工程力学-第五章

1、杆件的内力分析与内力图杆件的内力分析与内力图 杆件在外力作用下，横截面上将产生杆件在外力作用下，横截面上将产生轴力、轴力、剪力、扭矩、弯矩剪力、扭矩、弯矩等内力分量。在很多情形下，等内力分量。在很多情形下，内力分量沿杆件的长度方向的分布不是均匀的。内力分量沿杆件的长度方向的分布不是均匀的。研究强度问题，需要知道哪些横截面可能研究强度问题，需要知道哪些横截面可能最先最先发生失效发生失效，这些横截面称为危险面。内力分量，这些横截面称为危险面。内力分量最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研最大的横截面就是首先需要考虑的危险面。研究刚度问题虽然没有危险面的问题，但是也必究刚度问题虽然没有危险面的问题

2、，但是也必须知道内力分量沿杆件长度方向是怎样变化的。须知道内力分量沿杆件长度方向是怎样变化的。 为了确定内力分量最大的横截面，必须为了确定内力分量最大的横截面，必须知道内力分量沿着杆件的长度方向是怎样知道内力分量沿着杆件的长度方向是怎样分布的。杆件的内力图就是表示内力分量分布的。杆件的内力图就是表示内力分量变化的图形。变化的图形。 本章首先介绍内力分量的正负号规则；本章首先介绍内力分量的正负号规则；然后介绍轴力图、扭矩图和剪力图与弯矩然后介绍轴力图、扭矩图和剪力图与弯矩图，重点是剪力图与弯矩图；最后讨论载图，重点是剪力图与弯矩图；最后讨论载荷、剪力、弯矩之间的微分关系及其在绘荷、剪力、弯矩之间

3、的微分关系及其在绘制剪力图和弯矩图中的应用。制剪力图和弯矩图中的应用。 确定外力作用下杆件横截面上的内力确定外力作用下杆件横截面上的内力分量，重要的是正确应用平衡的概念和平分量，重要的是正确应用平衡的概念和平衡的方法。这一点与静力分析中的概念和衡的方法。这一点与静力分析中的概念和方法相似，但又不完全相同。主要区别在方法相似，但又不完全相同。主要区别在于，在静力分析中只涉及共同系统或单个于，在静力分析中只涉及共同系统或单个刚体的平衡，而在确定时，不仅要涉及单刚体的平衡，而在确定时，不仅要涉及单个构件以及构件系统的平衡，而且还要涉个构件以及构件系统的平衡，而且还要涉及构件的局部的平衡。因此，需要将

4、平衡及构件的局部的平衡。因此，需要将平衡的概念加以扩展和延伸。的概念加以扩展和延伸。弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其弹性杆件在外力作用下若保持平衡，则从其上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整上截取的任意部分也必须保持平衡。前者称为整体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。体平衡或总体平衡；后者称为局部平衡。整体是指杆件所代表的某一构件；局部是指：整体是指杆件所代表的某一构件；局部是指：可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；可以是用一截面将杆截成的两部分中的任一部分；也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段；还也可以是无限接近的两个截面所截出的一微段；还可以是围绕某一点截取的微元或

5、微元的局部；等等。可以是围绕某一点截取的微元或微元的局部；等等。 应用截面法可以证明，当杆件上的外力应用截面法可以证明，当杆件上的外力（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生（包括载荷与约束力）沿杆的轴线方向发生突变突变时，内力的变化规律也将发生变化。时，内力的变化规律也将发生变化。 所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶所谓外力突变，是指有集中力、集中力偶作用的情形；分布载荷间断或分布载荷集度作用的情形；分布载荷间断或分布载荷集度发生突变的情形。发生突变的情形。所谓内力变化规律是指表示所谓内力变化规律是指表示内力变化的函内力变化的函数或变化的图线数或变化的图线。如果在两个外力作用点之间。如果在两

