计算电磁学(共14页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上双脊金属加载矩形波导的基模及第一个高阶模的色散特性分析XXX电子科技大学物理电子学院, 成都, 【摘要】利用有限差分法，对双脊金属加载矩形波导的基模及第一个高阶模的色散特性进行了分析研究，得出了模式的横截面电磁场分布图，并研究了网格粗细对计算结果的影响。最后通过与CST、HFSS软件仿真的仿真的结果对比，验证了结果的正确性。关键词: 双脊；矩形波导；有限差分；模式；色散曲线；场分布中图分类号 TN252 文献标识码 AResearch on The Fundamental Mode and The first high-order mode of Double-rid

2、ged Metal Loaded Rectangular Waveguide LI jiangjiang School of Physical Electronics, University of Science and Technology of China, Chengdu, Abstract: In this paper,the fundamental mode and a higher order mode of double-ridged metal loaded rectangular waveguide was calculated by using the finite dif

3、ference method.The cross-section distribution of the electromagnetic field was studied as well.At last,to prove the correctness of the results,we compared the result obtained in matlab with it obtained in CST and HFSS, and they matched well. Key words: double ridges;rectangular waveguide;finite diff

4、erential;mode;dispersion curve;field distribution专心-专注-专业引言有限差分法是一种求微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的来代替， 这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组 ， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。本文重点讨论用有限差分法求解双脊

5、金属加载矩形波导的电磁场问题，通过matlab编程得到了基模和第一高次模的色散特性曲线，并画出了基模和第一高次模的电场磁场图，分析了网格疏密对结果的影响，最后通过CST仿真软件，验证了结果的正确性。1.有限差分法 有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用离散的函数值构成的差商来近似逼近相应的偏导数,而所谓差商则是基于差分应用的数值微分表达式。 1.1 差分运算基本概念 下函数f(x)，变量x有增量=h，则有： (1)所以，称为f(x)的一阶差分，则一阶差商为： (2)若0，即h0，则有一阶倒数： (3)同理二阶导数： (4)1.2 差分格式的建立 如图1所示，设变量在边界c构成的场域

6、D中。图1 等步长区域的网格划分图 首先将场域D离散化，此处采用有规律的划分方式，使每个离散节点均可得出相同形式的差分方程,从而提高求解速度。1. 2. 1一阶差分偏导数的中心差分格式设分别表示0、1、2、3、4处的函数值,则点0处x轴方向的前向差分为： （5）后向差分为： （6）事实证明无论是前向差分还是后向差分都存在很大的误差，现在要寻求一种较精确的差分格式，引入常数、对和进行泰勒展开:（7）令二次项项系数为，得： （8）将式(7)代入到式(6)中，并舍去高阶项，得： （9）等步长下，有： （10）这就是所需要的x轴中心差分表达式。同理对于y轴方向，它的中心差分表达式应由决定,即 （11）

7、1. 2. 2 二阶差分偏导数的中心差分格式 在式(6)中,令项系数为0，则有： （12）将式（11）代入式（6）中，舍去高阶项，得： （13）在等步长时，有： （14） 同理对于y轴方向，它的中心差分应由决定，即： （15）1.2 亥姆霍兹方程的有限差分形式亥姆霍兹方程：将式（14）和式（15）代入上式，得： （16）那么任意节点(i,j)的亥姆霍兹方程的差分格式为：（17）1.3 有限差分法在矩形波导中的运用 矩形波导中可以传输TE波和TM波,但这两类波所适用的边界条件不一样,所以首先讨论边值问题。这里先给出用场的纵向分量表示的横向分量公式，如式（18）所示。1. 3. 1 第一类边界条件

8、 第一类边界条件是指在矩形金属波导内传输TM波,以记场域内各节点的函数值（电场纵向分量）。由于金属边上电场只有法向分量，切向分量为零， 可推出在边界上。 （18）如图2所示,若场域中的网格节点落在边界C上,则该节点的值为0，此时节点0的亥姆霍兹方程为： （19） 图2 第一类边值问题图1. 3. 2 第二类边界条件 第二类边界条件是指在波导内传输TE波，以记场域内各节点的函数值。若场域中的网格节点有落在边界c上,这时可在边界线外增加一排网格，这排网格节点的值，要始终令其等于边界内与它们对称的网络节点的们值，如图3所示，即，此时节点0的亥姆霍兹方程为： （20） 图3 第二类边值问题图1.4 有

