《选修11：直线与椭圆的位置关系》教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长(分钟)2课时知识点直线与椭圆的位置关系。常见的几类问题交点个数问题、弦长问题、 中点弦问题教学目标1掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法2掌握有关椭圆弦长问题的求解方法教学重点直线与圆锥曲线的位置关系的判断和弦长的求解教学难点数形结合思想的应用【教学建议】本节课采用创设问题情景学生自主探究师生共同辨析研讨归纳总结组成的“四环节探究式学习方式 ,并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案 ,通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来鼓励学生的探索勇气【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】直线与圆有哪些位置关系？怎么判断的？想一想

2、：直线与椭圆有哪些位置关系 ,能用直线与圆的位置关系的判断方法来判断吗？如果不能 ,你有哪些方法？二、知识讲解考点1 直线与椭圆的位置关系考点1 单调函数的定义胞【问题导思】直线与椭圆的位置关系如何判断？【提示】判断直线l与椭圆C的位置关系时 ,通常将直线l的方程AxByC0(A ,B不同时为0)代入椭圆C的方程F(x ,y)0 ,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程 ,即消去y ,得ax2bxc0设一元二次方程ax2bxc0的判别式为 ,那么>0直线与椭圆C相交；0直线与椭圆C相切；<0直线与椭圆C相离考点2 弦长公式【问题导思】直线与椭圆相交时 ,弦长

3、怎么求？ 【提示】设斜率为k(k0)的直线l与圆锥曲线C相交于A ,B两点 ,A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,那么或然后联立直线与椭圆的方程 ,建立关于变量x(或变量y)的一元二次方程 ,运用韦达定理求弦长三 、例题精析例题1例题1类型一 直线与椭圆的位置关系椭圆y21(1)当m为何值时 ,直线yxm与椭圆有两个不同的交点？(2)当m2时 ,求直线被椭圆截得的线段长【思路探究】联立 ,消y得一元二次方程判别式m的范围根与系数的关系由弦长公式求弦长【自主解答】(1)联立消去y得 ,5x28mx4(m21)0 因为64m280(m21)>0 ,所以<m< ,所以当&l

4、t;m<时直线与椭圆有两个不同交点(2)当m2时 ,方程化为：5x216x120 ,设线段端点为A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,由韦达定理 ,得x1x2 ,x1x2 ,又k1 ,所以AB 【方法回忆】1直线与椭圆公共点个数问题 ,一般转化为方程根的问题 ,由判别式进行判别例题22求直线被圆锥曲线截得的弦长 ,一般用AB|x1x2| 进行求解 ,也可利用AB|y1y2|· 进行求解椭圆4x25y220的一个焦点为F ,过点F且倾斜角为45°的直线l交椭圆于A、B两点 ,求弦长AB【思路探究】求出焦点F的坐标求出直线l的斜率设直线l的方程联立方程利用根与系数的

5、关系设而不解由弦长公式求解【自主解答】椭圆方程为1 ,a ,b2 ,c1 ,所以直线l的方程为yx1(不失一般性 ,设l过左焦点) ,由消去y ,得9x210x150设A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,那么x1x2 ,x1·x2 ,AB|x1x2|···【方法回忆】1解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不解的方法 ,解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1x2 ,x1&

6、#183;x2或y1y2 ,y1·y2 ,进而求解2利用弦长公式求弦长时 ,没必要验证方程的>0例题1类型二 求中点弦所在的直线方程(4 ,2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中点 ,那么l的方程是_【自主解答】方法一：设直线l与椭圆相交于A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,那么1 ,且1 ,两式相减 ,得又x1x28 ,y1y24 ,所以 ,故直线l的方程为y2(x4) ,即x2y80方法二：设直线l与椭圆相交于A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,设直线方程为 ,即联立方程 ,得 ,即又x1x28 ,所以 ,解得故直线l的方程为y2(x4) ,即x2y80【总结