6、个外力作用点之间的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所的杆件上没有其他外力作用，则这一段杆件所有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者有横截面上的内力可以用同一个数学方程或者同一图线描述。同一图线描述。 某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆某一截面上的内力与作用在该截面一侧局部杆件上的外力相平衡；件上的外力相平衡；在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同在荷载无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化；的规律变化；控制面控制面 根据以上分析，在一段杆上，内力按某根据以上分析，在一段杆上，内力按某一种函数规律变化，这一段杆的两个端截一种函数规律变化，这一段杆的两个端截面称为控制面（面称为

7、控制面（control cross-section）。据）。据此，下列截面均可为控制面：此，下列截面均可为控制面：集中力作用点的两侧截面；集中力作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面；集中力偶作用点的两侧截面；均布载荷（集度相同）起点和终点均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。处的截面。 外力规律发生变化截面外力规律发生变化截面集中力两集中力两侧截面、集中力偶作用点两侧截面、分侧截面、集中力偶作用点两侧截面、分布荷载的起点和终点处的横截面。布荷载的起点和终点处的横截面。杆件内力分量的正负号规则杆件内力分量的正负号规则 同一位置处左、右侧截面上内力同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相

8、同的正负号。分量必须具有相同的正负号。FNFN轴力轴力FNx或或FN无论作用在哪一侧截面上，使杆无论作用在哪一侧截面上，使杆件受拉者为正；受压者为负。件受拉者为正；受压者为负。 扭矩扭矩Mx扭矩矢量方向与截面外法线方向一致扭矩矢量方向与截面外法线方向一致者为正；反之为负。者为正；反之为负。 剪力剪力FQ(FQy或或FQz)-)-使截开部分杆件产生顺时针使截开部分杆件产生顺时针方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。方向转动者为正；逆时针方向转动者为负。 FQFQ弯矩弯矩M( (My或或Mz)-)-作用在左侧面作用在左侧面上使截开部分逆时针方向转动；或者上使截开部分逆时针方向转动；或者作用在右侧截

9、面上使截开部分顺时针作用在右侧截面上使截开部分顺时针方向转动者为正；反之为负。方向转动者为正；反之为负。 FNFNFQFQ 用假想截面从所用假想截面从所要求的截面处将杆要求的截面处将杆截为两部分截为两部分 考察其中任意考察其中任意一部分的平衡一部分的平衡 由平衡方程求由平衡方程求得横截面的内得横截面的内力分量力分量，000CyxMFFCFPll例题例题1ABCD一端固定另一端一端固定另一端自由的梁，称为悬臂自由的梁，称为悬臂梁梁(cantilever beam)。梁承受集中力。梁承受集中力FP及及集中力偶集中力偶MO作用。作用。MO=2FPl试确定试确定:截面截面C及及截面截面D上的剪力和弯上

10、的剪力和弯矩。矩。C、D截面与加截面与加力点无限接近。力点无限接近。FPFPllABCDMO=2FPl解：解：1. 应用静力学平衡应用静力学平衡方程确定固定端的约束力。方程确定固定端的约束力。2. 应用截面法确定应用截面法确定C截截面上的内力分量面上的内力分量用假想截面将梁用假想截面将梁C截面截面处截开，以左边部分为平衡处截开，以左边部分为平衡对象。对象。因为外力与梁轴线都在同一平面因为外力与梁轴线都在同一平面内，而且没有沿杆件轴线方向的外力内，而且没有沿杆件轴线方向的外力作用，所以横截面上没有轴力和扭矩作用，所以横截面上没有轴力和扭矩，只有剪力和弯矩两种内力分量。，只有剪力和弯矩两种内力分量

11、。MA0AClFPMA0FQCMCFPMA0FPllABCDMO=2FPl解：解： 2. 应用截面法确定应用截面法确定C截面上的内力分量截面上的内力分量CAFPlMA0假设截开横截面上的剪假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据力和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方截开的局部平衡建立平衡方程：程：00QP，CyFFF00P，lFMMMACCPQFFClFMCP所得结果均为正值，这表明所假设所得结果均为正值，这表明所假设的的C截面上的剪力和弯矩的正方向是截面上的剪力和弯矩的正方向是正确的。正确的。FPMA0FPllABCDMO=2FPl解：解： 3. 应用截面法确应用截面法确定定D