9、限差分法求解双脊金属加载矩形波导特性 在讨论完边值问题后,就可以用有限差分法求解矩形波导中的截止波长问题。矩形波导图如图4所示。图4 双脊金属加载矩形波导 先将该场域均匀离散，再利用有限差分法列出该场域中各离散点的差分方程，并使每个离散节点方程构成矩阵： （21）其中k为每一节点所构成的系数矩阵，为每一节点处函数值的矩阵。求出矩阵k的特征值。这样就把问题归结为一矩阵的本征值问题。求矩阵k的特征值并取其最小非负特征值，利用这一最小特征值求得矩形波导的截止波长。文中在求解截止波长时，应用了MATLAB编程来实现计算机求解。1. 4. 1 离散化场域 在等间距网格下离散化模型，如图所示，此时=h，依

10、次,取h=0.127，h=0.254，h=508，这是因为矩形波导的尺寸决定的。这样取可以使矩形波导的边以及金属脊都刚好位于网格边界上，可以简化有限差分法所得的系数矩阵。对于TE模，由于其纵向场分量Hz在金属边界值为0，所以边界处值不计入系数矩阵。对于TM模，由于只知道边界处法向分量的法向偏导数为0，所以编号须从边界处开始，如下图所示。在处理金属脊的加入对矩形波导传输特性影响时，对于金属脊内部，令金属脊所在网格点出的场处处为0，在金属脊边界时，采用与波导边界相同的处理方法，对于TM模，直接命0，对于TE模，边界附近的点的系数命2，即公式（20）所示。图5 矩形波导及金属脊离散化示意图图 6 T

11、M模边界处理及编号处理图 7 TE模边界处理及编号处理1. 4. 2 双脊加载金属波导的差分格式：由以上分析可知，对于TM模，有如下差分格式：（22） 对于TE模有：（23） 差分方程组可用矩阵形式表示为： （24）这就把场的求解问题转化为求五点差分格式所得系数矩阵K的特征值问题，对应的求出特征向量即为网格结点上场的纵向分量，再由纵向分量与横向分量的关系（式（18）可求出整个场。1. 4. 3 程序流程图开始初始化 矩形波导建模及网格画分 由边界条件及金属脊性质，写出TM模、TE模对应的系数矩阵 求系数对应的矩阵特征值和特征向量由特征值求截止波数，并将截止波数进行排 列，输出最小的2个截止波数

12、 计算基模和第一高阶模的色散曲线，画出横向场分布图 结束2 仿真结果及分析2.1 截止频率的计算 根据模型参数在CST软件中建模并仿真，可以得到基模和第一高次模的截止频率。同MATLAB编程计算所得最低的两个TM模的截止频率如下表所示（网格数为41*23, h=0.254）： 表1 不同计算工具所得截止频率比较计算工具模式1截止频率模式2截止频率MATLAB12.6GHz27.8GHzCST12.3347GHz27.759GHz 由以上对比可见Matlab的计算结果与仿真结果误差在5%以内，两个结果吻合很好。2.2 网格数对计算效果的影响表2 不同网格所得截止频率比较模式 网格20*1141*

13、2380*44基模截止频率12.6GHz12.6GHz12.4GHz第一高次模截止频率28GHz27.8GHz27.8GHz 由以上结果对比可以发现，对于同一个模式而言，随着网格的加密，截止频率逐渐趋于稳定，得出的数据越接近软件所仿真出的结果，即也与理论分析相吻合。但随着网格的加密计算所消耗的内存和时间也呈指数增加，同时对计算机性能要求也比较高，因此需要合理选择网格大小以便得到理想的效果。2.3 色散曲线的绘制通过对特征值矩阵的分析，并通过排序找到两个最低模式对应的特征值，为绘制两个模式的色散曲线做准备。利用公式可画出色散特性曲线，如下图所示。图8.4为HFSS仿真的基模与第一高次模色散曲线图

14、，由图可见其截止频率及曲线均与matlab计算结果很好的吻合图 8(a) 基模和第一高次模的色散曲线（h=0.254） 图 8(b) 基模和第一高次模色散曲线（h=0.127） 图 8(c) 基模和第一高次模色散曲线（h=0.508）图 8(d) HFSS仿真的基模和第一高次模色散曲线图2.4 横截面场分量的绘制以下为MATLAB计算的场分量分布图以及与CST仿真结果的对比，先绘制横向电场分量： 在上述结果对比中发现，编程计算的截面磁力线分布可能与CST仿真的横截面场分布幅度正负相反，这是因为电磁波在带状线中的的传输是周期交替，只要每一个对应场分量幅度值都相反就是正确的，基本达到预期要求，验证

