第2章：正弦交流电

1、第2章 正弦交流电路 第1 次课 正弦量及其相量表示法一、学时：2学时二、目的与要求：1、交流电路不仅是交流电机和变压器的理论基础，而且要为电子电路作好理论基础，故这章是本课程的重要内容之一。2、深刻理解正弦交流电的三要素、相位差及有效值概念。3、熟悉正弦量的各种表示方法及相互间的关系。三、重点：1、正弦量的特征及各种表示法。2、 R、L、C的相量图和相位关系。四、难点：相量计算中的相量图、相位关系。五、教学方式：多媒体或胶片投影或传统方法。六、习题安排：2.2.1、2.2.2七、教学内容：2.1 正弦电流与电压1、正弦量三要素i=Imsin(t+) (下图是=0时波形图) 0ti （1）Im

2、：幅值（最大值）等于有效值I的根号2倍；有效值I等于发热效应等价的直流电流数值。（2）角频率：等于2f(频率)=2/T（周期）； 单位时间转过的弧度数（3）初相位：t=0时，正弦量的起始相位角度； 相位(t+)：反映正弦量的变化进程。2.相位差=1-2不随计时起点而变，反映同频率正弦量相位差，有超前、滞后等问题。两个同频率正弦量的相位之差, 称为相位差, 用字母“”表示。设两正弦量： （1）12=1-2>0且|12|弧度U1达到振幅值后，U2需经过一段时间才能到达，U1越前于U2（2）12=1-2<0且|12|弧度U1滞后U2（3）12=1-2=0,称这两个正弦量同相（4）12=1

3、-2=, 称这两个正弦量反相（5）12=1-2= , 称这两个正弦量正交2.2 相量表示法1、相量（1）定义： 正弦量除了用波形图及瞬时表达式表示外，还可用一个与之时应的复数表示，这个表示正弦量的复数称为相量。即=I按复数的运算法则计算加减用直角坐标或三角函数形式，乘除用指数形式或极坐标形式。=I=Iej=I(cos+jsin)2、相量图：（1）画法：把正弦量用一有向线段表示，同一量纲的相量采用相同的比例尺寸。（2）加法减法运算：按平行四边形法则计算 Ø 例题讨论² 已知工频正弦量为50Hz，试求其周期T和角频率。【解】 T0.02s，2f2×3.14×

4、50rad/s，即工频正弦量的周期为0.02s，角频率为314rad/s。² 已知两个正弦电流i14sin(t+30°)A，i25sin(t-60°)A。试求i=i1+i2。² 已知uA=220sin314tV，uB=220sin(314t120)V和uC=220sin(314t120)V，试用相量法表示正弦量，并画出相量图。² 已知i1100 sin(t45)A，i260 sin(t30)A。试求总电流iii，并做出相量图。【解】由正弦电流i1和 i2的频率相同，可用相量求得（1）先作最大值相量=100/45A=60/30A（2）用相量法求和

5、电流的最大值相量+100/4560/30129/18.4 （A）（3）将和电流的最大值相量变换成电流的瞬时值表达式i129 sin(t18.4) (A) （4）做出相量图，如右图所示。也可以用有效值相量进行计算，方法如下（1）先作有效值相量=100/45A=60/30A（2）用相量法求和电流的有效值相量，相量图如图2.2.所示。+100/4560/30129/18.4 （A）（3）将和电流的有效值相量变换成电流的瞬时值表达式i129 sin(t18.4) (A) 由此可见，无论用最大值相量还是用有效值相量进行求和运算，其计算结果是一样的。第 2 次课 单一参数的交流电路一、学时：2学时二、目的

6、和要求：1、掌握电阻、电感、电容等元件电路中电压电流之间各种关系。2、理解瞬时功率、平均功率、无功功率的概念。3、掌握感抗、容抗的概念。三、重点：元件电压电流有效值、相量、相位关系。四、难点：无功功率的概念。五、教学方式：多媒体或胶片投影或传统方法。六、习题安排：2.4.3、2.4.4七、教学内容：2.3单一参数的交流电路1、电阻元件及其交流电路（1）电压电流关系 瞬时关系：u =iR相量关系：令 即 即 u、i波形与相量如图（b）（c）所示。（2）功率瞬时功率平均功率tuipt+（3）结论在电阻元件的交流电路中，电流和电压是同相的；电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值，就是电

7、阻R。（）P>0 （耗能元件）（）随时间变化（）与的平方的平方成正比2、电感元件的交流电路（1）电压电流关系 瞬时关系： 相量关系： 令即如图（c）（称为感抗）u、I的波形图与相量图，如图（b）、(c)所示。（2） 功率 瞬时功率为p =ui=UmImsint.sin(t+90º)=UmImsint.cost=sin2tUIsin2t 平均功率为P0（3）结论电感元件交流电路中， u比i超前；电压有效值等于电流有效值与感抗的乘积；平均功率为零，但存在着电源与电感元件之间的能量交换，所以瞬时功率不为零。为了衡量这种能量交换的规模，取瞬时功率的最大值，即电压和电流有效值的乘积，称为