12、截面上的内力分量截面上的内力分量AFPMA0llMO=2FPlD用假想截面将梁用假想截面将梁D截面截面处截开，以左边部分为平处截开，以左边部分为平衡对象。衡对象。FPMA0FPllABCDMO=2FPl 解：解： 3. 应用截面法确定应用截面法确定D截截面上的内力分量面上的内力分量假设截开横截面上的剪力假设截开横截面上的剪力和弯矩均为正方向。根据截开和弯矩均为正方向。根据截开的局部平衡建立平衡方程：的局部平衡建立平衡方程：因为因为D截面无限接近截面无限接近B截面，所截面，所以式中以式中MDFQDAFPMA0llMO=2FPlD00PQ，FFFDy020PlFMMMMOADD0PQFFD0DM解

13、：解： 4. 讨论讨论本例中所选择的研究本例中所选择的研究对象都是对象都是C、 D截面以左截面以左部分梁，因而需要首先确部分梁，因而需要首先确定左端的约束力。如果以定左端的约束力。如果以C、 D截面以右部分梁作截面以右部分梁作为平衡对象，则无需确定为平衡对象，则无需确定约束力。计算过程会更简约束力。计算过程会更简单些。单些。FPMA0FPllABCDMO=2FPl轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 轴力图轴力图 扭矩图扭矩图 沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为沿着杆件轴线方向作用的载荷，通常称为轴向载荷轴向载荷(normal load)。杆件承受轴向载荷作。杆件承受轴向载荷作用时，横截面上只有轴力

14、一种内力分量用时，横截面上只有轴力一种内力分量FN。杆件只在两个端截面处承受轴向载荷时，杆件只在两个端截面处承受轴向载荷时，则杆件的所有横截面上的轴力都是相同的。如则杆件的所有横截面上的轴力都是相同的。如果杆件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有果杆件上作用有两个以上的轴向载荷，就只有两个轴向载荷作用点之间的横截面上的轴力是两个轴向载荷作用点之间的横截面上的轴力是相同的。相同的。表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称表示轴力沿杆件轴线方向变化的图形，称为为轴力图轴力图（diagram of normal force）。）。 CAB直杆，直杆，A端固定，在端固定，在B、C两两处作用有集中载荷处作用有

15、集中载荷F1和和F2，其中其中F15 kN，F210 kN。F2llCABllF2FA试画出：试画出：杆件的轴力图。杆件的轴力图。解：解：1. 确定确定A处的约束力处的约束力A处虽然是固定端约束，处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向作用，所以只有一个轴向的约束力的约束力FA。0 xF求得求得 FA5 kN 由平衡方程由平衡方程解：解：2. 确定控制面确定控制面3. 应用截面法求控制面上的应用截面法求控制面上的轴力轴力 用假想截面分别从控制面用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截开，假处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向设横截面上

16、的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。部分的平衡。 CABF2llCABllF2FA在集中载荷在集中载荷F2、约束力、约束力FA作用处的作用处的A、C截面，以及集截面，以及集中载荷中载荷F1作用点作用点B处的上、下处的上、下两侧横截面都是控制面。两侧横截面都是控制面。 3.应用截面法求控制面上的应用截面法求控制面上的轴力轴力 用假想截面分别从控制面用假想截面分别从控制面A、 B 、B、 C处将杆截处将杆截开，假设横截面上的轴力均开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并为正方向（拉力），并考察考察截开后下面部分的平衡截开后下面部分的平衡，求，求得各截

17、面上的轴力：得各截面上的轴力： CABllF2FACABllF2FNA0 xFkN512NFFFA3. 应用截面法应用截面法应用截面法应用截面法求控制面上的轴力求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面用假想截面分别从控制面A、 B 、B、C处将杆截开处将杆截开，假设横截面上的轴力均，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：，求得各截面上的轴力： CABllF2FA0 xFCBlF2kN512N FFFBFN 3. 应用截面法应用截面法应用截面法应用截面法求控制面上的轴力求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制

