4基本不等式复习学案

1、3.4根本不等式.学习目标:1学会推导并掌握均值不等式定理；能够简单应用定理证实不等式并解决一些简单的实际问题；2使学生能够运用均值不等式定理来讨论函数的最大值和最小值问题；3通过这节课,使学生能够运用均值不等式定理来讨论与不等式有关的各类问题.二.学习过程： 一根底知识1.重要不等式：如果a、b R,那么a 2 + b 2 >2ab 当且仅当a= b时取 二号 证实：a 2+ b 2 2ab= a b 2当 a 曲时,a b 2> 0,当 a = b 时,a b 2= 0 所以,a b 2> 0即 a 2+ b 2 >2b由上面的结论,我们又可得到2.定理：如果a,

2、b是正数,那么a + b> ab 当且仅当a= b时取 二号证实：( a ) 2+( .b ) 2>2aba + b2aba + b ,显然,当且仅当 a= b时,一. ab 说明：a + b,1我们称一厂为a, b的算术平均数,称.ab为a, b的几何平均数,因而,此定理又可 表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数22a + b 一2 a 2+ b 2>2ab和 >.ab成立的条件是不同的：前者只要求a, b都是实数,而后者要 求a, b都是正数.3当且仅当的含义是充要条件.二例题讲解：例1：x, y都是正数,求证：1如果积xy是定值P,那么当x= y时,

3、和x+ y有最小值2 .P ; 2如果和x+ y是定值S,那么当x= y时,积xy有最大值丄g4例5:当x> 1时,求函数1y = X + 口的最小值例6:求以下函数的值域:(1) y =X 2+ 3x + 5x+ 1(2) y =x + 1x 2+ 3x + 5例2 :a、b、c、d都是正数,求证：(ab+ cd) (ac + bd)?4bcd例3:某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为4800m3,深为3m,如果池底每1m 11例4:求以下函数的值域：(1) y= 3x + 22 ; (2) y= x+ -2 XX的造价为150元,池壁每1m2的造价为120元,问怎样设计水池能使

4、总造价最低, 最低总造 价是多少元？例 7： a>1, 0<b<1,求证：logab+ log ba<- 2例8:x, y为正实数,且=1,求x , 1 + y 1 2的最大值.例9:x, y为正实数,3x+ 2y= 10,求函数 W = . 3x + . 2y的最值.例11:某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图),如果池外圈周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建筑单价为每米 248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求 出最低造价.3.4根本不等式答案例题讲解：例1:证实

5、：由于X, y都是正数,所以罗> xy(1 )积xy为定值P时,有Xy >. P ,. x+ y>2 P,上式当x = y时,取二号,因此, 当x= y时,和x+ y有最小值2 P .(2 )和x + y为定值S时,有.xy g xyw* S2,上式当x=y时取"号,因此,当x=y时,积xy有最大值1s 2说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法,但应注意三个条件：i)函数式中各项必须都是正数；ii)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；iii)等号成立条件必须存在.例2 :分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的形上发生联系,从而正确运用,同时增强对均值不等

6、式定理的条件的熟悉(ab+ cd)( ac+ bd)4证实：由 a、b、c、d 都是正数,得 ab；cd > abed > 0, aC: bd > ac bd > 0,abed,即(ab+ cd) (ac+ bd) >4bcd例3：分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化,即建立函数关系式,然后求函数的 最值,其中用到了均值不等式定理解：设水池底面一边的长度为xm,水池的总造价为I元,根据题意,得1600 . / 1600I = 240000 + 720 (x+ ) > 24000* 720 >2/x = 240000 + 720 >2 >

7、;40= 297600xV x当x=1600x,即x = 40时,I有最小值297600,因此,当水池的底面是边长为40m的正方形时,水池的总造价最低,最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中的应用,应注意数学语言的应用即函数解析式的建立,又是不等式性质在求最值中的应用,应注意不等式性质的适用条件 例 4:解：(1) y = 3x 2+ 2-2?2 ： 3x 2右=6 y 6 , +R)(2)当 x>0 时,y= x+1 >2 .x X = 2;当 xv 0 时,yw 2 y(汽一2 U 2 , +s)1例 5:解：y=( x 1)+ 1 (Ix> 1)&g

