正方形的性质及判定

1、13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 1 of 10削仙医 中考要求板块名称中考考试要求层次ABC正方形会识别正方形掌握正方形的概念、性质和判定，会 用正方形的性质和判定解决简单1可题会用正方形的知识解决有关 问题且m匡知识点睛1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质：1边的性质：对边平行，四条边都相等.2角的性质：四个角都是直角.3对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，？每条对角线平分一组对角.4对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.平行四边形、矩形、菱形

2、和正方形的关系：（如图）3.正方形的判定判定：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定：有一个角是直角的菱形是正方形.副!曜匡教学目标1.掌握正方形的定义和性质，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系2.掌握正方形的判定方法并能在解题中选择恰当的方法。3.提高学生分析问题及解决问题的能力。4.通过分析概念之间的联系与区别，培养学生辨证唯物主义观点蛀重、难点重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。正方形的性质及判定13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 2 of 10难点：正方形知识的灵活应用13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 3 of 10Mun蛀例题精讲一、正方形的

3、性质【铺垫】正方形有 条对称轴.【例1 1】已知正方形BDEF的边长是正方形ABCD的对角线，贝U S正方形BDEF岛方形ABCD=如图，已知正方形ABCD的面积为256,点F在CD上，点E在CB的延长线上，且AE _L AF , AF =20，贝U BE的长为【例3 3】 如图，正方形ABCD的边长为2cm，以B为圆心，BC长为半径画弧交对角线BD于点E ,连如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点,BF =2 , NGEF =90、则GF的长为.G , F分别为AD , BC边上的点，若AG=1,【例2 2】将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放， 点 正方形重叠形成的重叠部分的面积

4、和为A ，A，A分别是正方形的中心,13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 4 of 10接CE , P是CE上任意一点，PM _LBC于M , PN _L BD于N ,贝U PM + PN的值为【铺垫】如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE=CE.13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 5 of 10【例4 4】 如图，p为正方形ABCD对角线上一点，PE_LBC于E , PF _LCD于F.求证：AP = EF.【巩固】 如图所示，正方形ABCD对角线AC与BD相交于O , MN / AB ,且分别与AO、BO交于M、N .试探讨BM与CN之间的关系

5、，写出你所得到的结论的证明过程.【巩固】如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且AABP为等边三角形，那么NDCP=【例5 5】 已知正方形ABCD，在AD、AC上分别取E、F两点，使ED : AD =2FC ： AC，求证：ABEF是 等腰直角三角形.【例6 6】 如图，已知E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，AE、AF分别与对角线BD相交 于M、N ,若2EAF=50七贝U NCME十/CNF =.13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 6 of 10DFC【例7 7】 如图，四边形ABCD为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE, CE与BD相交于点F ,贝

6、U ZAFD=【例8 8】 如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E , F，使DE =AD , DF =BD .连结BF分别 交CD , CE于H , G .求证：AGHD是等腰三角形.【巩固】 如图，过正方形顶点A引AEIIBD ,且BE = BD.若BE与AD的延长线的交点为F ,求证DF =DE .【例9 9】 如图所示，在正方形ABCD中，AK、AN是ZA内的两条射线，BK _L AK , BL_LAN , DM _L AK ,DN _LAN，求证KL=MN , KL_LMN.【巩固】 如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE,DG，求证：BE = DG

7、.13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 7 of 10【例1010】（2007年三帆中学期中考试）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 8 of 10上的一点，CE =CF , 2FDC =30气 求ZBEF的度数.【例1111】若正方形ABCD的边长为4 , E为BC边上一点，BE =3, M为线段AE上一点，射线BM交正 方形的一边于点F，且BF=AE，贝U BM的长为.【例1212】如图1,在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA = EB = FC = GD,连接

8、EG、FH,交点为O .如图2,连接EF , FG , GH , HE ,试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论； 将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3cm, HA = EB = FC =GD =1cm，则图3中阴影部分的面 积为cm2.【巩固】 如图，正方形ABC D对角线相交于点O,点P、Q分别是BC、CD上的点,(1) OP =OQ ; (2) OP _LOQ .【例1313】如图，正方形ABC D中，E , F是AB, BC边上两点，且EF=AE+FC , DG _L EF于G ,求证:DG =DA【巩固

9、】已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长 延长交DE于F .(1)求证： 昭CG q ADCE;(2)将DCE绕点D顺时针旋转90。得到ADAE,判断四边形 理由.BC至1 E ,使CE = CG，连接BG并EBGD是什么特殊四边形？并说明AQ _L DP ,求证:13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 9 of 10【巩固】 如图，点M , N分别在正方形ABCD的边BC, CD上，已知AMCN的周长等于正方形ABCD周长 的一半，求NMAN的度数【巩固】 如图，设EF/正方形ABC D的对角线AC ,在DA延长线上取一点G,使AG =AD , EG与DF交于H，求

10、证：AH=正方形的边长.【例1414】把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）.试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想.【例1515】如图所示，在直角梯形ABC D中，ADIIBC, ZADC =90”，l是AD的垂直平分线，交AD于点M，以腰AB为边作正方形ABFE，作EP_L l于点P ,求证2EP + AD=2CD.二、正方形的判定【例1616】四边形ABCD的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EFGH ,求证:13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 10 of 10四边形EFGH对角互补；13.

11、1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 11 of 10若四边形ABCD为平行四边形，贝U四边形EFGH为矩形.四边形ABCD为长方形，贝U四边形EFGH为正方形.是等边三角形. 求证：四边形ABCD是菱形； 若匕AED=2/EAD,求证：四边形ABC D是正方形.【巩固】 已知：如图，在MBC中，AB=AC , AD_LBC,垂足为点D , AN是AAB C外角ZCAM的平 分线，CE_LAN，垂足为点E . 求证：四边形ADCE为矩形； 当MBC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明.【例1717】如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2AB = AD，点P是BC边上

12、一动点，PE_LMC ,PF _LBM，垂足分别为E、F ,求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形.【例1818】如图，ABC D是边长为1的正方形，EFGH是内接于ABC D的正方形，AE=a , AF =b ,若【巩固】如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O , E是BD延长线上的点，且MCE13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 12 of 102SEFGH= _ ,贝Uba=-313.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 13 of 10【例1919】如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则AC

13、DE的面积为_【巩固】 如图，在正方形ABC D中，点P, R为正方形内的两点， 且PB = PD , RB = AB ,NCBP=NP1BP,则.BRP=【例2020】如图，若在平行四边形ABCD各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为 顶点组成一个正方形.【例2121】已知：PA=T2 , PB =4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图，当/APB=45时，求AB及PD的长；(2)当Z APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应Z APB的大小.13.1.4 正方形的性质和判定讲义学生版page 14 of 10削M匡课后练习1.如图，正方形ABCD中，O是对角线