第一节导数的概念

1、第二章 导数与微分导数思想最早由法国数学家 Ferma 在研究极值问题中提出.微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 英国数学家 Newton微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)第一节 导数概念一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系一、一、 引例引例（一）（一） 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim

2、0ttv)()(0tftf0tt 0tso)(0tf)(tft221tgs 自由落体运动（二）切线问题（二）切线问题 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线割线 M N 的极限位置 M T(当 时)割线 M N 的斜率xyo)(xfy CNT0 xMxtan)()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率tanktanlim lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf

3、;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 运动质点的位置函数)(tfs so0t)(0tf)(tft在 时刻的瞬时速度0t曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率xyo)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx lim0ttv)()(0tftf0tt )(0tf )(0 xf 0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx若上述极限不存在 ,在点

4、 不可导. 0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就说函数就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 单侧导数单侧导数在点0 x的某个右右 邻域内)(xfy 若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为)(xf)(0 xf即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)在 处的右右 导数导数,0 x记作(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在 x = 0 处有

5、,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2 . 设函数有定义,存在,函数在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf简写为)(xf在点0 x必 右右 连续.(左左)若函数)(xf)(af)(bf与都存在 , 则称)(xf显然:)(xf在闭区间 a , b 上可导,)(baCxf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba可导的充分必要条件是且在点处右右 导数存在0 x函数)(xf(左左)例例1、求函数Cxf)(C 为常数) 的导数. 解解:yxCCx0lim0即0)(C例例2. 求函数)N()(nxxfn.

6、处的导数在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxf)()(0limx说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x例例3.hxhxhsin)sin(lim0求函数xxfsin)(的导数. 解解:,xh令则)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin类似可证得xxsin)(cosh例例4

7、、证明函数xxf)(在 x = 0 不可导. 证证:hfhf)0()0(hh0h,10h,1hfhfh)0()0(lim0不存在 , .0不可导在即xx三、三、 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0 xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000

8、xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf在 x = 0 处连续 , 但不可导.四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系处可导在点xxf)(定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 即内容小结内容小结1. 导数的实质:3. 导数的几何意义:4. 可导必连续, 但连续不一定可导;5. 已学求导公式 :6. 判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等. )(C )(x )(sin x )(cosxaxf)(02. axfxf)()(00 )(ln x;0;1x;cosx;sin xx1增量比的极限;切线的斜率;牛顿牛顿(1642 1727)伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文学家和自然科学家. 他在数学上的卓越贡献是创立了微积分. 1665年他提出正流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版). 他还著有自然哲学的数学原理和广义算术等