15、了程序算法的正确性。图 9(a) 基模MATLAB计算横向电场分布图 图 9(b) 基模CST仿真横向电场分布图图 9(c) 第一高次模MATLAB计算横向磁场分布图图 9(d) 第一高次模CST仿真很像磁场场分布图图 9(e) 基模matlab编程Hz分布图图 9(f) 基模CST仿真Hz分布图3 结束语 根据以上计算结果可知，有限差分法以其概念清晰、方法简单、直观的特点在电磁场数值计算领域内得到广泛使用。通过该方法可以简洁明了地求出双脊加载矩形波导的特性，并与CST、HFSS仿真结果很好的吻合，为后续研究奠定基础。参 考 文 献1 廖承恩等，微波技术基础. 1994: 西安电子科技大学社.

16、2 Bates, R. H. T,: The characteristic impedance of the shielded slab line，Trans.IRE，MTT4，1956:2833.3 Cohn，S.B.: Characteristic impedance of shielded-strip transmission line，Trans.IRE.，MTT2，1954:52一55.4 Ribblet M. J.: The exact dimensions of a family of rectangular coaxial lines with given impedance，

17、IEEE Trans.MTT20，1972:538541.5 Braekelmann，W.: Wellentypen auf der Streifenleitung mit rechteckigem Schirm，A. E. a.，21，1967:641一648.6 王秉中. 计算电磁学. 北京：科学出版社，2002.17 毛钧杰，刘荧，朱建清.电磁场与微波工程基础M.北京:电子工业出版社，2004:179-189.附录（MATLAB程序代码）：close allclear allclc% 声明全局变量，方便field_TE 子函数直接利用相关数据%global h c nx ny mu x_

18、TE1 x_TE2 y_TE1 y_TE2 y_TE3 y_TE4%-波导几何尺寸-%a=10.16;b=5.588;c1=1;d=5.08;%-网格划分-%h=0.254; %网格尺寸nx=a/h+1; %x 方向网格节点数ny=b/h+1; %y方向网格节点数kx=nx-2; %x方向场域内( 不包括边界) 节点数ky=ny-2; %y方向场域内( 不包括边界) 节点数%- -%-19-77行研究 TM 色散特性-%- -%n_TM=kx*ky; %k_TM 矩阵阶数x_TM1=(a-d)/2/h;x_TM2=(a+d)/2/h;%金属脊所在位置 x 方向起始坐标y_TM1=1;y_TM2

19、=fix(c1/h); % 金属脊所在位置y 方向起始坐标y_TM3=floor(b-c1)/h);y_TM4=ky;%-假设矩形波导中无内导体时的k_TM 矩阵-%k_TM=zeros(n_TM); %先创建n_TM 阶的0 矩阵%-再创建D 矩阵-%for i=1:kx for j=1:kx if(i=j) D(i,j)=-4; end %- 创建D 矩阵 if(i=j+1 | i=j-1) %- 对角线斜下方和斜上方赋值 D(i,j)=1; end endendI=eye(kx); %- 创建kx阶单位阵for n=1:ky for i=1:kx for j=1:kx k_TM(n-1)

20、*kx+i,(n-1)*kx+j)=D(i,j);%-写入D 矩阵 end endendfor n=1:ky-1 for i=1:kx for j=1:kx k_TM(n-1)*kx+i,n*kx+j)=I(i,j);%-写入右方I 矩阵 k_TM(n*kx+i,(n-1)*kx+j)=I(i,j);%-写入左方I 矩阵 end endend%-计入金属脊影响后的 k_TM 矩阵- 边界处Ez=0-%for j=y_TM1:y_TM2 for i=x_TM1:x_TM2 k_TM(i+(j-1)*kx,:)=0;% 金属脊处场为零，k_TM 矩阵对应行全赋零 endendfor j=y_TM3

21、:y_TM4 for i=x_TM1:x_TM2 k_TM(i+(j-1)*kx,:)=0;% 金属脊处场为零，k_TM 矩阵对应行全赋零 endend%-求k_TM 矩阵的特征值-%V_TM,D_TM=eig(k_TM); % 找出特征值存于 D_TMm_TM,n_TM=find(D_TM<0);% 找出所有负特征值的坐标l_TM=length(m_TM);j=1;for i=1:l_TM B_TM(j)=D_TM(m_TM(i),n_TM(i);%取出所有负特征值存于 B_TM j=j+1;end%-用冒泡排序对特征值从大到小排序-%for j=1:l_TM-1 for i=1:l_