18、面用假想截面分别从控制面A、 B 、B、C处将杆截处将杆截开，假设横截面上的轴力均开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：得各截面上的轴力： CABllF2FAFN 0 xFClF2kN102NFFB3. 应用截面法应用截面应用截面法应用截面法求控制面上的轴力法求控制面上的轴力 用假想截面分别从控制用假想截面分别从控制面面A、 B 、B、C处将杆处将杆截开，假设横截面上的轴截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面

19、上的轴平衡，求得各截面上的轴力：力： CABllF2FAFN 0 xFClF2kN102NFFC4. 建立建立FNx坐标系，画轴力图坐标系，画轴力图FNx坐标系中坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴垂直于坐标轴垂直于x轴。轴。将所求得的各控制面上的轴力标在将所求得的各控制面上的轴力标在FNx坐坐标系中，得到标系中，得到a、和、和c四点。因为在四点。因为在A、之间以、之间以及、及、C之间，没有其他外力作用，故这两段中之间，没有其他外力作用，故这两段中的轴力分别与的轴力分别与A（或）截面以及（或）截面以及C（或）截面（或）截面相同。这表明相同。这表明a点与点心点与

20、点心”之间以及之间以及c点之间的点之间的轴力图为平行于轴力图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴的直线。于是，得到杆的轴力图。轴力图。 轴力图与扭矩图轴力图与扭矩图 FN/kNOxCABF2llCABllF2FNAFN CBlF2FN ClF2FN ClF2510105根据以上分析，绘制轴力图的方法根据以上分析，绘制轴力图的方法确定约束力；确定约束力；根据杆件上作用的载荷以及约束力，根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴力图的分段点；确定控制面，也就是轴力图的分段点；应用截面法，用假想截面从控制面处应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知将杆件截开，在

21、截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力件建立平衡方程，确定控制面上的轴力建立建立FNx坐标系，将所求得的轴力值坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。标在坐标系中，画出轴力图。 绘制轴力图（1）（2）（1）（2）（3）（4）（3）（4）扭矩图扭矩图 作用在杆件上的外力偶矩，可以由外作用在杆件上的外力偶矩，可以由外力向杆的轴线简化而得，但是对于传递功力向杆的轴线简化而得，但是对于传递功率的轴，通常都不是直接给出力或力偶矩率的轴，通常都不是直接给出力或力偶矩，而是给定功率和转速。，而是给定功率和转速

22、。因为力偶矩在单位时间内所作之功即因为力偶矩在单位时间内所作之功即为功率，于是有为功率，于是有 PT其中其中T为外力偶矩；为外力偶矩； 为轴转动的角速为轴转动的角速度；度；P为轴传递的功率。为轴传递的功率。 考虑到：考虑到：1 kWl000 Nm/s，上式可以改写为，上式可以改写为 其中功率其中功率P的单位为的单位为kW；n为轴每分钟的转数为轴每分钟的转数，用，用r/min表示。表示。 10009549260PPPTnnPT在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上在扭转外力偶作用下，圆轴横截面上将产生扭矩。确定扭矩的方法也是截面法将产生扭矩。确定扭矩的方法也是截面法，即假想截面将杆截开分成两部分，横截

23、，即假想截面将杆截开分成两部分，横截面上的扭矩与作用在轴的任一部分上的所面上的扭矩与作用在轴的任一部分上的所有外力偶矩组成平衡力系。据此，即可求有外力偶矩组成平衡力系。据此，即可求得扭矩的大小与方向。得扭矩的大小与方向。如果只在轴的两个端截面作用有外力如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭矩都是相同的，并且都等于作用在轴上的外都是相同的，并且都等于作用在轴上的外力偶矩。力偶矩。 当轴的长度方向上有两个以上的外力当轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩将是不相等的，这时需用

24、截面法确定各段横截不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。面上的扭矩。扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图扭矩图(diagram of torsion moment)。绘制。绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似，扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似，这里不再重复。这里不再重复。例题例题3圆轴受有四个绕轴线转动的外加力圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力偶矩的单位为图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单，尺寸单位为位为mm。试试 ：画出圆轴的扭矩图。：画出圆轴的扭矩图。 解：解

