概率论与数理统计复习题解答

1、第1页共5页概率论与数理统计第二章复习题解答1.将4只球(1-4号)随机放入4只盒子(1-4号)中去，一只盒子只放一球.如一只球装入了与之同号的盒子 称形成了一个配对.记X为总的配对数，求X的分布律.11解：P(X =4)=一= 一 ；4!24P(X =3) = P()=0 因为当3个球形成配对时，另1个球一定也形成配对；C411P(X =2)=-当4个球中的某2个形成配对时，另2个球(标号a,b)都不形成配对的放法只4!41种，即分别放入标号b,a的盒中;. .C421,，-. -,P(X=1)=.=一 当4个球中的某1个形成配对时，另3个球都不形成配对的放法只2种：以abc4!3记3个空盒

2、的号码排列，则3个球只能以bca或cab的次序对应放入3个盒中;11 19-P(X =0) =10=.于是，分布律为244 324X01234Pk9/241/31/401/242.盒中装有10个大小相等的球，编号为0-9.从中任取一个，在号码“小于5”、“等于5”、“大于5”三种情况 下，分别记随机变量X =0,1, 2.求X的分布律、分布函数、分析 丫= (X -1)2服从什么分布.解：(1) 10个球中号码“小于5”、“等于5”、“大于5”分别有5、1、4个，于是X的分布律为X012Pk0.50.10.40, x 0. .0.5, 0 x12(2) X的分布函数为FX(x) = jo62,

3、(3)Y = (X1)2分布律为.1, x-2第2页共5页Y01Pk0.10.9第3页共5页即Y =(X -1)2服从参数为0.9的0-1分布.3.设随机变量X的分布密度为fx(x)=Ae刊-sexy*.求(1) A的值；(2)P(-1 ： X :：: 2);(3) X的分布函数；(4) Y = 1 - X2的分布密度.解：(1)ffX(x)dx = 2 Aedx = 2A = 1,1二e一 .2fx(x)=：(2)P(-1 ： X : 2)=01 21.1 ,2e dx02e dx-(e-X+)；(3)Fx(x)= fx(t)dt =01t=2edt0 x1 A 1xe dt = e , -

4、:22x1J,1顼e dt =1- e22x ： 0(4)FY(y) =P(Y y) =P(1 X2 y) =P(X2_1 y) =1 P(X21 y),1 -P(-JI- y一X j _ y) , y 1Fx(33) + Fx(-M3), y1求导得fY(y)=fx(1y) fx( .: 1 y)- , y ： 12j1-y0,1_1_y1-1-ye e220,y -1_1_ 1T21二ye0,y : 1y -14.根据历史资料分析，某地连续两次强地震间隔的年数X的分布函数为F(x) = 0.1x1 - e , x - 00, x ： 0刚发生了一次强地震， 求(1)今后3年内再发生强地震的

5、概率；(2)今后3-5年内再发生强地震的概率;现在该地；3) X的分布密度f(x)，指出X服从什么分布.解：(1)P(X壬3) =F(3) =1 e13=0.26；(2) P(3 ：X 5) =F(5) F(3) =(1eQ15) (1e。13) =0.13.(3) X的分布密度f (x)= ”c / -0.1xc0.1e , x a 0=40, x01-1xe10 x010e,x 0，故X服从参数为10的指数分布0,x壬0第4页共5页5,5. (1)设X b(2, p),Yb(3, p),且P(X N1)=,求P(YZ1).9(2)设X P(幻，且P(X =1) =P(X =2),求P(X

6、=4).2、(3)设XN(P,CT)，试分析当。时，概率P(X-叫co)的值将如何变化.521解：(1) X b(2, p)，二P(X芝1)=1 P(X =0) = 1 (1 p)2=，故1 p= ,p=-.9331、32319从而Yb(3, ),. P(Y _1) =1 -P(Y =0) =1-(1 - p) =1-()332712(2) X P(A),且P(X =1) = P(X =2),即千e顷=沧顷 亦即赤2=2元，又九A0,二2.从而X P(2),P(X = k) =e,k =0,1, 2.于是P(X =4) =2e =2e k!4!3(3) XN(P,。2)，故P(X叫 ) =P(

7、P b X H+ 勿=中(1)中(1) = 2(1) 1 = 0.6826.故当痣时，概率P(X一日s)的值保持不变，始终是常数0.6826._2、6.设某城市男子的身高(单位:cm)X N(17Q62). (1)应如何设计公共汽车的车门高度，才能使该地男子与车门碰头的概率小于0.01? (2)若车门高度为182cm,求100个男子中会与车门碰头的人数至多是1的概率.解：(1)设公共汽车的车门高度应为xcm.贝U.x -170 x 170 x170要使P(Xx)=1P(X公)=1叙-)0.99=6(2.33),从而只要 -2.33,666于是x183.98即可.(2)若车门高度为182cm,则

8、1个男子会与车门碰头的概率为p =P(X 182)=1-P(X 182) =1 -：182一170) F -：，(2) =0.02286设100个男子中会与车门碰头的人数为Y,于是Yb(100, 0.0228),从而-00100_ 1199P(Y 5 =P(Y =0)P(1C10OO0.022800.9772100C11000.022810.97729-0.34.7.设带有3颗炸弹的轰炸机向敌人的铁路投弹，若炸弹落在铁路两旁40米以内，即可破坏铁路交通.记弹落点与铁路的距离为X(单位： 米),落在铁路一侧时X的值为正，落在另一侧时为负- 100三x : 00 x三100其它X的概率密度为f (

9、x)=100 + x10000j100 -x100000,第5页共5页3颗炸弹全部使用，求敌人铁路交通受到破坏的概率用公式法求Y的分布密度.1 X解：(1)FY(y) =P(Y玄y) =P(X 0时，Y =kX +l仍服从均匀分布.证明:1bXU(a,b)fx(x)=b-aa：xb而FY(y) = P(Y y) = P(kX l y)=P(X求导得-y-l1 _，一y -1fy(y) = fx()一.又因为fx()#0u a k kkbu ak+lybk+l,故即当kfY(y) = 0时，Y=kX+l在(ak+l,bk+l)上服从均匀分布.9.(1)设X的分布密度fX(x) =X,一1 ：X

10、:10,斗 ,用分布函数法求Y = X的分布密度；(2)设X其它证毕.U(0,1),fY(y) = *fx(y) fx(-y), y 00,y & 0注意到当且仅当0 y 1时fx(y), fx(-y)取非零表达式，故fY(y)=；(1-|y)+(1-y) = 2(1-y), 0y10,其它r(2) X U(0,1) , fX(x)=1 , 0 ： x ： 1,，而当0 x1时、0,其它y)y 0,求导得y 0第6页共5页第7页共5页1、，、一一 I 一一一，11y(0)=1,y(1)1=,由定理知2y -1 +x11 y / ,1y y / 2 ，y1f 11fy(y)=fx(h(y) h(y) ,2c。12 ,_=v y2 y s) = P(X At)对任意