第十五章2 位移法b

1、第十五章第十五章 位移法位移法 11 位移法基本概念2 位移法的基本结构和基本未知量 3 等截面直杆的转角位移方程 4 位移法典型方程 5 直接利用平衡条件建立位移法方程 6 位移法与力法联合应用 21515.6直接利用平衡条件建立位移法方程直接利用平衡条件建立位移法方程 我们知道位移法典型方程反映了原结构在结点处的静力平衡条我们知道位移法典型方程反映了原结构在结点处的静力平衡条件，因此我们也可以不通过基本结构，而直接利用转角位移方程和件，因此我们也可以不通过基本结构，而直接利用转角位移方程和静力平衡条件建立位移法方程。下面举例说明。静力平衡条件建立位移法方程。下面举例说明。 例例4 如图示刚

2、架，做如图示刚架，做M图。图。 图图(a) 2ll=4mq=3kN/mABCD2iii解：解：(1)基本未知量基本未知量2个，如图个，如图(b)所示。所示。 图图(b) ABCDZ1Z2MABMBAABFQABFQBAxyAB杆：杆： 0A1ZB2ZAB，1262221qlZliZiMAB1264221qlZliZiMBA2126221qlZliZliFQBA(2) 利用转角位移方程写出杆端力利用转角位移方程写出杆端力 (a) 两端为固定两端为固定 3CDxMDCFQDCFQCDyBCyFQBCFQCBMBCx 11623ZiZiMBCDC杆：杆： ，0A2ZAB(B端铰支) BC杆：杆： ，

3、1ZA0AB(B端铰支) 23ZliMDC223ZliFQDC图(b) ABCDZ1Z2(b) A端为固定，端为固定，B端铰支端铰支 (3)建立位移法方程 MBAMBCB由B结点力矩平衡得 0BCBAMM4FQBABCFQCD0BCBAMM由由BC横梁横梁 得得 0X0QCDQBAFF把有关表达式代入上式整理得把有关表达式代入上式整理得 02156012610221221qlZliZliqlZliZi解之得解之得iiqlZ19141238721iiqlZ19144457932；(4)回代求出杆端弯矩回代求出杆端弯矩 1262221qlZliZiMABkN.m42. 4BAMkN.m42.4BC

4、MkN.m68. 5DCMM图如图图如图(c)所示。所示。 图图(c) M图图 (kN.m)5.684.424.4213.8961264221qlZliZiMBA2126221qlZliZliFQBA 11623ZiZiMBC223ZliFQDCkN.m89.135.684.424.4213.896图图(c) M图图 (kN.m)5例例5 如图示刚架，做如图示刚架，做M图。图。 2iqABCDEF4i4i5i2i图图(a) llll解：解：(1)本题为无侧移刚架，基本未知量本题为无侧移刚架，基本未知量2个个Z1Z2图图(b) 如图如图(b)所示。所示。 (2)杆端弯矩杆端弯矩 AB杆：杆： B

5、=Z1， AB =0，A端铰支端铰支 84321qlZiMBA(b) A端为固定，端为固定，B端铰支端铰支 CD杆：杆： A=Z2， AB =0， B端铰支端铰支 243ZiMCDBC杆：杆： A=Z1， B=Z2 ， AB =0(a) 两端为固定两端为固定 125254221qlZiZiMBC 125452221qlZiZiMCB6BE杆：杆： A=0， B=Z1 ， AB =0 124ZiMBE 122ZiMEB；CF杆：杆： A=0， B =Z2， AB =0224ZiMCF222ZiMFC2iqABCDEF4i4i5i2i图图(a) llllZ1Z2图图(b) (a) 两端为固定两端为

6、固定 (3)建立位移法方程建立位移法方程 BMBAMBEMBC由由 MB=0 得得 0BEBCBAMMMCMCBMCFMCD由由 MC=0 得得0CFCDCBMMM将有关表达式代入上式整理得将有关表达式代入上式整理得 7124010241040221221qlZiZiqlZiZi解之得解之得 iqlZ180021；iqlZ3600722(4)回代求出杆端弯矩回代求出杆端弯矩 221118. 0843qlqlZiMBA 2221114. 0125254qlqlZiZiMBC 21004. 024qlZiMBE 21002. 022qlZiMEB 22023. 043qlZiMCD 22016.

7、024qlZiMCF 22008. 022qlZiMFC 2221039. 0125452qlqlZiZiMCBM图如图图如图(c)所示。所示。 图图(c) M图图( ql2)0.1250.1250.0020.0040.0080.0160.0230.0390.1140.118图图(c) M图图( ql2)0.1250.1250.0020.0040.0080.0160.0230.0390.1140.1188 例：如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这例：如果除支座以外，刚架的各结点只有角位移而没有线位移，这种刚架称种刚架称 为无侧移刚架。为无侧移刚架。ABC3m3m6mEIEIP