25、：1确定控制面确定控制面外加力偶处截面外加力偶处截面A、B、C、D左右两侧的截面左右两侧的截面均为控制面。均为控制面。 2应用截面法应用截面法由由平衡方程平衡方程0 xM确定各段圆轴内的扭确定各段圆轴内的扭矩矩 。 3建立建立Mxx坐坐标系，画出扭矩图标系，画出扭矩图 建立建立Mxx坐标坐标系，其中系，其中x轴平行于轴平行于圆轴的轴线，圆轴的轴线，Mx轴轴垂直于圆轴的轴线。垂直于圆轴的轴线。将所求得的各段的扭将所求得的各段的扭矩值，标在矩值，标在Mxx坐坐标系中，得到相应的标系中，得到相应的点，过这些点作点，过这些点作x轴轴的平行线，即得到所的平行线，即得到所需要的扭矩图。需要的扭矩图。 圆轴

26、上安有5 个皮带轮，其中轮2 为主动轮，由此输入功率80 kW；1、3、4、5均为从动轮，它们输出功率分别为25 kW、15 kW、30 kW、10 kW，若圆轴设计成等截面的，为使设计更合理地利用材料，各轮位置可以互相调整。1 请判断下列布置中哪一种最好？(A) 图示位置最合理；(B) 2 轮与5 轮互换位置后最合理；(C) 1 轮与3 轮互换位置后最合理；(D) 2 轮与3 轮互换位置后最合理。2 画出带轮合理布置时轴的功率分布图。一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将一般受力情形下，梁内剪力和弯矩将随横截面位置的改变而发生变化。描述梁随横截面位置的改变而发生变化。描述梁的剪力和弯矩沿长度方向变

27、化的代数方程的剪力和弯矩沿长度方向变化的代数方程，分别称为，分别称为剪力方程剪力方程和和弯矩方程弯矩方程为了建立剪力方程和弯矩方程，必须为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立首先建立Oxy坐标系，其中坐标系，其中O坐标原点，坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取一般取在梁的左端，在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。坐标轴铅垂向上。 建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力的外力(包括载荷和约束力包括载荷和约束力)作用状况，确定控制面作用状况，确定控制面，从而确定要不

28、要分段，以及分几段建立剪力方，从而确定要不要分段，以及分几段建立剪力方程和弯矩方程。程和弯矩方程。确定了分段之后，在每一段中任意取一横截面确定了分段之后，在每一段中任意取一横截面，假设这一横截面的坐标为，假设这一横截面的坐标为x，然后从这一横截面，然后从这一横截面处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力处将梁截开，并假设所截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x)都是正方向，最后分别应用力的都是正方向，最后分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程的表达式，这就是所要求的剪力方程

29、FQ(x)和弯矩方程和弯矩方程M(x)。需要特别注意的是，在剪力方程和弯需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程中，矩方程中，x是变量，而是变量，而FQ(x)和和M(x)则是则是x的函数。的函数。这一方法和过程实际上与前面所介绍这一方法和过程实际上与前面所介绍的确定指定横截面上的内力分量的方法和的确定指定横截面上的内力分量的方法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是坐标为截面是坐标为x的横截面。的横截面。一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座一端为固定铰链支座、另一端为辊轴支座的梁，称为的梁，称为简支梁简支梁( (simple supported beam

30、) )。梁上承受集度为梁上承受集度为q的均布载荷作用，梁的长度的均布载荷作用，梁的长度为为2 2l。试写出：试写出：该梁的剪力方程和弯矩方程矩图。该梁的剪力方程和弯矩方程矩图。 qBAC解：解：1确定约束力确定约束力BACqqlFFBARR因为只有铅垂方向的外力，所以支座因为只有铅垂方向的外力，所以支座A的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受的水平约束力等于零。又因为梁的结构及受力都是对称的，故支座力都是对称的，故支座A与支座与支座B处铅垂方向处铅垂方向的约束力相同。的约束力相同。于是，根据平衡条件不难求得：于是，根据平衡条件不难求得：解：解：2确定控制面和分段确定控制面和分段 因为梁上只作用

