极坐标与参数方程专题复习

1、坐标系与参数方程一、考试大纲解析：1.1. 坐标系(1)(1) 理解坐标系的作用；(2)(2) 了解平面坐标系伸缩变换作用下图形的变化情况；(3)(3) 能在坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标和平面之间坐标系表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化；(4)(4) 能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标和直角坐标系中 的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义；2.2. 参数方程(1)(1) 了解参数方程和参数方程的意义；(2)(2) 能选择适当的参数写出直线、圆、圆锥曲线的参数方程；(3)(3) 能用参数方程解决一些数学问题和实际的运用；二、题型分

2、布：极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在选作题的一题中来考查。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般不会有很难的题目。三、知识点回顾坐标系x=舄x,(舄 0), y =卜乂俨 0).的作用下，点P(x, y)对应到点P(x,y),称中为平面直角坐标系中的坐拯仲里变虬一禽 称伸缩变换。2.2. 极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极 轴；再选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这 样就建立了一个极坐标系。3.3. 点 M M 的极坐标：设 M

3、M 是平面内一点，极点O与点 M M 的距离|OM |叫做点 M M 的极径， 记为P;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的ZxOM叫做点 M M 的极角，记为日。有序 数对(P,8)叫做点 M M 的极坐标，记为M(P,8). .极坐标(P,B)与(P,8 +2k兀)(卒Z)表示同一个点。极点O的坐标为(0,8)3在R). .4.4. 若P0,0,0,规定点(-P,8)与点(P,8)关于极点对称，即(-P,8)与(P,兀+8)表示同一点。如果规定P:0,0e2兀，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(P,e)表示； 同时，极坐标(P,e)表示的点也是唯一确定的。1.1.伸缩变换：设点P(x

4、, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 8 : *5.5.极坐标与直角坐标的互化:_ 222_.-x y , x - Icosiy =sin3 ,tan sy(x = 0)x6.6.直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:aae=甲0P=- P=-coscos7、一a一a一a p p = =- P P = =- (6)(6) P P = =-sinsin口cos( -)对应图形如下：P PP =coscosa:p p.AO Oa ai/eO图4M M图5MsinsinM P0aO图3coscos7 7.圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为（a0） ：=-2a co

5、su P = 2asin P = -2a sin 6建=2acos-)对应图形如下:参数万程1.1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,yx,y 都是某个变数t& = f (t).的函数J并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确TE的点M(x, y)都在这条y = g(t),曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数 x,yx,y 的变数t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2.2.常见曲线的参数方程如下:(1)(1)过定点(X0,X0, y0),y0),倾角为 a a 的直线:x =x0tcos-

6、Ly = y0tsin :其中参数 t t 是以定点 P P (x0,(x0, y y。)为起点，对应于 t t 点 M M (x,(x, y)y)为终点的有向线段 PMPM 的数量，又称为点 P P 与点 M M 间的有向距离.(2)(2)中心在(x x, , y y)，半径等于 r r 的圆:O O图4=2asinu(t为参数)x = xr cosy = yr sin(日为参数)（3 3）中心在原点，焦点在 x x 轴（或 y y 轴）上的椭圆:（4 4）顶点在原点，焦点在 x x 轴正半轴上的抛物线:四、直击考点:参数方程与标准方程的互化:标准方程化为参数方程： 熟记常见曲线的参数方程即

7、可。牢记参数放一边，然后利用三角函数的知识点消参数。sin-）cos例题:1 1 把方程xy=1化为以t参数的参数方程是（1A.y =t2x = sintB.B. 0p0）参数方程转化为标准方程:92(如sin 0+cos e =1,k = tanBx = costCy=2costx = tantD 1y =tan t解答：D Dxy=1,x取非零实数，而 A A , , B B , , C C 中的X的范围有各自的限制.x = 1 2t2 2.若直线的参数方程为i（t为参数）,则直线的斜率为（）.y=2 3t2A.A.3解答：D D, y -2-3t3k =x -12t2x = e e3.3

8、.参数方程（t为参数）的普通万程为y =2（e -e ）1/ t_tx = -（e - e ）cos4.4.分别在下列两种情况下，把参数方程2 2化为普通方程:y=（甘一e）sin2（1 1）e为参数,t为常数；（2 2）t为参数，为常数.解：(1)(1)当t =0时，y =0,x =cos8，即x 1,且y =0 ;22即一x+y。；1/ t-t、21/ t-t、2-(e e )-(e -e )44C.22解答：工一匕=i,（x_2）416x = d ex=eeI y c _t2x= 2eI 2( -)x - ) 422当t#0时，cosB辛2匕 s 亏七2 (e e )*e -e )(2)