8、=20kNq=2kN/mBqBEIPBEIMBAMABMBC1、基本未知量基本未知量B2、固端弯矩固端弯矩mkNPlmBA1586208mkNmAB 15mkNqlmBC9823、列杆端转角位移方程列杆端转角位移方程152BABiM154BBAiM93BBCiM6EIi 设设4、位移法基本方程（平衡条件）位移法基本方程（平衡条件）BCBBCmliiM33916.72 15.8511.573.21M MBABAM MBCBCq q B BEIEIP P B BEIEIM MBABAM MABABM MBCBC3 3、列杆端转角位移方程、列杆端转角位移方程152BABiM154BBAiM93BBC

9、iM4 4、位移法基本方程、位移法基本方程iiiMMMBBBBCBAB7609315400mkNiiMAB72.1615762mkNiiMBA57.1115764mkNiiMBC57.1197635 5、各杆端弯矩及弯矩图、各杆端弯矩及弯矩图M图图mkN (1)(1)变形连续条件变形连续条件: :在确定基本未知量时得到满足；在确定基本未知量时得到满足；(2)(2)物理条件物理条件: : 即刚度方程；即刚度方程；(3)(3)平衡条件平衡条件: : 即位移法基本方程。即位移法基本方程。超静定结构必须满足的三个条件超静定结构必须满足的三个条件: :10例、试用位移法分析图示刚架。例、试用位移法分析图

10、示刚架。4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0（1）基本未知量基本未知量 B、 C（2）杆端弯矩杆端弯矩Mi j408420822qlmBA7 .41122qlmBC7 .41CBm计算线性刚度计算线性刚度i，设设EI0=1，则则1440IElEIiABABAB21,43, 1, 1CFBECDBCiiii4033BBABABBAmiM7 .4124CBBCM7 .4124BCCBMCCDM311BBBEM3434BBEBM5 . 1432CCCFM2214CCFCM212(3)(3)位移法方程位移法方程0000CFCDCBCBEBCBABMMMMMMM

11、M4033BBABABBAmiM7 .4124CBBCM7 .4124BCCBMCCDM34m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I。5I。4I。3I。3I。07 .419207 . 1210CBCB12.9 .467 .4189. 4215. 147 .41245 .434015. 134033mkNMmkNmiMCBBCBBABABBA(4) 解方程解方程89. 415. 1CB( (相对值相对值) )(5)杆端弯矩及弯矩图杆端弯矩及弯矩图mkNMmkNMCCCFBBBE8 . 9)89. 4(2221445. 315. 133434AB CDFE43.546.924.514.7

12、3.451.79.84.89M图图)(mkN 131 1、基本未知量、基本未知量B、C2 2、列杆端力表达式令、列杆端力表达式令EI=1mkN.40mkN.7 .41CCCFM25 . 04BBEBM5 . 175. 02CBCBM7 .4142CBBCM7 .4124BBAM403CCFCM5 . 02CCDM33 3、列位移法方程、列位移法方程0CFCDCBCMMMM0BEBCBABMMMM07 . 1210CB07 .4192CB4 4、解方程、解方程B=1.15 C=4.89=43.5=46.9=24.5=14.7=9.78=4.89=1.7MBAMBCMBE用直接平衡法计算超静定结构

13、用直接平衡法计算超静定结构4I4I5I3I3I5m4m4m4m2mCABDEF20kN/m1110.750.58420822qlMFABi=1110.750.5125201222qlMFBCMkN7 .41FCBMBBBEM375. 04=3.45 5、计算杆端弯矩、计算杆端弯矩146 6、画、画M图图43.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)CABDEF15BMABQABMBAQBABMBCQCDQDCMDC例例. . 用位移法分析图示刚架。用位移法分析图示刚架。 解解 （1 1）基本未知量）基本未知量B、（2 2）单元分析）单元分析12434622

14、iiMBAB12434642iiMBBABBCiM)2( 343iMDCBBC8m4mii2iABCD3kN/m675. 05 . 12412462iiqliiQBBBA243iQCD16MABQABMBAQBABMBCQCDQDCMDCBBCMBCMBA（3 3）位移法方程）位移法方程0BM)1.(.0aMMBCBA) 1.(.041510iiB0 xQBA + QCD =0.(2a)2.(02475. 36iiBQBAQCD（4 4）解位移法方程）解位移法方程45 . 12iiMBAB45 . 14iiMBBABBCiM6iMDC75. 0243iQCD675. 05 . 1iiQBBA1

15、7)2.(02475. 36iiB（4 4）解位移法方程）解位移法方程) 1.(.045 . 110iiBiiB58. 7737. 0（5 5）弯矩图）弯矩图MAB= -13.896 kNmMBA= -4.422kNmMBC= 4.422kNmMDC= -5.685kNmQBA= -1.42kNQCD= -1.42kNABCD13.8964.4224.4225.685M图（kNm）18小小 结结1 1、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；、有几个未知结点位移就应建立几个平衡方程；2 2、单元分析、建立单元刚度方程是基础；、单元分析、建立单元刚度方程是基础；3 3、当结点作用有集中外力矩时，

16、结点平衡方程式中应包括、当结点作用有集中外力矩时，结点平衡方程式中应包括 外力矩。外力矩。ABCDqqPMMMCBMCD1915-915-9 对称结构的计算对称结构的计算1I1I2IPPMMQN对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。NQ20一、单数跨一、单数跨(1)(1)对称荷载对称荷载 12/ lEIiBEF1P2231