31、有连因为梁上只作用有连续分布载荷续分布载荷(载荷集度没有载荷集度没有突变突变)，没有集中力和集中，没有集中力和集中力偶的作用，所以，从力偶的作用，所以，从A到到B梁的横截面上的剪力梁的横截面上的剪力和弯矩可以分别用一个方和弯矩可以分别用一个方程描述，因而无需分段建程描述，因而无需分段建立剪力方程和弯矩方程。立剪力方程和弯矩方程。 BACq3建立建立Oxy坐标系坐标系 以梁的左端以梁的左端A为坐标原为坐标原点，建立点，建立Oxy坐标系坐标系， BACq解：解：4确定剪力方程确定剪力方程和弯矩方程和弯矩方程由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 以以A、B之间坐标为之间坐标为x的的任意截面为假想截面

32、，任意截面为假想截面，将梁截开，取左段为研将梁截开，取左段为研究对象，在截开的截面究对象，在截开的截面上标出剪力上标出剪力FQ(x)和弯矩和弯矩M(x) )的正方向。的正方向。0yF 0M R02AxM xFxqx RQ0AFqxFxBACq解：解：4确定剪力方程确定剪力方程和弯矩方程和弯矩方程由左段梁的平衡条件由左段梁的平衡条件 得到梁的剪力方程和弯矩得到梁的剪力方程和弯矩方程分别为方程分别为 0yF 0M R02AxM xFxqx RQ0AFqxFx这一结果表明，梁上的剪力方程是这一结果表明，梁上的剪力方程是x的线性函数；的线性函数；弯矩方程是弯矩方程是x的二次函数。的二次函数。 lxqx

33、qlqxFxFA20RQ lxqxqlxxM2022悬臂梁在悬臂梁在B、C二处分别承受集中力二处分别承受集中力FP和和集中力偶集中力偶M2 2FPl作用。梁的全长为作用。梁的全长为2l。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。FPllABMO=2FPl解：解：1确定控制面和分段确定控制面和分段 本例将通过考察截开截面的本例将通过考察截开截面的右边部分平衡建立剪力方程和弯右边部分平衡建立剪力方程和弯矩方程，因此可以不必确定左端矩方程，因此可以不必确定左端的约束力。的约束力。 2建立建立Oxy坐标系坐标系以梁的左端以梁的左端A为坐标原点，建立为坐标原点，建立Oxy坐标系坐标

34、系，由于梁在固定端由于梁在固定端A处作用有处作用有约束力、自由端约束力、自由端B处作用有集中处作用有集中力、中点力、中点C处作用有集中力偶，处作用有集中力偶，所以，截面所以，截面A、B、C均为控制面均为控制面。因此，需要分为。因此，需要分为AC和和CB两段两段建立剪力和弯矩方程。建立剪力和弯矩方程。 FPllABMO=2FPl解：解：3建立剪力方程建立剪力方程和弯矩方程和弯矩方程FPllABMO=2FPl在在ACAC和和CBCB两段分别以坐标两段分别以坐标为为x x1 1和和x x2 2的横截面将其截开的横截面将其截开，并在截开的横截面上，并在截开的横截面上，假设剪力假设剪力F FQ Q( (

35、x x1 1) )、F FQ Q( (x x2 2) )和和弯矩弯矩M M( (x x1 1) )、M M( (x x2 2) )都是正方都是正方向，然后考察截开的右边向，然后考察截开的右边部分梁的平衡，由平衡方部分梁的平衡，由平衡方程即可确定所需要的剪力程即可确定所需要的剪力方程和弯矩方程。方程和弯矩方程。 解：解：3建立剪力方程和弯建立剪力方程和弯矩方程矩方程 Q1P00yFFxF 1P1020MM xMFlx对于对于AC段梁的剪力和弯矩段梁的剪力和弯矩方程，在方程，在x1处截开后，考察右边处截开后，考察右边部分的平衡。部分的平衡。FPllABMO=2FPlFPMO=2FPll2l x1B