22、TM-j if (B_TM(i)<B_TM(i+1) t=B_TM(i); B_TM(i)=B_TM(i+1); B_TM(i+1)=t; end endendkc_TM=sqrt(-B_TM)/h; % 由特征值得TM 模对应的截止波数%- -%-81-154行研究 TE 色散特性-%- -%n_TE=nx*ny; %k_TE矩阵阶数x_TE1=(a-d)/2/h+1;x_TE2=(a+d)/2/h+1; %金属脊所在位置x 方向起始坐标y_TE1=1;y_TE2=fix(c1/h+1)+1; % 金属脊所在位置y 方向起始坐标y_TE3=floor(b-c1)/h)+1;y_TE4=

23、ny; % 金属脊所在位置y 方向起始坐标%-假设矩形波导中无内导体时的k_TE矩阵-%k_TE=zeros(n_TE); %先创建n_TE阶的0 矩阵for i=1:nx for j=1:nx if(i=j) D(i,j)=-4; end %-创建D 矩阵 if(i=j+1 | i=j-1) D(i,j)=1; end endendI=eye(nx);for n=1:ny for i=1:nx for j=1:nx k_TE(n-1)*nx+i,(n-1)*nx+j)=D(i,j);%- 写入D 矩阵 end endendfor n=1:ny-1 for i=1:nx for j=1:nx

24、k_TE(n-1)*nx+i,n*nx+j)=I(i,j); %-写入右方I 矩阵 k_TE(n*nx+i,(n-1)*nx+j)=I(i,j); %-写入左方I 矩阵 end endend%- 处理波导边界条件,边界处Hz的法向偏导数为0，由五点格式差分得边界处点值为2-%for i=1:nx k_TE(i,i+nx)=2; % 下边界 k_TE(ny-1)*nx+i,(ny-2)*nx+i)=2;%上边界endfor j=1:ny k_TE(j-1)*nx+1,(j-1)*nx+2)=2; %左边界 k_TE(j*nx,j*nx-1)=2; % 右边界end%-计入金属脊影响后的 k 矩阵

25、- -%for j=y_TE1:y_TE2-1 for i=x_TE1+1:x_TE2-1 k_TE(i+(j-1)*nx,:)=0;% 金属脊内场为零，k_TE矩阵对应行全赋零 endend%-处理脊边界条件,边界处Hz的法向偏导数为0，由五点格式差分得脊外边界处点值为2，% 脊内边界处点值为0-%for j=y_TE1:y_TE2 k_TE(j-1)*nx+x_TE1,(j-1)*nx+x_TE1-1)= 2;k_TE(j-1)*nx+x_TE1,(j-1)*nx+x_TE1+1)=0;% 左边界 1 k_TE(j-1)*nx+x_TE2,(j-1)*nx+x_TE2-1)= 0;k_TE

26、(j-1)*nx+x_TE2,(j-1)*nx+x_TE2+1)=2;% 右边界 1endfor i=x_TE1:x_TE2 k_TE(y_TE2-1)*nx+i,(y_TE2-2) *nx+i)=0;k_TE(y_TE2-1)*nx+i,y_TE2*nx+i)=2; % 上边界1end% -计入金属脊影响后的 k 矩阵- -%for j=y_TE3:y_TE4-1 for i=x_TE1+1:x_TE2-1 k_TE(i+j*nx,:)=0;%金属脊内场为零，k_TE矩阵对应行全赋零 endend% -处理脊边界条件,边界处Hz的法向偏导数为0，由五点格式差分得脊外边界处点值为2，% 脊内边

27、界处点值为0-%for j=y_TE3+1:y_TE4 k_TE(j-1)*nx+x_TE1,(j-1)*nx+x_TE1-1)= 2; k_TE(j-1)*nx+x_TE1,(j-1)*nx+x_TE1+1)=0;% 左边界 1 k_TE(j-1)*nx+x_TE2,(j-1)*nx+x_TE2-1)= 0; k_TE(j-1)*nx+x_TE2,(j-1)*nx+x_TE2+1)=2;% 右边界 1endfor i=x_TE1:x_TE2 k_TE(y_TE3-1)*nx+i,(y_TE3)*nx+i)=0; k_TE(y_TE3-1)*nx+i,(y_TE3-2)*nx+i)=2;% 下