9、当8 =kjkWZ时，y = 0 , x=；(et+e)，即x芝1,且y = 0； 当8 =k+；,kWZ时，x=0 , y = 1 (e*e-1),即x=0；I t t2xe e=-当e孝也,SZ时，得cse ,2t2ye -e =-sinot2x 2y2e二- -即cosH sin，得2e，2e* =(-2 +-2)(-2-上2x 2ycos i sin cos m sin2e =- -cos sin22即I-旦厂=1.cos sin实践练习:x-3瑚1.直线2(t t 为参数)的倾斜角是1y =1 t2JI_ Ji_ 5n2nA. B.一C.D. 63632 2.方程x x= =；+ +

10、；tcosctcosc为变数),), 求MBC面积的最大值.x = cos解：设C点的坐标为(x, y)，则,y - -1 sin【即x2+(y+1)2=1为以(0,一1)为圆心，以1为半径的圆.A(-2,0), B(0,2),| AB | =.4 = 2.2 ,且AB的方程为x x+ +y y=1, -2 2即x - y 2=0,则圆心(0, 1)到直线AB的距离为1(-DF 登杨一(-1)22.点C到直线AB的最大距离为1 +2 J2 ,2 S施BC的最大值是1;2/2(1+邑5/2) =3+J2 .22实践练习：1 1 . .在圆 x x2+2x2x + + y y2=0=0 上求一点，

11、使它到直线 2x+2x+ 3y3y 5=05=0 的距离最大.2.2.在椭圆 4x4x2+9y9y2=36=36 上求一点 P,P,使它到直线 x+x+ 2y2y + + 18=018=0 的距离最短（或最长）3.A A 为椭=1=1任意一点，B B 为圆（x1）2+ y2=1上任意一点，求|ABAB|的最大值和259最小值。考点三：其他综合问题例题：rc .21 1.已知曲线 J J、（t为参数，p为正常数）上的两点M , N对应的参数分别为&和t2,且t1+t2=0，那么| MN|=.解析：4p|t1|显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即x x 轴，| MN |= 2 p|t112

12、|= 2p| 2t1|.x =1 2t222 2.直线（t为参数）被圆x2+y2=9截得的弦长为（）.y =2 tA.A.1212B.B.爵C.C.9V5D D.9而5555x2+y2=9得（1+2t）2+（2 +t）2= 9,5t2+8t4 = 0 ,2821612L , , 12 LI & f |= J（t1+t2）-4机2= J（-胃）+7 = w，弦长为V5| h |=K5-.5555一3一x=5cos3 3.已知直线l过定点P（-3,-）与圆C： i（e为参数）相父于 A A、B B两点.2y = 5sin求：（1 1）若|AB| = 8,求直线l的方程；3.（2 2）右点P

13、（_3,-2）为弦 ABAB 的中点，求弦 ABAB 的方程.解：（1 1）由圆C的参数方程Jx-5海%x2+y2 2= =25, y =5sinx = -3 tcos：设直线l的参数方程为3（t为参数），y =-一tsin工2将参数方程代入圆的方程x2y2=252碍4t 12（2co织+sina）t -55 = 0,_ -、2_ _ =169（2cos sm： ） 55 0,所以方程有两相异实数根t1、t2, |AB|=|t1t2|=.9（2cos： sin ： ）255 =8,化简有3cos2上4sin二cos： = 0 ,一、3解之cosa =0或tan a =-一4从而求出直线l的方程

14、为x+3 = 0或3x+4y+15 = 0.解析：B Bx =1 2ty =2 t-2x=1：；5t .、5,士小x = 1 2t*5,把直线1y = 2 ty =1.5t、5代入（2 2）若 P P 为 ABAB 的中点，所以 +t+t2=0,=0,由（1 1）知2cosa +sin a = 0，得tana= 2 ,故所求弦 ABAB 的方程为4x+2y+15 =0（x2+y2癸5）.实践练习:2.2.坐标系及参数方程已知 l l 经过点 P(1,1)P(1,1)，倾斜角CK.=,6(1)(1) 写出直线 l l 的参数方程。(2)(2) 设 l l 与圆x2+y2=4相交与两点 A,A, B,B,求点 P P 到 A,A, B B 两点的距离之积。1 .已知直线;P(-1P(-1 , , 2