九年级二次函数与一元二次方程的联系和区别

1、真诚为您提供优质参考资料，若有不当之处，请指正。二次函数与一元二次方程的联系和区别一、二次函数1、自变量x和因变量y之间存在如下关系：  y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向）a>0时，开口方向向上 a<0时，开口方向向下|a|还可以决定开口大小a绝对值越大开口就越小,|a|越小开口就越大 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c）抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = ,。对称轴与抛物线唯

2、一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 抛物线有一个顶点P，坐标为 P ， 。当=0时，P在y轴上；当= b-4ac=0时，P在x轴上。 2、二次函数的两种表达式一般式：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)+k 抛物线的顶点P（h，k） 3、抛物线与x轴交点个数 = b-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 = b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 = b-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。 二、一元二次方程y= ax+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax+b

3、x+c=0 三、两者之间的联系ax+bx+c=0,即为y= ax+bx+c，y=0时方程的根x，x是使ax+bx+c为零的x的取值x，x对应图像上是y =ax+bx+c函数与x轴交点的横坐标。方程根的个数即是使ax+bx+c=0的x的个数即是y= ax+bx+c y=0,为y= ax+bx+c图像与x轴的交点个数。可以同时利用，方程用它来判断根的个数=0方程两个相等的实根0方程两个不等的实根0方程无实根 函数用它来判断图像与x轴的交点个数 =0图像一个（两个相等）交点0方程两个不等的交点0方程无交点四、区别说白了ax+bx+c=0就是y =ax+bx+c， y=0时的特例。我们研究函数是研究许

4、多点组成的图像，研究方程是研究图像上至多一个或两个特殊的点。函数和方程有区别，是整体概念与特殊的区别。学习时要联系起来，又不可以简单的混淆。五、复习1、二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点. 当二次函数y=ax +bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.练习例1、 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。小结：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元

5、二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式=b2-4ac         即：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数可由一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况说明：1、0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点相交2、=0 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根 3、0 一元二次方程ax2+bx+c=0没有实数根 例二、3、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则由根与系数的关系可

6、知 x1+x2=- x1x2=若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），则是否有同样的结论呢？结论：若抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ x1，0 ）， B（x2，0 ），则x1+x2= ，x1x2=六、基础训练1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是 ；2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 。3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为（-2，0），（3，0），则p= ，q= 。4、判断下列各抛物线:是否与x轴相交，如果相交，

7、求出交点的坐标。 求出图像与Y轴的交点坐标。（1）y=6x2+7x+1 （2）y=-x2-x-3（3）y=x2-4x+4 5. 已知抛物线 y=-2（x+ 1）2 +8 ,求抛物线与x轴和y轴的交点坐标;求抛物线与x轴的两个交点间的距离.6、抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象全部在轴下方的条件是（ ）（A）a0 b2-4ac0（B）a0 b2-4ac0（C）a0 b2-4ac0 (D）a0 b2-4ac0 七、直击中考1.（2009丽水）已知二次函数yax2 bxc(a0)的图象如图所示，则 当 x 时，y=0; 当 x 时，y>0; 当 x 时，y<0.（2014黄冈）2、

8、校运会上，某运动员掷铅球，铅球的高y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=-0.2x2+1.5x+1.7，则此运动员的成绩是多少？ （2014荆州）3、已知抛物线y=x2+2x+m+1。（1）若抛物线与x轴只有一个交点，求m的值。（2）若抛物线与直线y=x+2m没有交点，求m的值。5110?4、右图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）（1）、求抛物线的解析式（2）、求两盏景观灯之间的水平距离 5、已知二次函数y=x 2-kx-2+k.(1) 求证:不论k取何值时，这个二次函数(2) y=x2 -kx-2+k与x轴有两个不同的交点。（2）设此抛物线与y轴的交点