28、边界1end%-求特征值-V_TE,D_TE=eig(k_TE); % 找出特征值存于 D_TEm_TE,n_TE=find(D_TE<-1e-4);% 找出所有负特征值的坐标l_TE=length(m_TE);j=1;for i=1:l_TE B_TE(j)=D_TE(m_TE(i),n_TE(i);%取出所有负特征值存于 beta_TE j=j+1;end%-用冒泡排序对特征值从大到小排序-%for j=1:l_TE-1 for i=1:l_TE-j if (B_TE(i)<B_TE(i+1) t=B_TE(i); B_TE(i)=B_TE(i+1); B_TE(i+1)=t;

29、 end endendkc_TE=sqrt(-B_TE)/h; %由特征值得TE模对应的截止波数%-将TM 模和TE模的截止波数放在一个数组里并排序-%kc(1:length(kc_TM)=kc_TM;kc(length(kc_TM)+1:length(kc_TM)+length(kc_TE)=kc_TE;%-用冒泡排序对所有截止波数从小到大排序-%p=length(kc_TM)+length(kc_TE);for j=1:p-1 for i=1:p-1-j if (kc(i)>kc(i+1) t=kc(i); kc(i)=kc(i+1); kc(i+1)=t; end endendc=

30、3e8; % 真空中的光速fc=c*1e-6*kc./(2*pi);fc_TE=c*1e-6*kc_TE./(2*pi);fc_TM=c*1e-6*kc_TM./(2*pi);for i=1:10 blank(1,i)=fc(i); blank(2,i)=fc_TE(i); blank(3,i)=fc_TM(i);end%-作色散曲线-%figure(1)f=0:0.2:60;B1=sqrt(2*pi*f/c).2-(kc(1)*1e-6)2)*1e9;B2=sqrt(2*pi*f/c).2-(kc(2)*1e-6)2)*1e9;plot(f,real(B1),'r-',f,r

31、eal(B2),'k-')set(gca,'fontsize',18);xlabel('f(GHz)','fontsize',14);ylabel('beta(rad/m)','fontsize',14)text(14,3e2,' 基模 ','fontsize',18)text(28.5,1e2,'第一高次模 ','fontsize',18)set(gcf,'color','white');title(&

32、#39;基模和第一高次模色散特性曲线')%- 横向场结构图- -%- 找出最小和次小特征值对应特征向量的位置-%t=length(D_TE);for i=1:t if (D_TE(i,i)=B_TE(1) i1=i; elseif (D_TE(i,i)=B_TE(2) i2=i; endend%- 将所得特征向量赋值给中间变量 phitemp-%phitemp(:,1)=V_TE(:,i1);phitemp(:,2)=V_TE(:,i2);%-由特征向量求得纵向场-%for n=1:2 p=1; for i=1:ny for j=1:nx phi(i,j,n)=phitemp(p,n)

33、; %- 将2 个特征向量变为横向存放 p=p+1; end endendmu=pi*4e-7; %真空磁导率mu%- 基模(TE)- -%Hz1=phi(:,:,1);f1=fc(1)*1e6;Ex1,Ey1,Hx1,Hy1=field_TE(fc(1),Hz1,f1);figure(2)quiver(imag(Ex1),imag(Ey1) %画横向电场矢量图axis(1 nx 1 ny)set(gcf,'color','white');title(' 基模横向电场分布 ')figure(3)quiver(imag(Hx1),imag(Hy1)

34、 %画横向磁场矢量图axis(1 nx 1 ny)set(gcf,'color','white');title(' 基模横向磁场分布 ')%- 第一高次模(TE)-%Hz2=phi(:,:,2);f2=fc(2)*1e6;Ex2,Ey2,Hx2,Hy2=field_TE(fc(2),Hz2,f2);figure(4)quiver(imag(Ex2),imag(Ey2) %画横向电场矢量图axis(1 nx 1 ny)set(gcf,'color','white');title('第一高次模横向电场分布 &#

35、39;)figure(5)quiver(imag(Hx2),imag(Hy2) %画横向磁场矢量图axis(1 nx 1 ny)set(gcf,'color','white');title('第一高次模横向磁场分布 ')figure(6)surf(imag(Hx1);title('基模横向磁场Hx分布');SHADING INTERPfigure(7)surf(imag(Hy1);title('基模横向磁场Hy分布');SHADING INTERPfigure(8)surf(imag(Ex1);title('基模横电场Ex分布');SHADING INTERPfigure(9)surf(imag(Ey1);title('基模横电场Ey分布');SHADING