7、与反思】处理中点弦问题常用的求解方法1点差法：即设出弦的两端点坐标后 ,代入圆锥曲线方程 ,并将两式相减 ,式中含有x1x2 ,y1y2 ,三个未知量 ,这样就直接联系了中点和直线的斜率 ,借用中点公式即可求得斜率2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组 ,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解 ,需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显缺乏例题1类型三 直线与椭圆位置关系的应用设A1 ,A2与B分别是椭圆E：1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点 ,直线A2B与圆C：x2y21相切(

8、1)求证：1；(2)直线l与椭圆E交于M ,N两点 ,且·0 ,试判断直线l与圆C的位置关系 ,并说明理由【解】(1)椭圆E：1(a>b>0) ,A1 ,A2与B分别是椭圆E的左、右顶点与上顶点 ,所以A1(a ,0) ,A2(a ,0) ,B(0 ,b) ,直线A2B的方程是1因为直线A2B与圆C：x2y21相切 ,所以1 ,即1(2)设M(x1 ,y1) ,N(x2 ,y2)假设直线l的斜率存在 ,设直线l：ykxm将ykxm代入1 ,得1 ,化简 ,得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(>0)所以x1x2 ,x1x2 ,故y1y2(kx1m)(

9、kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2kmm2因为·0 ,所以x1x2y1y20把x1x2 ,y1y2代入上式 ,得(a2b2)m2a2b2(1k2)0结合1 ,得m21k2圆心到直线l的距离为d1 ,所以直线l与圆C相切假设直线l的斜率不存在 ,设直线l：xn把直线l代入1 ,得y± ,所以|n| ,所以a2n2b2(a2n2) ,解得n±1 ,所以直线l与圆C相切综上所述 ,直线l与圆C相切【总结与反思】研究直线和椭圆的位置关系 ,一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数对于填空题 ,充分利用几何条件 ,利用数形结合的方法求解例题2在平面直角

10、坐标系xOy中 ,过点A(2 ,1)的椭圆C：的左焦点为F ,短轴端点为B1、B2 ,(1)求a、b的值；(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q ,与y轴的交点为R ,过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P假设AQ·AR3OP2 ,求直线l的方程【解】(1)因为 ,所以 ,因为 ,所以c2b22b2因为椭圆C过A(2 ,1) ,代入得1由解得a28 ,b22所以a2 ,b(2)由题意 ,设直线l的方程为y1k(x2)由得(x2)(4k21)(x2)(8k4)0因为x20 ,所以x2 ,即xQ2由题意 ,直线OP的方程为ykx由得(14k2)x28 ,那么x因为AQ·

11、;AR3OP2 ,所以|xQ(2)|×|0(2)|3x即×23× ,解得k1 ,或k2当k1时 ,直线l的方程为xy10 ,当k2时 ,直线l的方程为2xy50【总结与反思】涉及弦长的问题中 ,应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题 ,可考虑用圆锥曲线的定义求解四 、课堂运用【根底】1直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_2椭圆C：1(ab0) ,F( ,0)为其右焦点 ,过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2 ,那么椭圆C的方程为_答案与解析1【解析】由于直线ykxk1k

12、(x1)1过定点(1 ,1) ,而(1 ,1)在椭圆内 ,故直线与椭圆必相交【答案】相交2【解析】由题意 ,得解得所以椭圆C的方程为1 【答案】1【稳固】1椭圆y21的弦被点平分 ,那么这条弦所在的直线方程是_2焦点分别为(0 ,5)和(0 ,5)的椭圆截直线y3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标为 ,求此椭圆方程答案与解析1【解析】设弦的两个端点为A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2) ,那么x1x21 ,y1y21因为A ,B在椭圆上 ,所以y1 ,y1(y1y2)(y1y2)0 ,即 ,即直线AB的斜率为所以直线AB的方程为y ,即2x4y30【答案】2x4y302【解】设1(a>b

