-)单增 故C1所以实数月的最大值为1.（2）当w时，由（1）知函数在F上单调递增不妨设,使得啥强出口23即为存在不等的/七白（。.十旬;且*气使得/T 立）-（耳）上*1=/逛 - 3 看,区）- .其否定为：任意。，它产，都有冉）一网”5）-3即：函数'T""yTE”在所同上单调递增.由（1）知：叵为即浓所以若存在不等的卜至恒叼使得小£阳日实数珀勺取值

21、范围为（。，+ 8）.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题和 最值，考查利用导数研究不等式的存在性问题，意在考查 学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（七）讨论参数求参数例7.已知函数小）2+（口-g+。-巾-，小（e为自 然对数的底数）.（D当a 1时，求函数f x在点0,f 0处的切线方程；（）若函数gx有两个零点，试求a的取值范围；（田）当x 0时，'"恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1） y x 1 （2） 0,（3）八（*T【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到f 0 1, f 0 1,根据这两点可以写出切线方程。（2）对函数g x进行

22、单调性的研究，分a 0, a 0, a 0,三种情况讨论单调性，研究函数的图像变换趋势，得到参数方位。(3)原不等式等价于八亍恒成立，对右侧函数研究单调性得最 值即可。解析：(I )当 a 1时，门l*.f 0 1, f 01.所以函数f x在点0,f 0处的切线方程为y x 1.(口 )由粒自的定义域为R ,由已知得二川/+叫一当。=。时，的窈=(#1)/只有一个零点宁当a )。h因为/ 4 2出 口，当置毛(-叫0)时F /VOj当ME电+H)时,g(x)Q所以函数2(幻在(TO,0)上单US递减，在电+动上单调递增.又g=-1,式1)=%因为x 0,所以x 1 0, ex 1所以gTA&

23、quot;，所以x)+Z1 *J1 + 4a取* =一显然 x0 0且 gx0 0所以家。)刎。学引却。.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.当a 0时，由戈=x"+=。，得x 0,或* =网-肛.i)ii a 2，则ln 2a 0.当x变化时，g x , g x变化情况如下 表：有仰“一）In(-Zd)Qn1一2 唠,+w)占8-+0a4工3P7、Z注意到g 0 1 ,所以函数g x至多有一个零点，不符合题意. ii）当a :，则ln 2a 0, gx在，单调递增，函数g x至多 有一个零点，不符合题意.若a 2,则1n 2a。.当X变化时,g X） g X变化情况如

24、下表:a一IIEg)QaC-tolG)0和）丰00r享zX-11,所以函注意到当X 0, a 0时,。，go 数g x至多有一个零点，不符合题意.综上，.a的取值范围是0,（田）当x 0时,/(x) > f I r|+- l>0%，1度£口 £父_+断工片M _兀工，令 工工，则呐5T+G? 则/区=水”|x 0,1n2时） x 0） x单调递减;当阳时，x 0,x单调递增又 00）10）所以）当 x 0,1 时） x 0）即 hx 0） 所以hx单调递减；当x 1,时，W）=（F，rT。，即h x 0, 所以hx单调递增，所以 小卷所以“（rel.点睛：本题考

25、查利用导数研究函数的单调性，考查函数的 最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的 能力，分类讨论的能力，属于较难的题.利用导数证明不 等式常见类型及解题策略（1）构造差函数乱折了一.根据 差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不 等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函 数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大 小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函 数.练习1.设函数f xex, g x Inx .(I )证明:（n）若对所有的x 0,都有小求实数a的取值 范围.【答案】（I）见解析；（n） a 2.F （上）=- 2+ 【解析】试题分析：（I ）令:求导得单调性，进而得 W3'）=。，从而得证；（II ）记卜求两次