8、无功功率用大写字母Q表示，即 Q=UI=I2XL=U2/ XL (VAR) 3、电容元件交流电路（1）电压电流关系瞬时关系： 如图（a）所示i=C 相量关系：在正弦交流电路中令u=Umsin（t + ）即 = 则i= C=C=CUmcos（t+）= CUmsin(t+90º)=Imsin(t+90º) m=Imi=CUm900+可见，Im=CUm =Um/XC （XC=1/C称为电容的容抗） =u-i= -900 u、i的波形图和相量图，如图（b）（c） 。（1）功率瞬时功率p =u i =UmImsint.sin(t+90º)= UmImsint.cost= s

9、in2t UIsin2t 平均功率P0 （3）结论在电容元件电路中，在相位上电流比电压超前900；电压的幅值（或有效值）与电流的幅值（或有效值）的比值为容抗XC ；电容元件是储能元件，瞬时功率的最大值（即电压和电流有效值的乘积），称为无功功率，为了与电感元件的区别，电容的无功功率取负值，用大写字母Q表示，即Q=UI=I2XC=U2/ XC 注： 1、 XC、XL与R一样，有阻碍电流的作用。2、适用欧姆定律，等于电压、电流有效值之比。3、 XL与 f成正比，XC与 f成反比，R与f无关。对直流电f=0，L可视为短路，XC=，可视为开路。对交流电f愈高，XL愈大，XC愈小。Ø 例题讨论&

10、#178; 把一个100的电阻元件接到频率为50Hz ，电压有效值为10V的正弦电源上，问电流是多少？如保持电压值不变，而电源频率改变为5000 Hz，这时电流将为多少？解： 因为电阻与频率无关，所以电压有效值保持不变时，频率虽然改变但电流有效值不变。即 I=U/R=（10/100）A=0.1=100mA² 若把上题中的，100的电阻元件改为25F的电容元件，这时电流又将如何变化？【解】当f=50Hz时XC127.4（）I=0.078（A）=78（mA）当f=5000Hz时XC1.274（）I=7.8（A）可见，在电压有效值一定时，频率越高，则通过电容元件的电流有效值越大。第 3 次

11、课 R、L、C电路、电路中的谐振、功率因数的提高一、学时：2学时二、目的和要求：1、理解电路基本定律的相量形式和阻抗，并掌握用相量法计算简单正弦交流电路的方法；2、掌握有功功率和功率因数的计算，了解瞬时功率、无功功率、视在功率的概念和提高功率因数的经济意义；3、了解谐振的条件、特点及应用。三、重点：相量计算中的相量图、相量关系的建立。四、难点：单相交流电路的分析、计算方法。五、教学方式：多媒体或胶片投影或传统方法。六、习题安排：2.4.5、2.6.1、2.7.1七、教学内容：2.4电阻、电感、电容元件串联的交流电路1.电路分析 (1) 电压与电流的关系 uR=RImsint=URmsint 瞬

12、时值计算：设i=Imsint则 u = uR+ uL+ uC= RImsint+XL Imsin(t + 90º)+XC Imsin(t 90º) =Umsin(t+)其幅值为Um，与电流的相位差为。 相量计算： 如果用相量表示电压与电流的关系，则为 =+=R+jXLjXC=R+j(XLXC)此即为基尔霍夫定律的相量形式。 令Z=R+j(XLXC) =|Z| / 由（b）图可见 、组成一个三角形，称电压三角形，电压u与电流i之间的相位差可以从电压三角形中得出， =arctan= arctan |Z|、R和(XLXC)也可以组成一个直角三角形，称为阻抗三角形。XLXC j|Z

13、| R根据总电压与电流的相位差(即阻抗角 j)为正、为负、为零三种情况，将电路分为三种性质。1. 感性电路：当X > 0时，即X L > X C，j > 0，电压u比电流i超前j，称电路呈感性；2. 容性电路：当X < 0时，即X L< X C，j < 0，电压u比电流i滞后|j|，称电路呈容性；3. 谐振电路：当X = 0时，即X L = X C，j = 0，电压u与电流i同相，称电路呈电阻性，电路处于这种状态时，叫做谐振状态(见本章后节)。【例】 在R-L-C串联电路中，交流电源电压U = 220 V，频率f = 50 Hz，R = 30 W，L = 4

14、45 mH，C = 32 mF。试求：(1) 电路中的电流大小I；(2) 总电压与电流的相位差 j；(3) 各元件上的电压UR、UL、UC。解：(1) XL = 2pfL » 140 W，XC = » 100 W，则(2)，即总电压比电流超前53.1°，电路呈感性。(3) UR = RI = 132 V，UL = X LI = 616 V，UC = X LI = 440 V。（1） 功率 瞬时功率：p=ui=UmIm sin(t+) sint=UIcosUIcos(2t+) 平均功率：P=UIcos 又称为有功功率，其中 cos称为功率因数。 无功功率：Q=ULI