36、根据平衡方程根据平衡方程 建立剪力方程建立剪力方程和弯矩方程和弯矩方程 Q1P00yFFxF 1P1020MM xMFlx得到得到AC段的剪力方程与弯矩方程：段的剪力方程与弯矩方程： lxFxF1P1Q0lxxFxlFlFxlFMxM11P1PP1P10222FPMO=2FPll2l x1BQ2P00yFFxF2P2020MM xFlxFPllABMO=2FPlFP2l x2BQ2P12FxFlxl2P2120M xFlxxl 试求图示各梁中指定截面上的剪力、弯矩值。载荷集度、剪力、弯矩之间载荷集度、剪力、弯矩之间 的微分关系的微分关系 作用在梁上的平面载荷，如果不作用在梁上的平面载荷，如果不

37、包含纵向力，这时梁的横截面上将只包含纵向力，这时梁的横截面上将只有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁有弯矩和剪力。表示剪力和弯矩沿梁轴线方向变化的图线，分别称为轴线方向变化的图线，分别称为剪力剪力图图（diagram of shearing force）和）和弯弯矩图矩图（diagram of bending moment）。）。 绘制剪力图和弯矩图有两种方法：绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方第一种方法是：根据剪力方程和弯矩方程，在程，在FQx和和Mx坐标系中首先标出坐标系中首先标出剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力方程和弯矩方程定义域两个端点的剪力值和弯矩值，

38、得到相应的点；然后剪力值和弯矩值，得到相应的点；然后按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相按照剪力和弯矩方程的类型，绘制出相应的图线，便得到所需要的剪力图与弯应的图线，便得到所需要的剪力图与弯矩图。矩图。绘制剪力图和弯矩图的第二种方法：绘制剪力图和弯矩图的第二种方法：先在先在FQx和和Mx坐标系中标出控制面坐标系中标出控制面上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集上的剪力和弯矩数值，然后应用载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定度、剪力、弯矩之间的微分关系，确定控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，控制面之间的剪力和弯矩图线的形状，无需首先建立剪力方程和弯矩方程。无需首先建立剪力方程和弯矩方程。 即不用求

39、得一次曲线方程或者二次曲线即不用求得一次曲线方程或者二次曲线方程，只要利用关键点的值和微分关系方程，只要利用关键点的值和微分关系就可以绘制出相应的图。就可以绘制出相应的图。根据相距根据相距d dx x的两个横截面截处微段的两个横截面截处微段的平衡，可以得到载荷集度、剪力、弯的平衡，可以得到载荷集度、剪力、弯矩之间存在下列的微分关系：矩之间存在下列的微分关系： qxMFxMqxF22QQdddddd将将FQ(x)对对x求一次导数，将求一次导数，将M(x)对对x求一次和求一次和二次导数，得到二次导数，得到 BACqQFxq lq x22q xMxq lx qxxFddQ QddFqxqlxxMqx

40、M22dd由例题由例题4 4的结果进行讲解的结果进行讲解式中等号右边的负号，是由于作用在梁上的均布载荷是式中等号右边的负号，是由于作用在梁上的均布载荷是向下的。因此，向下的。因此，规定规定：对于向上的均布载荷，微分关系：对于向上的均布载荷，微分关系式中的载荷集度式中的载荷集度q为正值；对于向下的均布载荷，载荷为正值；对于向下的均布载荷，载荷集度集度q为负值。为负值。 QFxqlqx22qxMxqlx qxxFddQQddFqxqlxxMqxM22dd上述微分关系，说明剪力图和弯矩图图线的几何形上述微分关系，说明剪力图和弯矩图图线的几何形状与作用在梁上的载荷集度有关。状与作用在梁上的载荷集度有关