17、lq2261 lqk11iBE2iAB4iABMPM1k11 1 + F1P = 0(2)(2)反对称荷载反对称荷载PPABCDE 1 2 3ABEl/2P反弯点反弯点ABZ3 1ABEl/2q21二、偶数跨二、偶数跨(1)(1)对称荷载对称荷载qqCCM = Q = 0PPIN = 0PP2I2I反弯点反弯点P2I无限短跨无限短跨+2IP2IP(2)(2)反对称荷载反对称荷载2212kN/m12kN/m12kN/m12kN/m24kN/m4m4m4mEIEIEI2EIEI2424 2472724208208M反对称M对称921643252M图(kN.m)482312kN/m12kN/mX14

18、44M196MP01111PX12kN/mEIEIEI4m4m65124349632564341111113311PPXEIEIEIEI24 2472M反对称12kN/m12kN/m等代结构2472=12412kN/m12kN/m12kN/mEIEI4m4m等代结构ACBMMMACABA0iA2iA0168iMACA2iMAAC4iMAAB164iMABA162=20kN.m=8kN.m=8kN.m=4kN.m2084208M对称2512kN/m4m3m4m4m4I4I5I4I5I4m12kN/mi=1i=1ACB ACAM2AACM4ABAM162A164AABM12412420ACABAM

19、MM20168AAMABMACA=8kN.m=20kN.m=8kN.m=4kN.m482024482024M图图(kN.m)1 1）斜梁（静定或超静定）受竖向）斜梁（静定或超静定）受竖向荷载作用时，其弯矩图与同水平跨荷载作用时，其弯矩图与同水平跨度同荷载的水平梁弯矩图相同。度同荷载的水平梁弯矩图相同。2 2）对称结构在对称荷载作用下，）对称结构在对称荷载作用下，与对称轴重合的杆弯矩与对称轴重合的杆弯矩=0=0，剪力，剪力=0=0。26力法、位移法对比力法、位移法对比基本未知量：结点独立位移基本未知量：结点独立位移基本结构：单跨梁系基本结构：单跨梁系作单位和外因内力图作单位和外因内力图由内力图的

20、结点、隔离体平衡由内力图的结点、隔离体平衡求系数，主系数恒正。求系数，主系数恒正。 建立位移法方程（平衡）建立位移法方程（平衡） 0 FK 0 X力法位移法位移法271717.7 位移法与力法联合应用位移法与力法联合应用 前面介绍了求解超静定问题的两种基本方法，力法和位移法，前面介绍了求解超静定问题的两种基本方法，力法和位移法，在实际问题中，应采用哪种方法比较方便，要根据实际情况，计算在实际问题中，应采用哪种方法比较方便，要根据实际情况，计算工作量的大小，选择最简单的方法进行计算。工作量的大小，选择最简单的方法进行计算。 如图如图(a)所示对称结构，受一般荷载作用。利用对称性可将荷载所示对称结

21、构，受一般荷载作用。利用对称性可将荷载分解成两组：对称荷载和反对称荷载两种情况。分解成两组：对称荷载和反对称荷载两种情况。 2Fp图图(a)=FpFp图图(b)+FpFp图图(c)Fp图图(d)正对称荷载部分：力法分析时有两个基本未知量，位移法分析时有一正对称荷载部分：力法分析时有两个基本未知量，位移法分析时有一个基本未知量，因此采用位移法计算较为方便。个基本未知量，因此采用位移法计算较为方便。 Fp图图(e)反对称荷载部分：力法分析时有一个基本未知量，位移法分析时有两反对称荷载部分：力法分析时有一个基本未知量，位移法分析时有两个基本未知量，因此采用力法计算较为方便。个基本未知量，因此采用力法

22、计算较为方便。 若横梁的若横梁的EI= 时，正对称荷载作用部分采用位移法求解时的基本未知量是多少呢？时，正对称荷载作用部分采用位移法求解时的基本未知量是多少呢？ 28 象这样利用结构的对称性，把荷载分解为正对称和反对称两种情象这样利用结构的对称性，把荷载分解为正对称和反对称两种情况，分别采用位移法和力法求解，可使计算得到简化，这样的分析问况，分别采用位移法和力法求解，可使计算得到简化，这样的分析问题方法称为联合法。题方法称为联合法。 上述联合法是分别应用于不同的结构，也可以把位移法和力法混上述联合法是分别应用于不同的结构，也可以把位移法和力法混合在一起分析一个结构。如图合在一起分析一个结构。如图(g)所示结构所示结构图图(g)AB 左半部分用力法分析时基本未知量数目较少（力法分析时一个左半部分用力法分析时基本未知量数目较少（力法分析时一个基本未知量，位移法分析时为三个基本未知量），右半部分用位移基本未知量，位移法分析时为三个基本未知量），右半部分用位移法分析时基本未知量数目较少（位移法分析时为一个基本未知量，法分析时基本未知量数目较少（位移法分析时为一个基本未知量，力法分析时三个基本未知量）。因此，该结构可同时发挥力法和位力法分析时三个基本