15、UCI= I2(XLXC)=UIsin 视在功率： S=UI称为视在功率 可见 应注意几点：1.在分析与计算交流电路时必须时刻具有交流的概念，特别是相位的概念。上述电阻、电容与电感的串联，总的电压应等于三个元件上电压的相量和， 如果直接写成那就不对了2.复数阻抗的实部为“阻”，虚部为“抗”，它表示了串联电路的电压与电流之间的关系，模 |Z|反映大小关系，辐角反映相位关系2.6电路中的谐振由上图的电压三角形可看出，当XL=XC时 即电源电压u与电路中的电流i同相。这时电路中发生谐振现象。1、串联谐振谐振发生在串联电路中，称为串联谐振。（1） 发生串联谐振的条件，XL=XC或2fL= 并

16、由此得出谐振频率f=f0= （2） 串联谐振的特征1电路呈电阻性当外加电源uS的频率f = f0时，电路发生谐振，由于XL = XC，则此时电路的阻抗达到最小值，称为谐振阻抗Z0或谐振电阻R，即Z0 = |Z|max = R2电流呈现最大谐振时电路中的电流则达到了最大值，叫做谐振电流I0，即3电感L与电容C上的电压 串联谐振时，电感L与电容C上的电压大小相等，即UL = UC = XL I0 = XC I0 = QUS式中Q叫做串联谐振电路的品质因数，即R-L-C串联电路发生谐振时，电感L与电容C上的电压大小都是外加电源电压US的Q倍，所以串联谐振电路又叫做电压谐振。一般情况下串联谐振电路都符

17、合Q >>1的条件。 应用：串联谐振电路常用来对交流信号的选择，例如接收机中选择电台信号，即调谐。在R-L-C串联电路中，阻抗大小，设外加交流电源(又称信号源)电压uS的大小为US ，则电路中电流的大小为由于，此式表达出电流大小与电路工作频率之间的关系，叫做串联电路的电流幅频特性。电流大小I随频率f变化的曲线，叫做谐振特性曲线，如图所示。R-L-C串联电路的谐振特性曲线当外加电源uS的频率f = f0时，电路处于谐振状态；当f ¹ f0时，称为电路处于失谐状态，若f < f0，则XL < XC，电路呈容性；若f > f0，则XL > XC，电路呈感

18、性。在实际应用中，规定把电流I范围在(0.7071I0 < I < I0)所对应的频率范围(f1 f2)叫做串联谐振电路的通频带(又叫做频带宽度)，用符号B或 Df表示，其单位也是频率的单位。理论分析表明，串联谐振电路的通频带为频率f在通频带以内 (即f1 < f < f2 )的信号，可以在串联谐振电路中产生较大的电流，而频率f在通频带以外 (即f < f1或f > f2 )的信号，仅在串联谐振电路中产生很小的电流，因此谐振电路具有选频特性。Q值越大说明电路的选择性越好，但频带较窄；反之，若频带越宽，则要求Q值越小，而选择性越差；即选择性与频带宽度是相互矛盾

19、的两个物理量。2、并联谐振谐振发生并联电路中，称为并联谐振。（1） 并联谐振频率为 （2）并联谐振的特征： 谐振时电路的阻抗为 其值最大，即比非谐振情况下的阻抗要大。因此在电源电压U一定的情况下，电路的电流I将在谐振时达到最小值。 由于电源电压与电路中电流同相(=0)，因此，电路对电源呈现电阻性。 当R<<0L时，两并联支路的电流近似相等，且比总电流大许多倍。2.7功率因数的提高1、意义（1）电源设备的容量能充分利用（2）减小输电线路的功率损耗2、功率因数不高，根本原因就是由于电感性负载的存在。3、常用的方法就是与电感性负载并联静电电容器（设置在用户或变所中）。（1）电路图和相量图

20、（2）并联电容器的作用：并联电容器后，电感性负载的电流和功率因数均未发生变化，这时因为所加的电压和电路参数没有改变。但电路的总电流变小了；总电压和电路总电流之间的相位差变小了，即cos变大了。 并联电容器后，减小了电源与负载之间的能量互换。 并联电容器后，线路电流也减小了（电流相量相加），因而减小了功率损耗。应该注意，并联电容器以后有功功率并未改变，因为电容器是不消耗电能的。并联电容前有并联电容后有ØØ 又知代入上式可得Ø 问题讨论² 有一电感性负载，共功率P=10KW，功率因数 cos1=0.6，接在电压U=220V的电源上，电源频率f=50Hz。（1）如果将功率因数提高到cos=0.95，试求与负载并联的电容器的电容值和电容器并联前后的线路电流。（2）如要将功率因数从0.95再提高到1，试问并联电容器的电容值还需增加多少？本章小结本章介绍了交流电的基本概念以及交流电的表示法。一、正弦交流电的主要参数大小及方向均随时间按正弦规律做周期性变化的电流、电压、电动势叫做正弦交流电流、电压、电动势。1周期与频率交流电完成一次循环变化所用的时间叫做周期；周期的倒数叫做频率；角频率与频率之间的关系为 w