第6章_特征值和特征向量

1、6.1.16.1.1幂法幂法幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和对应的特征向量幂法主要用于求矩阵按模最大的特征值和对应的特征向量. .设设A具有具有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量x1,x2,xn, ,其相应的特征其相应的特征值值 1, 2, , n满足：满足：第第6 6章章 方阵的特征值和方阵的特征值和特征向量特征向量 由线性代数知，对于由线性代数知，对于n阶方阵阶方阵A，若存在常数，若存在常数 和和n维非维非零向量零向量x，满足，满足Ax= x，则称，则称 为为A的一个的一个特征值特征值，称，称x为为A的的 所对应的所对应的特征向量特征向量。本章将讨论几种常用的计算矩阵特征。本章

2、将讨论几种常用的计算矩阵特征值及特征向量的数值方法值及特征向量的数值方法, ,并只限并只限A是实矩阵的情况是实矩阵的情况. . 16.1 6.1 幂法和反幂法幂法和反幂法)1.6(|,|321n现任取一非零向量现任取一非零向量u0 0令令)2.6(,2, 1,1kAuukk得向量序列得向量序列 uk k, , k=0,1,2, =0,1,2, 因因x1 1, ,x2 2, , ,xn n线性无关线性无关, ,故故n维向量维向量u0 0必可由它们线性表示：必可由它们线性表示：设设1 10,0,当当k充分大时充分大时, ,nnxxxu22110)3.6(1122211122211122110221

3、nknkknknnkknknkkkkkkxxxxxxxAxAxAuAuAAuun1,1112n.对应的特征向量为可近似地作则不是零向量,1k111uxukk 2对对An nn n，任取非零向量，任取非零向量u0 0, ,对对k=1,2,=1,2,执行以下各步骤：执行以下各步骤：实际计算时实际计算时, ,为防止为防止uk k的模过大或过小的模过大或过小, ,以致产生计算机运算以致产生计算机运算的上下溢出的上下溢出, ,通常每次迭代都对通常每次迭代都对uk k进行归一化进行归一化, ,使使uk k=1,=1,因此以上幂法公式改进为：因此以上幂法公式改进为：此时有此时有| | 1 1|=|=uk k

4、 ， 1 1的符号由如下原则确定：当相的符号由如下原则确定：当相邻两次的邻两次的uk k和和uk-1k-1对应分量符号相同对应分量符号相同, ,取取 1 1的符号为正；符号的符号为正；符号相反则为负相反则为负. .编制程序可采用如下算法：编制程序可采用如下算法：)4.6(,2,11111kAyuuuykkkkk,y=x,=,| 111111111令若)5,)()sgn()4,)3|,|)2,|,|max|)1k-kk-krkrkkkrkkkiinirt-ttuatAyuauyuaaa的分量是 3退出运算；否则返回退出运算；否则返回1 1）重做以上步骤。）重做以上步骤。 4例例1 1 求矩阵求矩

5、阵按模最大的特征值按模最大的特征值 1 1和相应的特征向量和相应的特征向量636502211A 5解解: : 见表见表6-16-1所以所以 1 15.008. 5.008. x1 1(0.2779,0.8865,1)(0.2779,0.8865,1)T T而精确解为而精确解为 1 1=5, =5, x1 1=(0.2778,0.8889,1)=(0.2778,0.8889,1)T T. .6.1.2 6.1.2 幂法的其他复杂情况幂法的其他复杂情况1.1.我们假设了我们假设了A具有完全的特征向量系具有完全的特征向量系, ,即即A具有具有n个线性无个线性无关的特征向量关的特征向量. .当当A不具

6、有不具有n个线性无关的特征向量时个线性无关的特征向量时, ,幂法不幂法不适用适用, ,但事前往往无法判断这一点但事前往往无法判断这一点. .因此在运用幂法时因此在运用幂法时, ,发现发现不收敛或收敛很慢情况不收敛或收敛很慢情况, ,要考虑此种可能要考虑此种可能. .2.2.我们假设在我们假设在(6.3)(6.3)中中1 10,0,这在选择这在选择u0 0时时, ,也无法判断也无法判断, ,但但这往往不影响幂法的成功使用这往往不影响幂法的成功使用. .因为若选因为若选u0 0, ,使使1 1=0,=0,由于舍由于舍入误差的影响入误差的影响, ,在迭代某一步会产生在迭代某一步会产生uk k, ,它

7、在它在x1 1方向上的分量方向上的分量不为零不为零, ,这时以后的迭代仍会收敛这时以后的迭代仍会收敛. .3.3.我们假设了我们假设了若不具此条件若不具此条件, ,可能出现的情况有：可能出现的情况有：|,|321n|,| ,)1(1121nrr;)2(21;)3(21对情况对情况(1),(1),归一化幂法归一化幂法(6.4)(6.4)仍适用仍适用, ,但选择不同的但选择不同的u0 0得到的得到的特征向量特征向量uk k是不同的是不同的. .对情况对情况(2)(2)和和(3)(3)情况较复杂情况较复杂,(6.4),(6.4)得得到的序列不收敛到的序列不收敛, ,但可从序列中看出规律但可从序列中看

8、出规律, ,推算出推算出 1, 2, , 在在正常情况下正常情况下, ,幂法编程很简单幂法编程很简单, ,但由于以上例外情况的存在但由于以上例外情况的存在, ,一个完善的幂法程序就很难实现了一个完善的幂法程序就很难实现了. . 66.1.3 6.1.3 反幂法反幂法由由Axi= ixi易推得易推得A-1xi=(1/ i)xi , ,若有若有则则1/1/ n是是A-1-1的按模最大的特征值的按模最大的特征值, ,我们只要求出我们只要求出A-1-1的按模的按模最大的特征值最大的特征值, ,也就求出了也就求出了A的按模最小的特征值的按模最小的特征值. .为了避免为了避免求逆阵求逆阵, ,我们用解方程组的方法构造如下算法：我们用解方程组的方法构造如下算法：对任意初始向量对任意初始向量u0 0作作: :|,|321n,2, 11111kuyAuuuykkkkkk中解出从例例2 2 求例求例1 1中矩阵中矩阵A的按模