8、t;2+ 1 = 3 ;函数的最小值是3(问题：x> 8x 1时？)总结：一正二定三相等.介绍：函数y= x+ 1的图象及单调区间例6:解:(1) y=(x+ 1)2+(X+ 1) + 3x+ 1=(x+ 1) +x+ 1 +即函数的值域为：(a, 2 3 + 1 U 2 3 + 1, +a)当 x+ 1 > 0 时,y >2.3 + 1 ;当 x+ 1 v 0 时,y w 2 ,3 + 1x 2+ 3x + 5(2)当x+ 1工0寸,令t =-1那么问题变为：y = - , t ( a, 2 3 + 1 U 2 3 + 1, +1 1听25 +1,0)U( 0,丽R 又 x

9、 + 1 = 0 时,y = 01 + 2 32.3 1即 y 11 , 11说明：这类分式函数的值域也可通过判别式法求值域,但要注意检验.1例7：解题思路分析：由对数函数可知：log ba = log ab结构特点联想到用根本不等式去缩小,但条件显然不满足,应利用相反数的概念去转化;1,log ab v 0,因此由logab+石孑二的1 log abv0, log ab> 0, log ab+""log ab(log ab)lo±b= 2, log ab1_+ logTb w 2,即 log ab+ logbaw 21 2当且仅当一log ab = log

10、 b , log a b= 1, log ab = 1 时,等号成立,此时 ab= 1.例8:解题思路分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式孑+ b 2ab*2.同时还应化简,1 + y 2中y2前面的系数为2 ,x . 1 + y2 = X " ,'2 1下将x,1 +专分别看成两个因式x 2+<2x1 + y2 x 1 + y 2y 2+兀a+ b22例9:解题思路分析：假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系, 很简单3x + 2y w 2'(匚3x_) 2+厂2厂)2 = 2 3x+ 2y = 2,5否那么,这样思考：条件与结论均为和的形式,设法

11、直接用根本不等式,应通过平方化函数式为积的形式, 再向和为定值"条件靠拢.W> 0, W2= 3x+ 2y+ 2 3x - 2y = 10 + 2 3x . 2y w 1+ ( _ 3x )2 ( 2y )2 = 10+ (3x + 2y) = 20 WW 20 = 2 5例10:解题思路分析：这是一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一是通过消元, 转化为一元函数问题,再用单调性或根本不等式求解,对此题来说,这种途径是可行的；二 是直接用根本不等式,对此题来说,因条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用根本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行.法一3

12、0 2b30 2b2 b2+ 30 b:a= b+ 1,ab= b + 1b =b + 1由a> 0得,0v bv 15令 t= b= 1,一 2t1 v tv 16, ab=-2+ 34t 3116t= 2 t + t + 3416/ t+ >2:16=8 abw 1818当且仅当t= 4,即b = 3, a= 6时,等号成立.法二：由得：30 ab = a + 2ba+ 2b2 ab- 30 ab?2 2 ab令 u= Qab贝U u2 + 2羽 u 30W0, 5羽 wuw32 <ab w32 , ab w 18 y18评注：在法一,通过消元得到一个分式函数,在分子(或分母)中含有二次式.这种类型的函数一般都可转化为1x+x型,从而用根本不等式求解.其处理方法,请冋学们仔细体会.实际上,一般含二次式的分式函数2ax + bx + cy= mx2+ nx+ p a,b,c,m,n,p 不全为零均用料最省、造价最低等实际 在建立关于造价的目标函数时, 造价均与墙壁长度有关,应设可用此方法求解.例11：解题思路分析：这是一道应用题,一般说来,涉及到 问题时,考虑建立目标函数,求目标函数的最大值或最小值. 造价是由池外圈周壁,中间隔墙造价,池底造价三局部组成,相关墙壁长度为未知数.假设设