13、>0) ,且a2b2(5)250由 ,得(a29b2)x212b2x4b2a2b20 ,因为 ,所以 ,所以a23b2 ,此时>0 ,由 ,得a275 ,b225 ,所以1【提高】1设椭圆C：1(a>b>0)的右焦点为F ,过点F的直线l与椭圆C相交于A ,B两点 ,直线l的倾斜角为60° ,2(1)求椭圆C的离心率；(2)如果AB ,求椭圆C的方程答案与解析1【解】设A(x1 ,y1) ,B(x2 ,y2)(y1<0 ,y2>0) ,(1)直线l的方程为y(xc) ,其中c联立消去x ,得(3a2b2)y22b2cy3b40 ,解得y1 ,y2

14、,因为2 ,所以y12y2 ,即2· ,解得离心率e(2)因为AB|y2y1| ,所以·由得ba所以a ,得a3 ,b所以椭圆C的方程为1五、课堂小结直线与椭圆位置关系的判断、有关椭圆弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查 ,一直是高考考查的重点 ,特别是焦点弦和中点弦等问题 ,涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法 ,也是考查数学思想方法的热点题型六、课后作业【根底】1假设椭圆的弦被点(4 ,2)平分 ,那么此弦所在直线的斜率为_2过点M(2 ,0)的直线m与椭圆y21交于P1、P2两点 ,线段P1P2的中点为P ,设直线m的斜率

15、为k1(k10) ,直线OP的斜率为k2 ,那么k1k2的值为_3斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点 ,那么的最大值为_4椭圆的两个焦点坐标分别为F1( ,0)和 F2( ,0) ,且椭圆过点(1)求椭圆的方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交椭圆于M ,N两点 ,A为椭圆的左顶点 ,试判断MAN的大小是否为定值 ,并说明理由答案与解析1 2 34(1)由题意 ,即可得到y21(2)设直线MN的方程为xky ,联立直线MN和曲线C的方程可得得(k24)y2ky0 ,设M(x1 ,y1) ,N(x2 ,y2) ,A(2 ,0) ,y1y2 ,y1y2 ,那么·(x12 ,y1)&#

16、183;(x22 ,y2)(k21)y1y2k(y1y2)0 ,即可得MAN【稳固】1椭圆4x2y21及直线yxm(1)当直线和椭圆有公共点时 ,求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程2椭圆的中心在原点 ,焦点在x轴上 ,离心率为 ,且椭圆经过点M(4 ,1) ,直线交椭圆于不同的两点A ,B(1)求该椭圆的方程；(2)求实数m的取值范围3椭圆ax2by21与直线xy10相交于A ,B两点 ,C是AB的中点 ,假设AB2 ,OC的斜率为 ,求椭圆的方程答案与解析1【解】(1)由得5x22mxm210因为直线与椭圆有公共点 ,所以4m220(m21)0 ,解得m故m的取值范

17、围为(2)设直线与椭圆交于A(x1 ,y1)、B(x2 ,y2) ,由(1)知 ,5x22mxm210 ,所以x1x2 ,x1x2(m21)设弦长为d ,且y1y2(x1m)(x2m)x1x2 ,所以d所以当m0时 ,d最大 ,此时直线方程为yx2(1)由题意可设椭圆的方程为因为 ,所以又因为椭圆过点M(4 ,1) ,所以 ,由解得 ,故椭圆的方程为(2)将代入 ,整理 ,得 ,由题意知 ,解得 ,所以实数的取值范围为3【解】解法一：设A(x1 ,y1)、B(x2 ,y2) ,代入椭圆方程并作差 ,得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0而1 ,kOC ,代入上式可得ba由方程组得(ab)x22bxb10 ,所以 x1x2 ,x1x2再由AB |x2x1|x2x1|2 ,得4·4 ,将ba代入得a ,所以 b所以所求椭圆的方程是1解法二：由得(ab)x22bxb10设A(x1 ,y1)、B(x2 ,y2) ,那么AB·因为AB2 ,所以1设C(x ,y) ,那么x ,y1x ,因为OC的斜率为 ,所以 代入 ,得a ,b所以 椭圆方程为1【提高】1椭圆C：的一个焦点为 ,离心率为(1)求椭圆C的标准方程；(