41、。剪力图的斜率等于作用在梁剪力图的斜率等于作用在梁上的均布载荷集度；弯矩图在某一点上的均布载荷集度；弯矩图在某一点处斜率等于对应截面处剪力的数值。处斜率等于对应截面处剪力的数值。 如果一段梁上没有分布载荷作如果一段梁上没有分布载荷作用，即用，即q0 0，这一段梁上剪力的一阶导，这一段梁上剪力的一阶导数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，数等于零，弯矩的一阶导数等于常数，因此，这一段梁的剪力图为平行于因此，这一段梁的剪力图为平行于x轴的轴的水平直线；弯矩图为斜直线。水平直线；弯矩图为斜直线。 如果一段梁上作用有均布载荷，即如果一段梁上作用有均布载荷，即q q常数，这一段梁上剪力的一阶导数等于常常数，

42、这一段梁上剪力的一阶导数等于常数，弯矩的一阶导数为数，弯矩的一阶导数为x x的线性函数，因此的线性函数，因此，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二，这一段梁的剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线。次抛物线。 弯矩图二次抛物线的凸凹性，与载弯矩图二次抛物线的凸凹性，与载荷集度荷集度q q的正负有关：当的正负有关：当q q为正为正( (向上向上) )时，抛时，抛物线为凹曲线，凹的方向与物线为凹曲线，凹的方向与M M坐标正方向一坐标正方向一致，：当致，：当q q为负为负( (向下向下) )时，抛物线为凸曲线时，抛物线为凸曲线，凸的方向与，凸的方向与M M坐标正方向一致。坐标正方向一致。 剪力图与弯矩图

43、剪力图与弯矩图 载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪载荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的力图与弯矩图的方法，与绘制轴力图和扭矩图的方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下：方法大体相似，但略有差异，主要步骤如下：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值；建立建立FQx和和Mx坐标系，并将控制面上的剪坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在上述坐标系中，得到若干相应的点；力和弯矩值标在上述坐标系中，得到若干相应的点；应用微分关系确定各

44、段控制面之间的剪力图和应用微分关系确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。弯矩图的图线，得到所需要的剪力图与弯矩图。 简支梁受力的大小和方向简支梁受力的大小和方向如图示。如图示。试画出：其剪力图和弯矩图试画出：其剪力图和弯矩图, ,并确定剪力和弯并确定剪力和弯矩绝对值的最大值。矩绝对值的最大值。 解：解：1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、F 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FFy1.11 kN BA根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 BAFRA解：解：2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支

45、座用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面反力内侧截面均为控制面，即，即A、B、C、D、E、F各截面均为控制面。各截面均为控制面。 3建立坐标系建立坐标系建立建立FQx和和Mx坐标系坐标系 xFQ/kNOO5根据微分关系连图线根据微分关系连图线 因为梁上无分布载荷因为梁上无分布载荷作用，所以剪力作用，所以剪力FQ图形均图形均为平行于为平行于x轴的直线；弯轴的直线；弯矩矩M图形均为斜直线。于图形均为斜直线。于是，顺序连接是，顺序连接FQx和和Mx坐标系中的坐标系中的a、b、c、d、e、f各点，便得到梁的各点，便得到梁的剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图。 OO解：解：4应用截面法确应用截面法确定

46、控制面上的剪力和弯矩定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在值，并将其标在FQx和和Mx坐标系中坐标系中BA5确定确定剪力与弯矩剪力与弯矩的最大绝对值的最大绝对值OOBA从图中不难得到剪力从图中不难得到剪力与弯矩的绝对值的最与弯矩的绝对值的最大值分别为大值分别为 kN111maxQ.FmkN6651max.MmaxMmaxQF( (发生在发生在EFEF段段) ) ( (发生在发生在D D、E E截面上截面上) ) 从所得到的剪力图和弯矩从所得到的剪力图和弯矩图中不难看出图中不难看出ABAB段与段与CDCD段段的剪力相等，因而这两段的剪力相等，因而这两段内的弯矩图具有相同的斜内的弯矩图具有相同的斜率。此外，在集中力作用率。此外，在集中力作用点两侧截面上的剪力是不点两侧截面上的剪力是不相等的，而在集中力偶作相等的，而在集中力偶作用处两侧截面上的弯矩是用处两侧截面上的弯矩是不相等的，其差值分别为不相等的，其差值分别为集中力与集中力偶的数值，集中力与集中力偶